b Trong kỳ thi tuyển sinh đại học, bạn Thọ dự thi hai môn thi trắc nghiệm Vật lí và Hóa học.. Mỗi môn thi Thọ đều làm hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu; 5 câu còn lại Thọ chọn ngẫ
Trang 1TRƯỜNG THPT
CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
ĐỀ THI KHẢO SÁT
MÔN: TOÁN LỚP: 12
Thời gian làm bài: 180 phút không kể giao đề
Đề thi có 01 trang
y=x + m- x -m + C m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = - 1
b) Tìm m để đường thẳng y=2mx-m + và 1 ( ) C m cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Câu 2 (1 điểm).
a) Giải phương trình ( cosx+sinx) 2 - 3cos2x= + 1 2 cos x
b) Giải phương trình log3( x-2) +log 3 x +3= + 1 log3 2
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân
2
0
1
ln
d
x
x
e
I x
e
-
=
+
ò
Câu 4 (1 điểm).
a) Khai triển và rút gọn biểu thức 1 2 1( )2 (1 ) n
x x n x
P x =a +a x+ + a x Tìm a , biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn 8 12 73 1
C +C = .
b) Trong kỳ thi tuyển sinh đại học, bạn Thọ dự thi hai môn thi trắc nghiệm Vật lí và Hóa học. Đề thi của mỗi môn gồm 50 câu hỏi; mỗi câu có 4 phương án lựa chọn, trong đó có 1 phương án đúng, làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Mỗi môn thi Thọ đều làm hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu; 5 câu còn lại Thọ chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để tổng điểm 2 môn thi của Thọ không dưới
19 điểm.
Câu 5 (1 điểm). Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại A , AB= 2 , a AC= a Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 Gọi M H lần lượt là trung điểm của AB và ,
BC , I là điểm thỏa mãn 1
BI = AC
uuur uuur
Tính theo a thể tích khối chóp S ABC và khoảng cách
giữa hai đường thẳng MH và SI
Câu 6 (1 điểm). Trong không gian với hệ trục Oxyz cho các điểm , A( 0 0 1; ; ,) ( B 0 1 0 ; ; ) Viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm A B đồng thời cắt trục Oz tại điểm C sao cho tứ diện ,
OABC có thể tích bằng 1.
Câu 7 (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , cho tam giác ABC có đường trung tuyến
AM và đường cao AH lần lượt có phương trình 13 x-6y -2= 0, x-2y -14= 0 Tìm tọa độ
các đỉnh của tam giác ABC biết tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là I - ( 6 0 ; )
Câu 8 (1 điểm). Giải bất phương trình 2 5 11 14
2
x x
x
-
Câu 9 (1 điểm). Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b+ +c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
3
4
a b
b c bc c a ca
HẾT
DETHITHUDH.NET
Trang 2HÙNG VƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
ĐỀ THI KHẢO SÁT LỚP 12
1 a) Khi m = - 1 hàm số trở thành 3 2
y=x - x +
2) Sự biến thiên:
* Giới hạn tại vô cực: Ta có lim
x y
x y
®+¥ = +¥
* Chiều biến thiên: Ta có 2
y = x - x 0 0
2
y
x
=
é
=
ë Suy ra :
hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( -¥;0) ( , 2 ;+ ¥ ) ; nghịch biến trên khoảng
( 0 2 ; ) .
* Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x=0, y C Đ = 2 , hàm số đạt cực tiểu tại x=2, y CT = - 2
0,25
* Bảng biến thiên:
0,25
3) Đồ thị:
0,25
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm
( )
x + m- x -m+ = mx-m +
x m x mx
0,25
0; 1
x x
x
O
2
y
2
-
2
x
'
y
y
0
¥
2
¥
-
¥ +
2
-
DETHITHUDH.NET
Trang 3Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình ( ) * có ba nghiệm phân biệt 0,25
Do đó m ¹ 0 và 1
2
m ¹ - thỏa mãn bài toán. 0,25
2 a) Phương trình đã cho tương đương với
sin x+cos x+ sin cosx x- cos x= + sin x
0,25
2sin x 2 cos x sin x
0,25
3
2
3
3
x x k
x x
x x k
p
p
p
p
é
ê
ê
0,25
2
3
x k
k x
p
p
é
ê
Û ê
ê
0,25
b) Điều kiện: x > 2
Phương trình đã cho tương đương với
log x- +log x + = log
0,25
( )( )
( )( )
x x
x x x
3 Đặt e x = Þt e x dx= d t
( )
dt
d
t
t t t t
( )
( 3ln t 1 ln t ) | 1 2
4 a) Ta có
3
!
n
n
C C
n n n n n n
³
ì
ï
î
2
3
9
n
n
n n
³
ì
î
Suy ra a là hệ số của 8 8
x trong khai triển biểu thức 8 9
8 1( -x) +9 1 ( - x )
0,25
Hệ số của x trong khai triển biểu thức 8 8
8 1 ( - x ) là 8
8
8 , C hệ số của x trong khai 8
triển biểu thức 9 1 ( - x ) 9 là 9 C 9 8 Suy ra a8 =8.C88 +9.C 9 8 = 89
0,25
b) Bạn Thọ được không dưới 19 điểm khi và chỉ khi trong 10 câu trả lời ngẫu nhiên ở cả hai môn Lí và Hóa bạn Thọ trả lời đúng ít nhất 5 câu.
Xác suất trả lời đúng 1 câu hỏi là 1
4 , trả lời sai là 3
4 . Ta có:
0,25
Xác suất Thọ trả lời đúng 5 trên 10 câu là
5
10
4 4 ;
C æ ö æ ö ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Xác suất Thọ trả lời đúng 6 trên 10 câu là
6
10
4 4 ;
C æç ö æ÷ ç ö ÷
DETHITHUDH.NET
Trang 4Xác suất Thọ trả lời đúng 7 trên 10 câu là 7
10
4 4 ;
C æ ö æ ö ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Xác suất Thọ trả lời đúng 8 trên 10 câu là
8
10
4 4 ;
C æ ö æ ö ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Xác suất Thọ trả lời đúng 9 trên 10 câu là
9
9
10
4 ; 4
C æ ö ç ÷
è ø
Xác suất Thọ trả lời cả 10 câu là
10
10
10
1
4
C æç ö ÷
è ø
Cộng các xác suất trên ta suy ra xác suất Thọ được không dưới 19 điểm là 0,0781.
0,25
5
Vì các cạnh bên của hình chóp bằng nhau nên hình chiếu của S xuống (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác này chính là trung điểm H của BC.
Do đó SH^ ( ABC )
0,25
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABC ta có 2 2
BC= a +a = a
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác SHB ta có
2
2
a a
SH = a - =
Từ đó suy ra
3
2
a a
V = SH S = æç a a ö ÷ =
(đvtt).
0,25
Mặt phẳng chứa SI và song song với MH là (SBI). Do đó
( , ) ( ,( ) ) ( ,( ) )
d MH SI =d MH SBI = d H SBI
Kẻ HO vuông góc với BI tại O thì O chính là điểm đối xứng với trung điểm E của
AC qua H. Kẻ HK vuông góc với SO tại K.
Khi đó HK ^ ( SBI )
0,25
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHO ta có
7
HK = HS + HO = a + a = a Þ =
7
d MH SI =HK =
0,25
S
H
M
K
I
O
E
C
DETHITHUDH.NET
Trang 5Giả sử C( 0 0 ; ; c suy ra mặt phẳng cần tìm có phương trình ) 1
x y z
c
Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn bài toán là
1 0
x+y+z - = hoặc x+ y-z - = 1 0
0,25
7 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
( )
4 9
x y y
0,25
Gọi A' là điểm đối xứng với A qua I. Khi đó điểm A - '( 8 9 ; ) nằm trên đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi K là trực tâm của tam giác ABC. Khi đó tứ giác BKCCA' có hai cặp cạnh đối diện song song nên là hình bình hành. Khi đó KA' và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (là M).
( 2 14; ) ,
K k+ k 13 2
6
M m æç - ö ÷
( )
1
2
6
k m K
k
m
m
= -
ì
=
î
0,25
Đường thẳng BC đi qua M và nhận AK uuuur
làm VTPT nên BC:2x+ y -8= 0
Giả sử B b( ;8- 2 b ) Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên
1
b
IA IB b b b b
b
=
é
ë
.
0,25
Với b = ta có 3 B ( ) 3 2 ; Vì C đối xứng với B qua M nên C ( ) 1 6 ;
Với b = ta có 1 B ( ) 1 6 ; Vì C đối xứng với B qua M nên C ( ) 3 2 ;
0,25
8 Điều kiện: 0£x ¹ 2 .
Bất phương trình đã cho trở thành
14
2
x
-
7
2
x
0,25
Rõ ràng x = không thỏa mãn bất phương trình (1). 0
Với 0<x ¹ 2 bất phương trình (1) tương đương với
5
2
x x
x
x
- + >
-
Đặt x 2
t
x
-
= Khi đó bất phương trình trở thành
7
2t 5
t
+ >
2
0
t t
t
Û > Ût t(2 +7)(t -1) > 0
1
7
0
t
t
>
é
ê
Û ê- < <
ë
0,25
* Với t > 1 ta có x 2 1
x
-
> , hay ( x 1)( x 2 ) 0
x
DETHITHUDH.NET
Trang 6* Với 7 0
2 t
- < < ta có 7 2 0
2
x
x
-
4
x
x
x x
< <
ì
Û < <
í
ï
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là 4 1 2
4
9 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
4
5
4
a a a
b+c + bc³ b c b c = b+ c
Tương tự, ta có
4
b b
c+a + ca³ c+ a
Suy ra
2
a b a b a b
b c c a
b c bc c a ca b c c a
0,25
2
2
2
2
2
2
4
a b
c a b
a b c a b
ab c a b c a b
c a b c
a b c a b
a b c a b c
0,25
Vì a b c+ + = Û1 a b+ = - 1 c nên
2
c c c
c
c c c c
+
(1)
0,25
Xét hàm số
2
2
f c c
c
+
với c Î ( ; ) 0 1
f c c
c c
3
f c = Û c- - c+ = Ûc =
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có 1
9
( )
f c ³ - với mọi c Î ( ; ) 0 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 1
9 ,
P ³ - dấu đẳng thức xảy ra khi 1
3
a=b=c =
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1
9
-
0,25
( )
f c
'( )
f c
–
1
9
-DETHITHUDH.NET
