Tài liệu ôn tập môn đại số sơ cấp

Tính giá trị biểu thức sau:.

Trang 1

ÔN TẬP ĐẠI SỐ SƠ CẤP Chương 1: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU THỨC TOÁN HỌC

Bài 1: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2013 – 2014, vòng 1)

1 Cho biểu thức

3 2

2

a b

Q





với a 0, b 0, ab Chứng minh giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a và b

2 Cho các số thực a, b, c thỏa a b c  0 Chứng minh đẳng thức

2

1 Chứng minh giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a và b

Điều kiện xác định: a 0, b 0, ab

Với điều kiện trên ta có:

3 2

2

a b

Q





3

2 3

a a b





3



3



1





Vậy: Q không phụ thuộc vào a và b

Trang 2

2 Chứng minh  2 2 22  4 4 4

2

a b c  a b c với a b c  0

2

a b c  a b c  ab bc ca 

Theo giả thiết thì a b c  0 nên có 2 2 2  

2

Suy ra:  2 2 22  2

4

4 a b b c c a 2ab c 2bc a 2ca b

4 a b b c c a

   (vì a b c  0) Mặt khác:  2 2 22 4 4 4  2 2 2 2 2 2

2

  2 2 22  4 4 4  2 2 2 2 2 2

2 a b c 2 a b c 4 a b b c c a

  2 2 22  4 4 4  2 2 22

2 a b c 2 a b c  a b c

  2 2 22  4 4 4

2

Vậy: đẳng thức được chứng minh

Bài 2: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2013 – 2014, vòng 2)

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời hai biểu thức

Và  3 3 3 3 3 3 3 3 3

Chứng minh rằng: abc 0

Ta có: 3 3    2 2

a b  a b a ab b

b c  b c b bc c

c a  ca c caa

Nhân vế theo vế ta được:

Thay các đẳng thức (1) và (2) vào (3) cho:

a b c abc a ab b b bc c c caa

0

Trang 3



abc









(4) thỏa yêu cầu bài toán

Xét phương trình (5)

Ta có: a b 2 0  a2b22ab0  a2b2 2ab

Suy ra: a2ab b 2ab

Tương tự ta cũng có: b2bcc2 bc và c2caa2 ca

Nhân vế theo vế ta được:  2 2 2 2 2 2 2 2 2

a ab b b bc c c caa a b c

Hay:  2 2 2 2 2 2 2 2 2

0

a ab b b bc c c caa a b c 

Dấu đẳng thức xãy ra khi abc

Thay vào (1) ta được 8a3a3  a 0bc

Suy ra: abc 0

Vậy: abc 0

Bài 3: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2013 – 2014, vòng 1)

Giả sử a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn đẳng thức a b b c c    a8abc Chứng minh rằng:

3 4

a b b c ca   a b b c   b c c a  ca a b

VT

Từ a b b c c    a8abc, suy ra

8















Trang 4

Cộng vế theo vế ta được:

1

8

abc

Ta lại có: a b b c c    a8abc

 abca b2 ac2a c b c b a bc2  2  2  2abc8abc

 a b2 ac2a c b c b a bc2  2  2  2 6abc

Thay vào (2) ta được:

Thay vào (1) ta được:

3 4

Vậy: đẳng thức được chứng minh

Bài 4: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành – Yên Bái năm 2013 – 2014)

Cho biểu thức

:

P

Tìm điều kiện của a , b để P có nghĩa, sau đó rút gọn P

Điều kiện của a , b để P có nghĩa là a 0, b 0 và ab

:

P

:

2

1



2



1 1

a





Trang 5

Vậy: 1

1

P

a





Bài 5: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Bắc Giang – Bắc Giang năm 2013 – 2014)

Cho biểu thức

2

A

1 Tìm x để A có nghĩa, sau đó rút gọn A

2 Tính giá trị của biểu thức A khi 3 1

2 2

1 Điều kiện của x để A có nghĩa:

2

x x

 



  





   



   





1 1 0 0

x x x x

 















 



 1 1

0

x x

  









2

A

 1 1  2 1 1 2

 1 1   1 1   1 1   1 1 

2

x



2 1 2 1  2 1 2

2

Vậy:

2

2 1 x

A

x





2 Tính giá trị của biểu thức A khi 3 1

2 2

Ta có:

2

8

2 2

Trang 6

Suy ra: 2 4 2 3 4 2 3  3 12

x



Nên: 2  3 12 3 1

1

x

   (vì 3 1 0  )

 

2

3 1

2

2 2

x A

x



Vậy: A  3 1 2

Bài 6: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Cao Bằng – Cao Bằng năm 2013 – 2014)

2

2 1

x



 

1 Tìm điều kiện của a để x có nghĩa?

2 Tính giá trị của biểu thức Ax4x28?

1 Tìm điều kiện của a để x có nghĩa:

2

0

a a a a

  



 





 



 





1 1 0

a a a







 



 



 1 1

0

a a

  









2

2 1

x



 

2

2 2 1

2

2 1

a



 

2

2 2 1



 

2 2

2 2 1



 

Trang 7

 1 1  2 1 1 

2

a



 1 1  1 1 

2

a



2

  

2 1 2 1  2 1 2

2

Vậy: x  2

2 Tính giá trị của biểu thức Ax4x28

Thay x  2 vào biểu thức ta được:

   4 2

Ax x         Vậy: A 10

Bài 7: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Lào Cai – Lào Cai năm 2013 – 2014)

1 Tìm điều kiện của x , y để

3

3 2

3

P



đó rút gọn P?

2 Tính x biết 3 3 3

1 3 4 3 2

1 Tìm điều kiện của x , y để P có nghĩa:

0 0

0 0 0

x y

 











  





0 0 0 0

x y x y





 







 









0 0

x y











 



3

3 2

3

P





3

2

3





Trang 8

  

3

2

3



 3



3

3 x 3x y 3y x 3 y



3 3

3

y x



Vậy: P 3

2 Tính x biết 3 3 3

1 3 4 3 2

2 1  2 3 43 2 1 1 3 4   3 2

Do đó: 3 3 3 3 3

1 3 4 3 2 2 1

Suy ra: x  3 2 1

Vậy: 3

2 1

Bài 8: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam năm 2013 – 2014)

Cho biểu thức: 2  2 3  3 2 3  2 2

M





1 Tìm điều kiện của a , b để M có nghĩa? Sau đó rút gọn M ?

2 Tính giá trị của biểu thức M khi biết a  1 3 2 và 10 11 8

3

1 Tìm điều kiện của a , b để M có nghĩa:

0 0

a b

 













0 0 0 0

a b a b





 









 

 0

0

a b











Trang 9

M









2 3



2

a a



Vậy: M 2 3b

a

2 Tính giá trị của biểu thức M khi biết a  1 3 2 và 10 11 8

3

Ta có: 3b 30 11 8 30 22 2

 2

30 22 2 3 2 1

6 4 2 2 2

1 3 2

b a



Suy ra: 3b 2 22 2 2

Thay vào M ta được: M 2 3b 2 2 2 2

a

Vậy: M  2

Bài 9: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị năm 2013 – 2014)

Hãy tính: A2x32x21 với 1 3 23 513 3 23 513

1

x

Đặt: 3 23 513

4

Thì: 1 1

3

x y Hay y3x1

Mặt khác: 3  3 3 3  

3

y  a b a b  ab a b

3

23 3

Trang 10

Thay y3x1 vào ta được:

3 13 23 3 3 1

2

 27 3 27 2 9 1 23 9 3

2

 2x32x2 1 2

Vậy: A2x32x2 1 2

Bài 10: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Trần Hưng Đạo – Bình Thuận năm 2013 – 2014)

Trục căn ở mẫu ta được:

1

2

Vậy: A 6 14 1

Bài 11: (Trích “Toán khó 11 Đại Số - Giải Tích, Trần Bá Hà – Giáo viên THPT Chuyên Lê Quý

Đôn, Quảng Nam – Đà Nẵng, NXBHN 1997”)

Tìm điều kiện xác đinh và rút gọn biểu thức:

2

n n

M

 

Điều kiện xác định của M

1 2 2

0

n n

a





 





 





2

3 0

1 0

n

a

a a



 





 





1

a

  





 



   





0 1 3

a a a







 



 

 Với điều kiện trên ta có:

2

n n

M

 

n

Trang 11

  

n

1

n n

Vậy: M a n 12

a 





2 2

2 1 1

1

N

Điều kiện xác định của N

4

0

x x









 0

1

x x











Đặt: 4

a x 

2 4 2 4

 







 Thay vào biểu thức ta được:

2 2

1

a a

N

 



 2 2

2

0

              

Vậy: N 0

2

1

3 3 3

n

P x x x x x x

Điều kiện xác định của P

0 0

x x









  x 0

Trang 12

2

3 3 3

3

n

  

Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn ta được:

n

n n



2

n



 Thay vào biểu thức ta được:

2 1

3 1 2.3

n

n n

x



 



Vậy:

1 1 1

2 2.3n 2n

Px  

2

1 1

A

x



Với x 1 ta có: x 4x1  x 1 2 x  1 1  x 1 12



 Và: x 4x1 x 1 2 x  1 1  x 1 12

 x 4x1   x 1 12  x  1 1

Mặt khác: 2   2  2

Do đó, điều kiện xác định của A là:

2

1 0

x

 











1 2 1

x x x











 



 1

2

x x











Trang 13

   

2

1 1

A

x



2

x



x





 

 2

1 2

1

x x









 

 



Vậy:

2

1 2

1

x x

A

x x









 

 



Rút gọn biểu thức:    

1

2 2 1

1

4

với a 0, b 0

Điều kiện xác định của B là a 0, b 0 hoặc a 0, b 0

2

                 

2

           



1

              

Thay vào biểu thức ta được:

1

2 2 1

1

Vậy: B 1

Trang 14

PHẦN BÀI TẬP TỰ GIẢI

1 Chứng minh:

2 Chứng minh: nếu ax3 by3 cz3 và 1 1 1 1

x y z  thì:

3ax by cz  a b c

Cho logab a  Tính 3

5

logab a a

b



ĐS: log 8

5

ab a  

Chứng minh các hệ thức sau:

1 Cho a2 b2c2, 0a b 1, 0  c b 1 Chứng minh rằng:

logc b alogc b a2 logc b alogc b a

2 Cho 8

1

1 log

8 a

1

1 log

8 b

c  , 0a b c, , 8 Chứng minh rằng:

8

1

1 log

8 c

1 Cho a log 156 , b log 1812 Tính log 24 25

2 Cho a log 32 , b log 52 Tính log 1030

ĐS:

25

5 log 24

b





log 30 a b 

Trang 15

Chứng minh các đẳng thức sau:

1 Cho a 0, b 0 thỏa a24b2 23ab và 0N 1 Chứng minh rằng:



2 Cho a 0, b 0 thỏa a24b2 12ab và 0N 1 Chứng minh rằng:

2

N a b  N a N a N b

Rút gọn các biểu thức sau:

1

log log

log

b b b

a a

Aa

2

1 log 3

a

b B

a

b





ĐS: Alogb a

loga

Bài 22: (Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Ninh Thuận năm 2012 – 2013)

Cho x , y thỏa mãn x3 y y2 1 3 y y21 Tính giá trị biểu thức sau:

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	263,94 KB