GIẢI BÀI TẬP BÌNH SAI GIÁN TIẾP - VÍ DỤ 2153

GIẢI BÀI TẬP BÌNH SAI GIÁN TIẾP

-VÍ DỤ 2/153

h1 = +0,023m; SAB = S1 = 5km

h2 = +1,114m; SBC = S2 = 5km

h3 = +1,142m; SAC = S3 = 5km

h4 = +0,078m; SAD = S4 = 2km

h5 = +0,099m; SBD = S5 = 2km

h6 = +1,216m; SDC = S6 = 2km

Hãy lập hệ phương trình số hiệu chỉnh và kiểm tra kết quả các

hệ số trong hệ phương trình số hiệu chỉnh?

A

C

B

D

h3

y

h5

- Trong lưới độ cao đã cho chưa có điểm nào biết trước độ cao nên số lượng ẩn t được xác định theo công thức:

t = p – 1 = 4 – 1 = 3

p = 4 – Số lượng điểm chưa biết độ cao (A, B, C, D)

- Chọn hiệu độ cao xác suất nhất giữa các điểm D – A, D – B, D – C làm ẩn số và lần lượt biểu diễn bằng x, y, z Nghĩa là ta có:

HA – HD = x; HB – HD = y; HC – HD

= z

- Theo sơ đồ trên hình đã cho ta viết được các phương trình giá trị đo:

h1 + v1 = HB – HA = (HB – HD) – (HA – HD) = y – x

h2 + v2 = HC – HB = (HC – HD) – (HB – HD) = z – y

h3 + v3 = HC – HA = (HC – HD) – (HA – HD) = z – x

h4 + v4 = HA – HD = x

h5 + v5 = HB – HD = y

h6 + v6 = HC – HD = z

- Chuyển thành phương trình số hiệu chỉnh ta có:

v1 = -x + y – h1

v2 = -y + z – h2

v3 = -x + z – h3

v4 = x – h4

v5 = y – h5

v6 = z – h6

- Ta có: x = xo + x

y = yo + y

z = zo + z

- Chọn giá trị gần đúng của ẩn số là:

xo = h4 = 0,078 m

yo = h5 = 0,099 m

zo = h6 = 1,216 m

- Thay xo, yo, zo vừa chọn vào các phương trình số hiệu chỉnh ta có:

v1 = -xo - x + yo + y – h1 = -0,078 - x + 0,099 + y – 0,023

=

= - x + y – 0,002(m) = - x + y – 2(mm)

v2 = -yo - y + zo + z – h2 = -0,099 - y + 1,216 + z – 1,114

=

= - y + z + 0,003(m) = - y + z + 3(mm)

v3 = -xo - x + zo + z – h3 = -0,078 - x + 1,216 + z – 1,142

=

= - x + z – 0,004(m) = - x + z – 4(mm)

v4 = x – h4 = xo + x – h4 = x

v5 = y – h5 = yo + y – h5 = y

v6 = z – h6 = zo + z – h6 = z

- Vậy ta có hệ phương trình số hiệu chỉnh như sau :

v1 = - x + y – 2

v2 = - y + z + 3

v3 = - x + z – 4

v4 = x

v5 = y

v6 = z

- Viết lại hệ trên như sau :

v1 = -1.x + 1.y + 0.z – 2 (1)

v2 = 0.x – 1.y + 1.z + 3 (2)

v3 = -1.x + 0.y + 1.z – 4 (3)

v4 = 1.x + 0.y + 0.z (4)

v5 = 0.x + 1.y + 0.z (5)

v6 = 0.x + 0.y + 1.z (6)

(v i = a i  x + b i  y + … + t i  u + L i )

- Ta có: Pt (1) a1 = -1 b1 = 1 c1

= 0 L1 = -2

Pt (2) a2 = 0 b2 = -1 c2

= 1 L2 = 3

Pt (3) a3 = -1 b3 = 0 c3

= 1 L3 = -4

Pt (4) a4 = 1 b4 = 0 c4

= 0 L4 = 0

Pt (5) a5 = 0 b5 = 1 c5

= 0 L5 = 0

Pt (6) a6 = 0 b6= 0 c6 = 1

L6 = 0

- Tính trọng số của các hiệu độ cao đo:

Pi = C/Si (chọn C = 10)

P1 = P2 = P3 = 2 (vì S1 = S2 = S3 = 5)

P4 = P5 = P6 = 5 (vì S4 = S5 = S6 = 2)

- Thành lập hệ phương trình chuẩn :

[Paa].x + [Pab].y + [Pac].z + [Pal] = 0 [Pab].x + [Pbb].y + [Pbc].z + [Pbl] = 0

[Pac].x + [Pbc].y + [Pcc].z + [Pcl] = 0

- Tính các hệ số của các phương trình trong hệ phương trình trên, kết quả như bảng dưới đây:

i P i a i b i c i L i P i a i a i P i b i b i P i c i c i P i a i b i P i a i c i P i b i c i P i a i L i P i b i L i P i c i L

1 2

2 2 0 -1 1 3 0 2 2 0 0 -2 0 -6 6

3 2

4 5 1 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0

5 5 0 1 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0

6 5 0 0 1 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0

[Paa] [Pbb] [Pcc] [Pab] [Pac] [Pbc] [PaL] [PbL] [PcL]

Tổng cộng 9 9 9 -2 -2 -2 12 -10 -2

- Thay số ta có hệ phương trình số hiệu chỉnh như sau:

9.x - 2.y - 2.z + 12 = 0 -2.x + 9.y -2.z - 10 = 0 -2.x - 2.y + 9.z - 2 = 0

- Kiểm tra các hệ số của hệ phương trình chuẩn theo 3 phương trình sau:

[Paa] + [Pab] + [Pac] + [PaL] = [PaS] (1) [Pab] + [Pbb] + [Pbc] + [PbL] = [PbS] (2) [Pac] + [Pbc] + [Pcc] + [PcL] = [PcS] (3) Trong đó :

a1 + b1 + c1 + L1 = S1

a2 + b2 + c2 + L2 = S2

a3 + b3 + c3 + L3 = S3

- Lập các bảng kiểm tra các phương trình :

Bảng kiểm tra phương

trình (1)

i P i a i b i c i L i S i P i a i a i P i a i b i P i a i c i P i a i L i P i a i S i

1 2

-1 -1 0 -2

2 2 0

3 2

-1 0 -1 -4

4 5 1 0 0 0 1 5 0 0 0 5

5 5 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0

6 5 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0

[Paa] [Pab] [Pac] [PaL] [PaS]

Tổng cộng: 9 -2 -2 12 17

[Paa] + [Pab] + [Pac] +

[PaL] [PaS]

Bảng kiểm tra phương

trình (2)

i P i a i b i c i L i S i P i a i b i P i b i b i P i b i c i P i b i L i P i b i S i

1 2

-1 -1 0 -2

2 2 0

3 2

-1 0 -1 -4

4 5 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0

5 5 0 1 0 0 1 0 5 0 0 5

6 5 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0

[Pab] [Pbb] [Pbc] [PbL] [PbS]

Tổng cộng: -2 9 -2 -10 -5

[Pab] + [Pbb] + [Pbc] +

[PbL] [PbS]

Bảng kiểm tra phương

trình (3)

i P i a i b i c i L i S i P i a i c i P i b i c i P i c i c i P i c i L i P i c i S i

1 2

-1 -1 0 -2

2 2 0

3 2

-1 0 -1 -4

4 5 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0

5 5 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0

6 5 0 0 1 0 1 0 0 5 0 5

[Pac] [Pbc] [Pcc] [PcL] [PcS]

Tổng cộng: -2 -2 9 -2 3

[Pac] + [Pbc] + [Pcc] +

[PcL] [PcS]

- Giải hệ phương trình số hiệu chỉnh theo phương pháp khử Gauss :

9.x - 2.y - 2.z = -12 -2.x + 9.y -2.z = 10 -2.x - 2.y + 9.z = 2

-2 9 -2 10 2L1 + 9L2 

L2

-2 -2 9 2 2L1 + 9L3 

L3

0 -22 77 -6 2L2 + 7L3 

L3

- Vậy hệ đã cho tương đương với hệ dưới đây:

9.x - 2.y - 2.z = -12 77.y -22.z = 66 495.z = 90

- Giải ra ta có kết quả:x = -1,091 (mm)

y = 0,909 (mm)

z = 0,182 (mm)

- Từ đó suy ra giá trị xác suất nhất của x, y, z là:

x = xo + x = 0,078 - 1,091.10-3 = 0,0769  0,77 (m)

y = yo + y = 0,099 + 0,909.10-3 = 0,0999  0,100 (m)

z = zo + z = 1,216 + 0,182.10-3 = 1,21618  1,216 (m)