Chtrng minh rang cdc vectd rr,n2,...,rn dOc ldp tuyOn tfnh.. Chtnrg minh rang ZR lh mOt vdnh con giao ho6n cira R.. Cho p ve ',h L hai tu dbng cdu tuydn tfnh cria mQt kh6ng gian vectcr h
Trang 1e0 ctRo DUc vA DAo rAo
.{
DAI HOC HUE
Hq vd t€n thf sinh
Sd bdo danh
KV rHr ruydN srNH sAU DAr Hoc NAM 2006
Mdn thi: Dai sd (ddnh cho: Cao hgc) Thdi gian ldm bdi: 180 phut
Cflu 1 a Cho n1,r2, ,r, id cr{c vecto khr{c khOng ctia m6t khOng gian vecto, cbn
A le mQt ph6p bidn ddi tuydn tinh cfia khOng gian vectd d6 sao cho
A r t - 1 1 , A n p : t r k * r t - t , k : 2 , 3 , ) n
Chtrng minh rang cdc vectd rr,n2, ,rn dOc ldp tuyOn tfnh
b Cho B lil ma trAn vuOng cdp n sao cho Bk :0, vdi k le mQt sd tu nhiOn ndo d6 Tim (E^ - B)-t, trong d6 E- ld ma trAn vuOng don vr cdp n
Chu 2 Cho c le nh6m sinh boi hai phdn tir r vd a vu cdc quan h€:
t r 4 : a 2 : ! , a r - r 3 a
a X6c dinh nhfrng phdn tr? cfra nh6m G
b Tim tdt ca ciic nh6m con cfia nh6m G
CAu 3 Cho n le mQt vdnh DFtt" Z(R) - {, e Rlra: an,Vo e R}
a Chtnrg minh rang Z(R) lh mOt vdnh con giao ho6n cira R
b Xdc dinh z(Mt(n)), trong d5 twt(n) lh vinh cdc ma trQn vuOng cdp 3 h0
sd thuc
CAu 4 Chtnrg minh rang ndu da thrlc 13 + arz + br * c c6 3 nghiOm thuc, phAn biet thi da thrlc 13 + ar2 + i@' + b)r + # cflng c6 3 nghigm th1rc, phAn bigt
Ghi chri: C6n b0 coi thi khOng giii thfch gi thOmVIETMATHS.NET
Trang 2' \ ) * - { * ? e
DAr HQC HU6
Hg ud, t€,n th{ s'inh:
Sd b6,o danh,:
KV rnr ruyiN srNH sAU o4l Hec NAnn zoor
M6n thi: DAI SO (dd,nh, cho Cao hoc) TlLdi gian ld,m bd,i: 180 phrit Cdu f
1 Cho nrtfr2t tnn Ib cri,c vecto khdc kh6ng crla m6t kh6ng gian vecto vh, A th, mQt ph6p bi6n ddi tuydn tfnh cria kh6ng gian vectcr d6 sao cho
A n 1 : 1 1 , A n n : f r k * r n - r , k : 2 , 3 r r f l
mQt s6 tu nhi6n ni,o d6 Tim (E^ - B)-1, trong d6 En lir, ma trAn vu6ng dsn vi cd,p n.
t l a 1 2 0 0 0 / n
g T f n r ( 0 o 1 \ - - - - - t - : ( 0 1 \ L n x d c d i n h t r 6 n t r b n s F
( _, 0 ) v6i ( _, 0 ) lb, ma trdn xac dinh tran trulng F.
Ciu II
1 Cho p ve ',h L hai tu dbng cdu tuydn tfnh cria mQt kh6ng gian vectcr hfru han chibu tr6n lrubng s6 phirc C sao cho po{s : tog Chfrng -Ln rXng p ve 4t cd chung mQt vects ri€ng,
2 Cho E lb m6t kh6ng gian vectcr Euclid htru han chibu vh (u1 , ,un) lb, m6t hO trgc chudn trong A.-CA*ng minh rXng n6u vcri ngi u e E tu dbu c6'-'
'i,:L
thi (u1, , or) lb mQt ccr s& a3,a E
C6.u IU Cho G th mQt nh6m nh6,n hfru hg,o sao cho G c6 mQt tu d8ng c6,u g th6a p(a) # o,Va t' 16 Chfrng minh rB,ng:
1 vcri m.oi a e G tbn tq,i g e G sao cho d': g-Lp(g);
2 ndu g c6 cdp bXng 2,tftcIi, p+i,d,vdp2 - id, thi p(.q) : g-L v6i moi g € G vb,
G te mQt nh6m aben c6 cd,p 14, m6t sd 16
C6.u IV
1 Cho E le mQt vh,nh Biao hod,n v6i don vi 1 I 0 vA, / lb mQt id€an crla E Chfrng minhrXng v6i m5i a € R, t6,p con J - {ar* I | * € l?} C RlI lh, m6t id6an cda
Rl I sinh bdi o + f € R/1 Tri d6 suy ra rXng khi f ld, id6an t6i dai crla vA,nh R thi moi phb,n trl kh6c kh6ng c,la RII dEu khd, nglrieh
2 Chirng minh rXng t$p hqp c6c s6 hfru tj dang ? usimAu sd Ih, mQt s6 nguyOn 16
n tao thb,nh m6t mibn nguy6n chfnh
Ghi chri: Cd,n b6 coi, th,i, kh,6ng gi,di, th{ch gi, th€,m
VIETMATHS.NET
Trang 3e0 ctao DIJc vA DAo T4.o
.f
DAI HQC HUE
Hg ud, t€n tht s'inh:
KV rHr ruYiN srNH sAU D+r HQC NAnn 2oo7
M6n thi: D'F:'I 56 (dd,nh cho Cao hpr) Thdi g'ian lam bd,i,: 180 phft CAu I
GiA su y ld tap tdt cA cdc 6nh xa tri tAp s6 thuc lR, vA,o R vdi cdc ph6p todn xdc dinh bdi:
V a , a € R , Y f ,g € V : ( / + s ) @ ) : f ( o ) + g ( a ) ,
( " f )(o) - af (a), .
1 Chring minh r},ng y ld kh6ng gian vectcr tr6n trubng s6 thuc Tbong khong gian vectcr V, t4p {f t n - I,2, } v6i f"(t): sin' t c6 d6c l6,p tuy6n tinh kh6ng?
2 Trong V, x6t t6,p con E gbm tdt cA c6,c 6nh xq, f c6 dang sau il6,y:
f (t) - as + t (47, cos kt + b7, sin kt),
k 7
t r o n g d 6 n l i , m 6 t s 6 n g u y 6 n d u o n g d e c h o ; a i ) ' i : 0 , 1 , , f r i b i , i - 1 , 2 , , n I h
3 Tim mQt co sd ci,a E vh xd,c dinh dimE.
1 Cho ,p te, mQt to5,n tri tuy6n tinh crla F-' c6 n gi5 tri ri6ng phan bi6t (F Ib mQt trubng vh n th, m6t s6 nguyOn ducrng) Tim tdt cA cdc khong gian con bdt bi6n ci"a g.
2 Chirng t6 rXng khong gian M(r,R) gbm c5c ma trA,n vu6ng thuc ci,p n v6i ph6p tod,n
\ A , B ) - t r ( A B t ) lAp thd,nh m6t kh6ng gian (vectcr) Euclid.
CAU III.
Kf hiOu G lb nh6m nhan c6,c ma trq,n vu6ng cdp n khA nghich tr6n trubng s6 thuc Goi /J th, tap con cta G chfra cd,c ma trAn c6 dinh thitc bXng t hay -1 Goi /( Ii, t6,p con cta G gbm c6c ma trA,n c6 dinh thitc ducrng Chirng minh rXng'
1 H vit" /{ Ie c6c nh6m con chudn tic ctja G;
2 nh6m thucrng G I H dXng cdu vdi nh6m nh6,n cdc s6 thuc ducrng;
3 nh5m thucrng GIK d8ng cdu vdi nh6m cyclic c6,p 2.
Cdu fV.
minh rXng 5 v6i hai ph6p to6n
a @ b - q - ' ( r t ( o ) + ? ( b ) ) , v A a * b - q - t h @ ) ' q ( b ) ) , Y a , , b e 5
lb, mot vhnh.
hai ph6p toSn
a @ b - a - l b - l , v b a * b : a * b - a b , Y a , b € R
VIETMATHS.NET
Trang 4Bộ Giáo dục và đào tạo Họ và tên thí sinh:
Đại Học Huế Số báo danh:
Tr-ờng Đại học S- phạm
kỳ thi tuyển sinh sau đại học Đợt II - năm 2005
Môn thi: Giải tích
(Dành cho Cao học)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 Xét chuỗi hàm
∞
X
n=1
2n
n
∞
X
n=1
đều trên [−a, a].
b) Tính tổng S của chuỗi hàm
∞
X
n=1
Câu 2 Cho hàm hai biến:
f (x, y) =
Chứng minh rằng hàm f (x, y) khả tích Riemann trên hình chữ nhật D = [−1, 2] ì [0, 5] và tính
ZZ
D
f (x, y)dxdy.
Câu 3 Cho (X, d) là không gian mêtric, A là tập con khác trống của X, x0 ∈ X và x0 ∈ A Đặt / d(x0, A) = inf
a∈A d(x0, a).
Câu 4 Trong không gian C[0, 1] với chuẩn "max" cho dãy (x n ) ⊂ C[0, 1] với x n (t) = 2nt
n4+ t2 ,
t ∈ [0, 1] và toán tử A : C[0, 1] → C[0, 1] cho bởi:
Ax(t) =
t
Z
0
x(s)ds, với x ∈ C[0, 1], t ∈ [0, 1].
a) Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục.
Câu 5 Giả sử {e n } là cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert H và X là không gian Banach Giả
sử A ∈ L(H, X) sao cho chuỗi
∞
X
n=1
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
VIETMATHS.NET
Trang 5e0 crAo DUC vA oao TAo
DAI HQC HUE
xi THr ruYiN srNH sAU DAr
M6n thi: GiAi tfch
(dd,nh cho Cao hpc)
Hg ud, t€n th{ s'inh:
Sd b6,o danh,:
HOC NAM 2OO7
I
Thdi g'ian ld,m bd,i: 1-80 phrit
Tim mibn h6i tu crla chu6i nbm
Er+l '[rj];
KhAo s6t suh6i tu dbu cria chu6i hb;
Er#' Tfnh tich ph6,n
f f
I I @'+v2)ardv,
J J o '
t r o n g d 6 D : {(r, y) € R.2l2ar < 1 2 * 9 2 < 2 b r } , 0 ( a 1 b
fl
- 1"
U t (:-'t z ,
' !
i
t\ - -.
tr€n mibn (0, +oo)
a
b
c
II
Cho X Ib tQp hqp gbm tdt cd, c6c tA,p con compact khdc 0 crla IR.,
a V6i moi r € R, d{,t d(r,A) : inf{l* -yl , A € A} Chfrng minh rXng, v6i moi
z € IR., A eX, tbn t4i ro€ A sao cho lr - nol - d(r,A)
b Goi d: X x X + R 1A, 6nh xa dusc x6c dinh nhu sau:
d,(A,B) :- inf{d : A c Bt, B C At}, trong d.6, A5 - inf{r € R : d,(n,A) < d} Chfrng minh rB,ng d Ih, mQt metric tr6n
X
III
Kf hiQu X - Cp,zl th kh6ng gian dinh chudn cr{,c hhm s6 li6n tuc tr6n 10, 2] v,ii chudn
ll"ll : mil({|"(t)l : t € lo, 2l}
vh kh6ng gian con Y - {r e X : r(0) - 0} cda X
Cho r{,nh xa A : X -> Y fr n Ar xdc dinh bdi:
A r ( t ) - [ ' * ( s ) d s ; t e l o , z ]
Jo Chfrng minh rXng A Ib to6n trl tuy6n tfnh Ii€n tuc tli X vho Y
Tfnh llAll Anh xq Ac6 phd,i th, mQt toir,n anh hay kh6ng?
Cho kh6ng gian Hilbert phfrc If vi, tQp hqp {O"ln € N} c H thod md,n lld"ll :1 v6i moi n € N vA, sao cho vdi mgi / e H, ta c6:
- l t t t t 2 - i , / r ] , t t 2 '
l l / l l - :
k \ L Q n ) l Chirng minh rH,ng:
a {d"ln € N} th, m6t co sd truc chudn cta I{
b Day (d",),ex h6i tu y6u ddn 0
0'.
b
IV
Ghi chri: C6,n b6 coi, thi, kh6ng gi,d,i, thfuh gi, th€m
VIETMATHS.NET
Trang 6BO GIAO
DAI
VA DAO TAO HUE
Ho vd, ten thi sinh:
56 b6o danh:
DVC
H Q C
KV THI TUYEN SrNH SAU DAr HOC NAM 2AO7S v
M6n thi: Giai tich (dd,nh cho Cao hpr) Thdi gi,an ld,m bd,i,; 180 phirt CAu I
1 C h o h d m h a i b i 6 n f (r,a)
KliAo s6t tinh liOn tuc cria hilm /
1 x ' , A 2 f
lr6n hsp
d;N(O,0) khong tbn
n 6 u ( * , y ) + ( 0 , 0 ) ,
n 6 u ( * , a ) - ( 0 , 0 )
Chirng minh rHng dao hA"m riOng
c i a R
hoi tu vb 0
, 2 + a''
0 ,
t a i d i d m ( 0 , 0 ) tai (huu hat)
2 F_{i 1I I
P ' ^
t z ' J ' ) 4 ) s ) "
Cdu III Kj' liiOu X : co
z KhAo s6,t su hoi tu dbu cria chu6i hd,m f ," i" ,,fu tr6n c6,c tAp sau:
fl':L
, ) A : lp,+-), p ) 0i i i ) B - ( 0 , + o o )
! u - L ^ ' - , 2 , 3 ) 4 ) 1 n ' ) * ^ ^ ^ Y " " 7
, 1, ) U.Ong phai th, mot t6,p con compact)
th, khong gian dinh chudn gbm c6c day s6 thuc
l l r l l - s u p l r n l , , Y r - ( r ) n e c o
l l s l l - WiZ, v a - ( a r , ., u n ) e Y V6i m6i s6 tu nhien k ta x6t 5nh x? An : X * Y x6"c dinh bdi
A n r - ( " n + r , f r 1 x a 2 t ' ' ) r k + n ) , Y r : ( r t ) z e N € X
1 Chirng minh Ap lit" c6,c 6nh xa tuy6n tinh lien tuc tri X vh,o Y.
2 Chirng td rXng
J* Ann - 0 € R.' v6i moi z e X.
CAu IV Tren khong gian Hilbert phitc 12 vsi tich vo hu6ng
/ \ S
@ , i l : 2 * ^ y , , * o n g d 6 , : ( r , - ) n e { 2 , U : ( U n ) - e 1 2
' " _ :
Cho o - (a), ie mQt duy c5,c s6 phric bi ch5,n vA, ,4 : 12 - t2 Ib" mot to5,n trl ducvc
1 Chirng minh rXng ,4 th mQt to6n trl tuy6n tinh lien tuc vd, tinh chudn c:d:a A.
2 Tim to6n trl liOn hiep A* cia A Khi nb,o thi A ld mQt to6n tr] tu lien hiep?
v6i chudn
v b , Y - l R ' v 6 i
VIETMATHS.NET