phương pháp toán học quan trọng vào lớp 10 cần biết . bí quyết thi vào các trường công lập và chuyên toán . kiến thức CỰC KÌ QUAN TRỌNG lớp 9 về giải các bài toán bất phương trình bâc 2 3 4
Trang 1CH ƯƠ NG 2: B T PH Ấ ƯƠ NG TRÌNH
§1 Ph ươ ng pháp s d ng tính đ n đi u c a hàm s ử ụ ơ ệ ủ ố:
Thí d 128 ụ : Gi i b t phả ấ ương trình: x + 9 + 2x + 4 > 5 (1)
L i gi i: ờ ả
Đ t f(x) = VT(1), có f(x) xác đ nh: (1)ặ ị x 2 (*)
2 x
9 x 0 4 2x
0 9 x
−
≥
⇔
−
≥
−
≥
⇔
≥ +
≥ +
⇔
f(x) xác đ nh, liên t c trên (*) có: ị ụ 0
4 2x 2
1 9
x 2
1 (x)
+
+ +
2 x
0 x f(0) f(x)
−
≥
>
⇔
>
⇔
V y b t phậ ấ ương trình có nghi m: ệ x > 0
Thí d 129 ụ : Gi i b t phả ấ ương trình: x + x − 5 ≤ 5 (1)
L i gi i: ờ ả
Đ t f(x) = VT(1), có f(x) xác đ nh: (1)ặ ị x (*)
5 x
0 x 0 5 x
0 x
≥
⇔
≥
≥
⇔
≥
−
≥
f(x) xác đ nh, liên t c trên (*) có: ị ụ 0
5 x 2
1 x
2
1 (x)
− +
= v i ớ ∀ x > 5
5 x
5 x f(5) f(x)
≥
≤
⇔
≤
⇔
V y b t phậ ấ ương trình có nghi m: ệ x = 5
Thí d 130 ụ : Gi i b t phả ấ ương trình: 2 x + 3 x + 5 x ≥ 38 (1)
L i gi i: ờ ả
Đ t f(x) = VT(1), có f(x) xác đ nh và liên t c v i m i xặ ị ụ ớ ọ ∈ Rcó:
0 ln5 5 ln3 3 ln2
2
(x)
f ' = x + x + x > v i m i xớ ọ ∈ Rnên f(x) đ ng bi n trên (*).Do ồ ế
R x
2 x f(2) f(x)
∈
≥
⇔
≥
⇔
V y b t phậ ấ ương trình có nghi m: ệ x ≥ 2
Thí d 131 ụ : (NTA-2000) Gi i b t phả ấ ương trình:
(1) 2) (4 log 1)
(2
3
x
L i gi i: ờ ả
Đ t f(x) = VT(1),có f(x) xác đ nh,liên t c v i m i ặ ị ụ ớ ọ x ∈ R có:
0 2)ln3 (4
ln4 4 1)ln2
(2
ln2
2
(x)
+
+ +
R x
0 x f(0) f(x)
∈
≤
⇔
≤
⇔
V y b t phậ ấ ương trình có nghi m: ệ x ≤ 0
Thí d 132 ụ : (TL-2000) Gi i b t phả ấ ương trình: x + 2 − 3 - x < 5 − 2x (1)
L i gi i: ờ ả
f(2) 0 2x 5 x -3 2 x f(x)
Ta có f(x) xác đ nh khi và ch khi ị ỉ (*)
2
5 x 2 0 2x 5
0 x -3
0 2 x
≤
≤
−
⇔
≥
−
≥
≥ +
2x -5 2
1 x
-3 2
1 2
x 2
1 (x)
+
2
5 x
2 < <
f(x) đ ng bi n ồ ế
2
5 x 2
2 x f(2) f(x)
≤
≤
−
<
⇔
≤
⇔
V y b t phậ ấ ương trình có nghi m: ệ − 2 ≤ x ≤ 2
Thí d 133 ụ : Gi i b t phả ấ ương trình: 1 + 2.2 x + 3.3 x < 6 x (1)
L i gi i: ờ ả
2
1 3.
3
1 2.
6
1
x x
x
∈
∀
>
<
+
+
Đ t f(x) = VT(2), có f(x) xác đ nh, liên t c v i m i ặ ị ụ ớ ọ x ∈ Rcó:
R x 0 2
1 ln 2
1 3.
3
1 ln 3
1 2.
6
1 ln 6
1 (x) f
x x
x
+
+
1 x R x
1 x f(1) f(x) (2)
∈
<
⇔
<
⇔
⇔
V y b t phậ ấ ương trình có nghi m: ệ x < 1
Thí d 134 ụ : Gi i b t phả ấ ương trình: 2 x 3 + x 2 + 6 x + 16 < 2 3 + 4 − x (1)
L i gi i: ờ ả
Ta có: (1) ⇔ f(x) = 2x 3 + 3x 2 + 6x + 16 − 4 − x < 2 3 = f(1) (2)
Đ t f(x) = VT(2), có f(x) xác đ nh khi và ch khi:ặ ị ỉ
≥
−
≥ + +
⇔
≥
−
≥ + + +
0 x 4
0 8) x -2)(2x (x
0 x 4
0 16 6x 3x
Trang 2
≤
>
+
≥
+
⇔
4
x
0) 8 x -2x (do
2
(*) x
2 ≤ ≤
−
⇔
x 4 2
1 16
6x 3x 2x 2
6 6x -6x (x)
f
2 3
2
−
+ + + +
+
nên f(x) đ ng bi n trên (*).Do đó ồ ế (1) ⇔ f(x) < f(1) ⇔ x < 1
K t h p v i (*) ta đế ợ ớ ược: − 2 ≤ x < 1
V y b t phậ ấ ương trình có nghi m: ệ − 2 ≤ x < 1
§2: Ph ươ ng pháp phân kho ng t p xác đ nh: ả ậ ị
Thí d 135 ụ : Gi i h th cả ệ ứ
log 2 24 x 2 x 14 1
x
2 12 x
7
x
− +
−
+
L i gi i: ờ ả
=
=
⇔
≥
− +
−
≥ +
−
≠
>
4 x
3 x 0
24 x 14 x 2
0 12 x 7 x
1 x , 0 x
2 2
- V i x = 3 b t phớ ấ ương trình tr thành b t đ ng th cở ấ ẳ ứ
2 3 3 1 3
3
2 3
2 log 3
1 3
2 log
2
1
3
2
(sai)
- V i x = 4 b t phớ ấ ương trình tr thànhở
2
1 2 log 2
1 2
1 log 2
1 4
2 log 2
1
4
2
V y b t phậ ấ ương trình đã cho có nghi m là x = 4.ệ
Thí d 136 ụ : Gi i h th c: log ả ệ ứ x (x + 1) = lg1,5 (1)
L i gi i: ờ ả
Đi u ki n: 0 < x ề ệ ≠ 1
- Xét 0 < x < 1 khi đó logx(x+1) < logx1 = 0 < lg1,5 V y phậ ương trình (1) không có
nghi m trong kho ng nàyệ ả
- Xét 1 < x < +∞ khi đó logx(x+1) > logxx = 1 > lg1,5 V y phậ ương trình (1) không có
nghi m trong kho ng nàyệ ả
Tóm l i (1) vô nghi m.ạ ệ
Thí d 137: ụ Gi i h th c ả ệ ứ 2
x
2 4 x
x 2
<
+ + +
−
L i gi i: ờ ả
3
1 1 x 1 0 4 x x
0 x
≥ + +
−
≠
V i đi u ki n đó ta có:ớ ề ệ
2 x 2 4 x
x 2 + + < −
9 x 7
9 x 0 x
1 x 0 x x
1 x 2
x 4 x x
0 2 x 2
2 2
>
∨
<
>
⇔
>
−
>
⇔
−
<
+ +
−
>
−
⇔
K t h p v i đi u ki n (*) ta đế ợ ớ ề ệ ược
3
4 x 7
9 < ≤ .
Thí d 138 ụ : Gi i h th c ả ệ ứ
>
+
−
<
− +
) 2 ( 0 1 x x
) 1 ( 0 1 x 2 x
3 2
L i gi i: ờ ả
(1) ⇔− 1 < x < 31(*)
Đ t y = xặ 3 - 3x + 1 hàm s xác đ nh liên t c trên R có yố ị ụ / = 3x2 - 3; y/ = 0 khi x = 1 x = - 1
ta có b ng bi n thiên:ả ế
x -1
3 1
y/ 0
y
27
1 Nghi m c a h :ệ ủ ệ
3
1 x
1 < <
Thí d 139 ụ : Gi i ả ( ) ( x x 6 1) 0
x
1 5
x log 1 3 x 4
5
L i gi i: ờ ả
3 x 1
3 x 1 x
0 x
0 6 x x
0 3 x x
0 x
2
≤
≤
≥
∨
≤
>
⇔
≥
−
−
≥ +
−
>
- V i x = 1 thì (1) ớ ⇔ 1 0 1 1 0 0
5
1 log5 + ≤ ⇔ − + = ≤ (luôn đúng)
- V i x = 3 thì (1) ớ ⇔
5
1 125
27 5
5
3 0 3
1 5
3
1
5 + ≤ ⇔ ≤ − ⇔ ≤ (lo i)ạ
V y b t phậ ấ ương trình có nghi m là x = 1.ệ
Thí d 140: ụ Gi i h th c ả ệ ứ 3 x 2 4 (x 2 4)3 x 2 1
≥
−
Trang 3L i gi i: ờ ả
- V i ớ x > 2thì x2 – 4 > 0 và x – 2 > 0 Do đó 3 x 2 4 3 0 1
=
>
− (vì hàm đ ng bi n)ồ ế nên VT(1) > 1 = VP(1) B t phấ ương trình không có nghi m trong kho ng trênệ ả
- V i ớ x < 2thì x2 – 4 < 0 và x – 2 < 0 Do đó 3 x 2 4 3 0 1
=
<
− (vì hàm đ ng bi n)ồ ế
và (x2-4)3x-2 < 0 nên VT(1) < 1 = VP(1) B t phấ ương trình không có nghi m trong kho ngệ ả
trên
- V i x = 2 thay vào th a mãn ớ ỏ
V y b t phậ ấ ương trình có nghi m duy nh t x = 2.ệ ấ
Thí d 141: ụ Gi i b t phả ấ ương trình (3 x + 1)5 + 3 x 2 x − 1 ≥ 1 (1)
L i gi i: ờ ả
- V i x < 0 thì ớ 3 x < 0 mà 2x-1 > 0 nên (3 x + 1)5 < 1 ; 3 x 2 x − 1 < 0 Do đó VT(1) < 1 V y b tậ ấ
phương trình không có nghi m trong kho ng trên ệ ả
- V i x ớ ≥ 0 thì 3 x ≥ 0 mà 2x-1 > 0 nên (3 x + 1)5 ≥ 1 ; 3 x 2 x − 1 ≥ 0 Do đó VT(1) ≥ 1
V y b t phậ ấ ương trình có nghi m x ệ ≥ 0
Thí d 142 ụ : Gi i phả ương trình 4 x 1 2 x 2 x log2 x 1
−
=
− −
L i gi i: ờ ả
- N u 0 < x ế ≤ 1 thì x 1 x x ( ) ( )x 1 2 x 1 x
2 2
2
4 − − 2− = − − − khi đó VP ≤ -1; VT > -1
- N u x > 1 thì ế log ( x x ) log (2 x 2)
) 1 x ( 2
) 1 x ( x log
2
−
−
VT = 22x-2- x 2 x
2 − Do đó: (1) ⇔ x 2 x
2 − +log ( x 2 x ) log2(2 x 2)
2 − = − +22x-2 (1/)Xét hàm s f(x) =ố
2t + log2t xác đ nh liên t c trên Rị ụ + và:
f/(x) = t.ln2 +
2 ln t
1
< 0 nên f(x) ngh ch bi n trên Rị ế +
(1/) ⇔ x2 – x = 2x – 2 ⇔ x2 – 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 (lo i); x = 2 (th a mãn) ạ ỏ
V y phậ ương trình có nghi m x = 2.ệ
Thí d 143 ụ : Gi i phả ương trình x 2 + x + 6 x + 2 = 18 (1)
L i gi i: ờ ả
Đi u ki n: x + 2 ề ệ ≥ 0 ⇔ x ≥ – 2 Đ t f(x) = ặ x 2 + x + 6 x + 2 có f(x) xác đ nh,ị
liên t c trênụ [− 2 ; +∞) và f/(x) = 2x + 1 +
2 x
3
+
- N u x ≥ 0 thì fế /(x) > 0 nên VT(1) là hàm đ ng bi n mà VP(1) = const do đó phồ ế ươ ng
trình có nghi m duy nh t x = 2ệ ấ
- N u –2 ≤ x < 0 thì VT(1) < 18 = VP(1) nên phế ương trình không có nghi m trongệ
kho ng trên ả
Tóm l i phạ ương trình có nghi m duy nh t x = 2.ệ ấ
Thí d 144 ụ : Gi i phả ương trình: x4 + x3 + 5 x + 2= 2 + 5 2 (1)
L i gi i: ờ ả
Đ t f(x) = ặ x 4 + x 3 + 5 x + 1 có f(x) xác đ nh liên t c trênị ụ [− 1 ; +∞)
f/(x) =
1 x 2
5 x
x 3 2
+ +
+
- N u x ≥ 0 thì fể /(x) > 0 nên f(x) đ ng bi n do đó VT(1) đ ng bi n mà ồ ế ồ ế VP(1) = const Vì v y x = 1 là nghi m duy nh t c a phậ ệ ấ ủ ương trình
- N u –1≤ x < 0 ta th y VT(1) < 6 < VP(1) ế ấ
V y phậ ương trình có nghi m duy nh t x = 1.ệ ấ
§3: Ph ươ ng pháp hàm liên t c: ụ
Thí d 145 ụ : Gi i b t phả ấ ương trình 0 (1)
x x 4
3 x 4
x tg
−
−
+ + π
L i gi i: ờ ả
Đ t ặ
x x 4
3 x 2 4
x tg ) x (
2 −
−
+ +
π
= ; f(x) xác đ nh khi và ch khi:ị ỉ
≠
≤
Ζ
∈ +
≠
⇔
≠
−
−
≥
−
Ζ
∈ π +
π
≠ π
2 x
2 x
) k ( 2 k x
0 x x 4
0 x 4
) k ( k 2 4 x
2
2 x
2 x
∗
≠
<
⇔
0 3 x 4
x tg ) x ( g 0 ) x ( = ⇔ = π + + = Có g(x) xác đ nh trênị ( ∗ )và
0 2 4
x cos 4
) x ( ' g
2
>
+ π
π
=
v iớ ∀ xtho mãnả ( ∗ )nên g(x) đ ng bi n trên ồ ế ( ∗ ) 1
x ) 1 ( g ) x (
g = − ⇔ = − ⇒ ( x ) = 0 ⇔ x = − 1
Do f(x) liên t c trênụ ( ∗ ) 0
3 7
) 2 1 ( 2 2
3
+
+
=
−
2
3 ) 0 ( , 0 5
6
3 7
) 2 7 ( 2 2
3
−
+
=
ta có b ng xét d u f(x) trên ả ấ ( ∗ )
x − ∞ − 2 − 2 − 1 2 2
∞ +
f(x) + – 0 + –
T b ng ta đừ ả ược (1) có nghi m ệ − 2 < x < − 1 ∨ 2 < x < 2
Trang 4Thí d 146 ụ : Gi i b t phả ấ ương trình: 0 ( 1 )
1 2
1 x 2
x
x 1
≤
−
+
−
−
L i gi i: ờ ả
Đ t ặ
1 2
1 x 2 2
)
x
( 1 x x
−
+
−
= − , f(x) xác đ nh khi và ch khi:ị ỉ
( ; 0) (0 ; ): ( ) x
0 x 0
1
2 x − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ∈ − ∞ ∨ +∞ = ∗
Xét phương trình ( x ) = 0 ⇔ g ( x ) = 2 1 − x − x + 1 = 0 Có g(x) xác đ nh, liên t c trên ị ụ ( ∗ )
0 2 2 ln
.
2
)
x
(
'
g = − 1 − x − < v i ớ ∀ x ∈ ( ∗ )nên g(x) ngh ch bi n trên ị ế ( ∗ )
1 x )
1
(
g
)
x
(
g = ⇔ = ⇒ ( x ) = 0 ⇔ x = 1
Do f(x) liên t c trênụ (*) ( − 1 ) = − 14 < 0; 2 2 0
2
1
f = + >
6
5 ) 2 ( = − <
Nên ta có b ng xét d u f(x) trên (*)ả ấ
x −+∞∞ 0 1
f(x) - + 0
-T b ng ta đừ ả ược (1) có nghi m ệ x < 0 ∨ x ≥ 1
Thí d 147 ụ : Gi i b t phả ấ ương trình:( x − 3 ) x 2 − 4 ≤ x 2 − 9 ( 1 )
L i gi i: ờ ả
0 ) 3 x 4 x )(
3 x (
)
x
(
)
1
( ⇔ = − 2 − − − ≤ , f(x) xác đ nh khi và ch khiị ỉ
x 0
4
x 2 − ≥ ⇔ ∈ − ∞ − ∨ +∞ = ∗
0 ) 3 x 4 x )(
3 x
(
0
)
x
β +
=
−
α
=
−
⇔
) ( 3 x 4 x
) ( 0
3 x
2
3
x
)
( α ⇔ =
+
=
−
≥ +
⇔
) 3 x ( 4
x
0 3
x
)
(
= +
−
≥
⇔
0 13 x
3 x
−
=
−
≥
⇔
6
13 x
3 x
6
13
x= −
⇔
f(x) liên t c trênụ ( ∗ ) ( − 3 ) = − 6 5 < 0; ( − 2 ) = 5 > 0; ( 4 ) = 2 3 − 7 < 0
Nên ta có b ng xét d u f(x) trên ả ấ ( ∗ )
x −∞ −136 −2 2 3
∞
+
f(x
T b ng ta đừ ả ược (1) có nghi mệ x 3
6
13
x ≤ − ∨ ≥ .
Thí d 148 ụ : Gi i b t phả ấ ương trình 4 x 2 x 2 x 2 1 3 2 x x 2 2 x 8 x 12 ( 1 )
+ +
>
+
L i gi i: ờ ả
(1) x 2 x 2 x 2 1 3 2 x x 2 2 x 8 x 12 0
>
−
−
− + +
⇔ + ⇔ ( x 2 − x − 3 )( 2 x2 − 4 ) < 0
0 ) 4 4 )(
3 x x
x 2
2
<
−
−
−
(x x 3)(4 2 1) 0
2 x 2
2
<
−
−
−
2
2 x ) 1 4 )(
3 x x (
2
⇔
⇔ ( x + 1 )( x − 3 )( x + 2 )( x − 2 ) < 0 ⇔ − 2 < x < − 1 ∨ 2 < x < 3
V y (1) có nghi m ậ ệ − 2 < x < − 1 ∨ 2 < x < 3
Thí d 149 ụ : Gi i b t phả ấ ương trình: logx(3−x)( 3 − x ) > 1 ( 1 )
L i gi i: ờ ả
0 1 x x
3 x 0 1 , 0 ) x 3 ( x
0 x 3
≠ +
−
<
<
⇔
≠
>
−
>
−
V i đi u ki n đó:ớ ề ệ 0
) x 3 ( log 1 ) 1 ( ⇔ − x(3−x) − <
⇔ logx(3−x)x ( 3 − x ) − logx(3−x)( 3 − x ) < 0 ⇔ logx(3−x) x < 0 ⇔[x ( 3 − x ) − 1]( x − 1 ) < 0 ⇔ ( x 2 − 3 + 1 )( x − 1 ) > 0 ( x 1 ) 0
2
5 3 x 2
5 3
−
−
⇔
2
5 3 x 1 x 2
5
3 − < < ∨ > +
⇔
2
5 3 1 x 2
5
3− < < ∨ + < <
Thí d 150 ụ : Gi i b t phả ấ ương trình: cos x − sin x − cos 2 x > 0(1) v iớ x ∈(0 ; 2 π): =(*)
L i gi i ờ ả :
Đ t ặ ( x ) = cos x − sin x − cos x, có f(x) xác đ nh, liên t c trên (*) f(x) = 0ị ụ
0 x 2 cos x sin x
⇔
0 ) x sin x (cos x sin x
⇔ ⇔ (cos x − sin x )( 1 − cos x − sin x ) = 0
1 x sin x cos 0 x sin x
⇔
=
−π
=
−π
⇔
2
2 4
x cos
0 4 x sin
Trang 5) k ( kx 2 4 4
x
kx 2 4
4
x
kx
4
x
Ζ
∈
+
π
−
=
π
−
+
π
=
π
−
=
π
−
= +
π
=
+
π
=
kx 2 x
kx 2 2 x
kx 4 x
Z)
K t h p v iế ợ ớ ( ∗ )ta có
4
5 x 2
x 4
x= π∨ = π∨ = π
Do f(x) liên t c trên (*) và ụ 0
2
2 3 6
f = − <
2
3 f ) ( = − <
π
−
= π
Nên ta có b ng xét d u f(x) trên ả ấ ( ∗ )
X −∞ 0 4
π
2
π
4
5 π π
2 + ∞
T b ng ta đừ ả ựợc (1) có nghi m ệ π< < π∨ π< x < 2 π
4
5 2
x
Thí d 151 ụ : Gi i b t phả ấ ương trình: log( x+2− x) 2 ≤ log x+1 2 ( 1 )
L i gi i: ờ ả
Đi u ki n: ề ệ
≠
>
⇔
≠
>
+
≠
>
− +
≥ +
≥
≥ +
4
1 x
0 x
1 , 0 1 x
1 , 0 x 2 x
0 1 x
0 x
0 2 x
(*) V i đi u ki n đó:ớ ề ệ
1 x log
1 )
x 2 x (
log
1 )
1
(
2
⇔ log2( x + 2 − x ) ≥ log2 x + 1
⇔ log2( x + 2 − x ) − log2 x + 1 ≥ 0
1 x
x 2 x
+
− +
1 x
x 2 x ) 1 2
− +
− +
−
⇔
1 x
1 x x 2
+
+
−
− +
⇔ x + 2 ≥ x + x + 1 + 2 x ( x + 1 ) ⇔ 1 − x ≥ 2 x ( x + 1 )
⇔1(1−−xx≥)20≥4x(x+1)
≤
− +
≤
⇔ xx21 x 1 0
+
−
≤
≤
−
−
≤
⇔
3
3 2 3 x 3
3 2 3
1 x
3
3 2 3 x 3
3 2
−
⇔
K t h p v i (*) ta đế ợ ớ ược (1) có nghi m ệ
3
3 2 3 x
0< ≤ − + .
Thí d 152 ụ : Gi i b t phả ấ ương trình: 0 ( 1 )
4 x x
) 1 x ( log ) 1 x ( log
2
3 3
2
−
−
+
− +
L i gi i: ờ ả
Đi u ki n: ề ệ ⇔ ≠>−
≠
−
− >
+ >
+
4
x 0 4 x
xx 1) 0 (x 1) 0
(
2 3
2
(*) V i đi u ki n đó:ớ ề ệ
) 1
3
>
− +
⇔
+ +
0 ) 4 x )(
1 x ( 3 log
3 2
log 2
0 x
1 x 1
x
>
− +
−
≠
⇔
+ +
+
3 log 2 log
2 log 3 3 log
2 0 x
1 x 1 x
1 x 1
x
>
− + + +
−
≠
⇔
+ + 9 log 8 ) log ( x 1 ) log ( x 1 ).( x 1 )( x 4 ) 0
>
− + + +
≠
⇔
+ log ( x 1 ) log ( x 1 ).( x 1 )( x 4 ) 0 8
9 log
0 x
3 2
1 x
>
− + + +
≠
⇔
+ log ( x 1 ) log ( x 1 ).( x 1 )( x 4 ) 0 8
9 log
0 x
3 2
1 x
>
− +
− +
−
− +
−
−
− +
≠
⇔ 1).(2 1)(x 1 1).(3 1)(x 1 1).(x 1)(x 4) 0
8
9 )(
1 1 x (
0 x
>
− +
≠
⇔
0 ) 4 x )(
1 x ( x
0 x
3
0 ) 4 x )(
1 x (
x + − >
⇔ ⇔ − 1 < x < 0 ∨ x > 4
K t h p v i (*) ta đế ợ ớ ược (1) có nghi m ệ − 1 < x < 0 ∨ x > 4
§4: Ph ươ ng pháp m t ph ng to đ : ặ ẳ ạ ộ
Thí d 153 ụ : Tìm m đ h :ể ệ
<
+
−
≤
−
0 ) m x )(
x m (
0 1 x
2
2
vô nghiêm (1)
L i gi i: ờ ả
Đ t m = y và coi (1) là h 2 n x; y Ta có:ặ ệ ẩ
Trang 6
<
+
−−x≤)( x y ) 0
y
(
0 1
x
2
2
−
<
<
−
≤
≤
−
} x
; x max{
y } x
; x min{
1 x 1
2 2
−
<
<
≤
≤
−
x y
x
1 x
1
<
<
−
≤
≤
−
2
x y x
1 x 1
(2) Trên m t ph ng to đ v các đặ ẳ ạ ộ ẽ ường: x = 0; x = –1; y = – x; y = x2
Bi u di n nghi m t ng thành ph n c a (2) r i k t h p l i ta để ễ ệ ừ ầ ủ ồ ế ợ ạ ược mi n nghi m N c aề ệ ủ
(2) là mi n đề ược g ch chéo không l y biên trên hình vạ ấ ẽ
-1
1 2
x
y
y =
x =
- 1
x = 1
Nghi m c a (1) chính là nghi m c a (2) ng v i y = m t c là nghi m c a (1) là hoànhệ ủ ệ ủ ứ ớ ứ ệ ủ
đ c a các đi m thu c ph n chung c a độ ủ ể ộ ầ ủ ường th ng y = m (ẳ ⊥y’oy) và N
T nh n xét trên và hình v ta có (1) vô nghi m khi y = m và N không có đi m chung,ừ ậ ẽ ệ ể
khi và ch khi m < –1 ho c m > 1ỉ ặ
V y |m| > 1 là các giá tr c n tìm đ h (1) vô nghi m.ậ ị ầ ể ệ ệ
Thí d 154 ụ : Tìm m đ h ể ệ
≤ + + +
−
≤
− +
−
0 m m x ) 1 m 2 ( x
0 m 1 x 2 x
2 2
2
có nghi m duy nh tệ ấ
L i gi i: ờ ả
Đ t m = y và coi h đã cho là h (1) v i 2 n x; y ta có:ặ ệ ệ ớ ẩ
(1)
≤ + + +
−
≤
− +
−
0 y y x ) 1 y 2
(
x
0 y 1 x 2
x
2 2
2
≤
− +
−
−
−
≥
0 x x y ) 1 x
2
(
y
) 1
x
(
y
2 2
2
≤
≤
−
−
≥
x y 1 x
) 1 x (
(2) Trên m t ph ng to đ v các đặ ẳ ạ ộ ẽ ường: y = (x–1)2; y = x – 1; y = x
Bi u di n nghi m t ng thành ph n c a (2) r i k t h p l i ta để ễ ệ ừ ầ ủ ồ ế ợ ạ ược mi n nghi m N c aề ệ ủ
(2) là ph n g ch chéo l y c biên trên hình vầ ạ ấ ả ẽ
1 2 3 4
x
y
y = x
- 1
y = (x
1)^2
y = x
Nghi m c a (1) chính là nghi m c a (2) ng v i y = m t c là nghi m c a (1) là hoànhệ ủ ệ ủ ứ ớ ứ ệ ủ
đ c a các đi m thu c ph n chung c a độ ủ ể ộ ầ ủ ường th ng y = m ( ẳ ⊥y’oy) và N T nh n xétừ ậ trên và t hình vê ta thu đừ ược (1) có nghi m ệ đường th ng y = m (ẳ ⊥y’oy) và N có
2
5
3 +
V y 0 ≤ m ≤ ậ
2
5
3 + là các giá tr c n tìm đ phị ầ ể ương trình có nghi m.ệ
Thí d 155 ụ : Tìm m đ h ể ệ
≤ + +
≤ + +
m x 2 y x
m y 2 y x
2 2
2 2
(1) có nghi m duy nh tệ ấ
L i gi i: ờ ả
(1)
+
≤ + +
+
≤ + +
1 m y ) 1 x (
1 m ) 1 y ( x
2 2
2 2
Xét 2 đường tròn (α): x2 + (y + 1)2 = m + 1 có tâm A(0; –1); R = m + 1
(β): (x + 1)2 + y2 = m + 1 có tâm B(–1; 0); R = m + 1
H (1) có nghi m duy nh t khi và ch khi (α) và (β) có duy nh t 1 đi m chungệ ệ ấ ỉ ấ ể
(α) và (β) ti p xúc ngoài v i nhau khi đó: ế ớ
AB = 2 m + 1 ( 0 + 1 ) 2 + ( − 1 − 0 ) 2 = 2 m + 1
2= 2 m + 1 m = –
2 1
V y giá tr c n tìm c a m là m = –ậ ị ầ ủ
2
1
Thí d 156 ụ : Tìm m đ h ể ệ
= +
≥ +
+ m y 2 x
1 ) y x ( log x 2 y 2
(1) có nghi mệ
L i gi i: ờ ả
Trang 7Ta có: logx 2 + y 2(x + y) = 1 (2)
0 < x + y ≤ x2 + y2 < 1 ho c x + y ≥ xặ 2 + y2 > 1
≥
− +
−
<
+
>
+
2
1 2
1 y 2
1 x
1 y x
0 y
x
2 2
2 2
ho c ặ
≤
− +
−
>
+
2
1 2
1 y 2
1 x
1 y x
2 2
2 2
(2)
Trên m t ph ng t a đ Oxy v đ th c a các hàm s : ặ ẳ ọ ộ ẽ ồ ị ủ ố
∆: x + y = 0; (T1): x2 + y2 = 1; (T2): (x –
2
1
)2 + (y –
2
1
)2 =
2 1
-1
1 2
x
y
1
T
2
T
Δ
x + y = 0
1
2
m y x
= +
2
2
m y x
= +
A
Bi u di n nghi m t ng thành ph n r i k t h p l i ta để ễ ệ ừ ầ ồ ế ợ ạ ược mi n nghi m N c a (2) làề ệ ủ
ph n g ch chéo trên hình v không l y nh ng đi m thu c ầ ạ ẽ ấ ữ ể ộ (T2) và (∆)
Xét đường th ng: x + 2y = m t i 2 v trí ng v i mẳ ạ ị ứ ớ 1và m2
Có đ th c a hàm s : x + 2y = mồ ị ủ ố 1 đi qua đi m A(ể
2
1
;–
2
1
)⇒ m1 = –
2 1
Đ th c a hàm s : x + 2y = mồ ị ủ ố 2 ti p xúc v i (Tế ớ 2) t i đi m thu c góc ph n t th nh tạ ể ộ ầ ư ứ ấ
⇒ m2=
2
10
3 +
(1) có nghi m ệ đường th ng x + 2y = m và N có đi m chung ẳ ể
– 12 < m ≤
2
10
3 +
V y –ậ
2
1
< m ≤
2
10
3 + là nh ng giá tr c n tìm.ữ ị ầ
Thí d 157 ụ : Tìm m đ h ể ệ
≤ +
≥ + + +
1 y x
1 xy 2 m y x
(1) a) Có nghi m.ệ
b) Vô nghi m.ệ
L i gi i: ờ ả
(1)
≥ +
−
≥ +
≤ +
0 ) y x ( 1 xy 2 m
1 y x
+ + +
−
≥ +
≤ +
2
) y x ( ) y x ( 2 1 xy 2 m
1 y x
− +
−
≥ +
−
≤
) 3 ( ) 1 x ( ) 1 y ( 1 m
) 2 ( x
1 y
2 2
Trên m t ph ng to đ Oxy v đ th c a các hàm s : ặ ẳ ạ ộ ẽ ồ ị ủ ố
y = 1 – x (∆); (x – 1)2 + (y – 1)2 = m + 1 (α)
-1
1 2 3
x
y
(α)
▲
Ta th y nghi m c a (2) là toàn b ph n m t ph ng n m phía trên đấ ệ ủ ộ ầ ặ ẳ ằ ường th ng ∆ cònẳ nghi m c a (3) là nh ng đi m n m trong và trên đệ ủ ữ ể ằ ường tròn α
Nên:
a) (1) có nghi m khi và ch khi đ th hàm s c a (∆) và (α) có đi m chungệ ỉ ồ ị ố ủ ể
d(I; ∆) ≤ R (I(1; 1); R là tâm c a (α)) ủ
1 1
| 1 1 1
|
+
− +
2
1
≤ m + 1 –
2
1
≤ m
V y nh ng giá tr c a m c n tìm đ (1) có nghi m là m ≥ –ậ ữ ị ủ ầ ể ệ
2
1
b) Nh n th y nh ng giá tr còn l i c a m trên t p R là nh ng giá tr làm cho (1) vôậ ấ ữ ị ạ ủ ậ ữ ị nghi m.ệ
V y nh ng giá tr c a m c n tìm đ (1) vô nghi m là m < –ậ ữ ị ủ ầ ể ệ
2
1
Thí d 158: ụ Bi n lu n theo a s nghi m c a h :ệ ậ ố ệ ủ ệ
β
=
−
−
α
= +
) ( 0 ) a y )(
a 2 x (
) ( 4
| y
| 2
| x
|
L i gi i: ờ ả
(α)
= +
≥
≥
4 y x
0 y
; 0 x
v
=
−
≤
≥
4 y 2 x
0 y
; 0 x
v
= +
−
≥
≤
4 y 2 x
0 y
; 0 x
v
−
= +
≤
≤
4 y 2 x
0 y
; 0 x Trên m t ph ng to đ Oxy, bi u di n nghi m c a (α) là hình thoi ABCD nh ặ ẳ ạ ộ ể ễ ệ ủ ư hình v : ẽ