a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1.. b Trong cuộc thi “Rung chuông vàng” thuộc chuỗi hoạt động Sparkling Chu Văn An, có 20 bạn lọt vào vòng chung kết, trong đó có 5 bạ
Trang 1ĐỀ THI THỬ SỐ 1
SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1
2
x y x
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) biết d song song với đường thẳng 3x – y + 14 = 0
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Chứng minh rằng cos2 cos2 cos2 2 3
b) Giải phương trình 2 2
2 log (x3) 8 log 2x 1 4
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân
0 ( sin )
I x x x dx
Câu 4 (1,0 điểm)
a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2(z1)3z i (5i) Tính môđun của z
b) Trong cuộc thi “Rung chuông vàng” thuộc chuỗi hoạt động Sparkling Chu Văn An, có 20 bạn
lọt vào vòng chung kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam Để sắp xếp vị trí chơi, Ban tổ chức
chia các bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn Việc chia nhóm được thực hiện bằng
cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a,
60 ,
BAC cạnh bên SA vuông góc với đáy và SAa 3 Gọi M là trung điểm của cạnh AB
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM
Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC là I(–2;1) và thỏa mãn điều kiện 0
90 ,
AIB chân đường cao kẻ từ A đến BC là D(–1;–1), đường thẳng AC đi qua điểm M(–1;4) Tìm tọa độ các đỉnh A, B biết rằng
đỉnh A có hoành độ dương
Câu 7 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;–1), B(3;4;1) và
C(4;1;–1) Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB Tìm tọa độ điểm M trên trục Oz sao cho
thể tích khối tứ diện MABC bằng 5
2
4 2
1
x x
Câu 9 (1,0 điểm) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 2(x + y) + 7z = xyz Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức S 2xy2 z
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh………; Số báo danh………….……
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển (https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đã chia sẻ đến
www.laisac.page.tl
Trang 2SỞ GD&ĐT HÀ NỘI
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
(Đáp án – thang điểm gồm có 05 trang)
a (1,00 điểm)
TXĐ: D = \{ 2}.
Giới hạn và tiệm cận:
lim 2; lim ; lim
Tiệm cận đứng x = –2, tiệm cận ngang y = 2
0,25
Sự biến thiên: ' 3 2 0, \{ 2}
( 2)
x
Hàm số đồng biến trên từng khoảng (–;–2) và (–2;+)
0,25
Bảng biến thiên:
Hàm số không có cực trị
0,25
Đồ thị:
0,25
b (1,00 điểm)
Gọi M x y( 0; 0) là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C) Khi đó y’(x0) = 3 0,25
0 2
0 0
1 3
3 ( 2) 1
3
( 2)
x x
x x
Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại các điểm (–1;–1) và (–3;5) lần lượt là:
3 2, 3 14
Trang 32 1,00
a (0,5 điểm)
Ta có 3 1 cos 2 cos 2 2 cos 4 2
3 1 cos 2 2 cos 2 cos 3 1cos 2 cos 2 3
0,25
b (0,5 điểm)
ĐK: 1, 3
2
x x Với điều kiện đó, phương trình tương đương với
3
4 log 3 4 log (2 1) 4 log 1
2 1
x
x
0,25
3 4 2 3
2 1
x
x
Phương trình có nghiệm x 1
0,25
2
x
Tính 1
0
sin
Đặt
0,25
0
3 3
I
a (0,5 điểm)
Đặt za bi a b , ( , ) Khi đó:
2(z1)3zi(5i)2(abi1)3(a bi ) 1 5 ia 1 5(1b i) 0 0,25
1
2
1
a
z b
0,25
b (0,5 điểm)
Gọi X là biến cố: “chia 20 bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm 5 bạn sao cho 5
bạn nữ thuộc cùng một nhóm”
Ta có C C C C205 155 105 55 cách chia 20 bạn thành 4 nhóm A, B, C, D
0,25
Xét 5 bạn nữ thuộc nhóm A, có C C C155 105 55 cách chia các bạn nam vào 3 nhóm còn lại
Do vai trò các nhóm như nhau, có 4C C C155 105 55 cách chia các bạn vào các nhóm A, B,
C, D trong đó 5 bạn nữ thuộc một nhóm
Xác suất cần tìm là:
5 20
( )
3876
P X
C
0,25
Trang 4Xét tam giác ABC có
0
2
tan 60 2 3
2 3
ABC
0,25
.
- Gọi N là trung điểm cạnh SA
Do SB // (CMN) nên
( , ) ( , ( )) ( , ( ))
( , ( ))
d SB CM d SB CMN
d B CMN
d A CMN
- Kẻ AEMC E, MC và kẻ
,
AH NE HNE
Chứng minh được
( )
AH CMN d A CMN( , ( )) AH
0,25
Tính AE 2S AMC
MC
trong đó:
13 13
AMC
AE
MC a
Tính được 2 3 ( , ( )) 2 3 ( , ) 2 3
0,25
Do AIB 900 ACB 450 hoặc
135
45
ACD
tam giác
ACD vuông cân tại D nên DA = DC
Hơn nữa, IA = IC
Suy ra, DI AC đường thẳng AC
thỏa mãn điều kiện: AC qua điểm M và
AC vuông góc ID
0,25
Viết phương trình đường thẳng AC: x2y 9 0
Gọi A a(2 9; )a AC Do DA 2 ( ,d D AC)2 10 nên 0,25
5 (1;5)
Theo giả thiết bài cho A(1;5)
0,25
Viết phương trình đường thẳng DB: x + 3y +4 = 0 Gọi B( 3 b4; ).b
Tam giác IAB vuông tại I nên
0 3( 3 2) 4( 1) 0 2
(2; 2)
B
Đáp số: (1;5), (2; 2).A B
0,25
Mặt cầu (S) cần tìm có tâm I là trung điểm của AB, với (2;3;0) I 0,25 Bán kính của (S) là 3
2
AB
Phương trình của (S): (x2)2(y3)2z23
0,25
Trang 5Gọi M(0;0; )t Oz Do V MABC = 5 nên 1[ , ] 5
11 4t 5
1 (0;0;1)
11 4 15
t t
0,25
ĐK: x 1
Với điều kiện đó
2
2
8 2
1
4 2
1
x x
x x
0,25
Xét hàm số ( ) 4 2 5
1
t
với t 0. Ta có
2 2
( 1) 1
f t
f t'( )0 t 1
Bảng xét dấu
Suy ra f t( ) f(1), t [0;+ ) f t( )0, t [0;+ ). Dấu “=” xảy ra t = 1
0,25
2
4 2
1
x x
Dấu “=” xảy ra khi 2 1 1 5
2
x x x
0,25
2
4 2
1
x x
2
2
2 2
1 5
2
4 2
5 0 1
x x
x x
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: [1; ) \ 1 5
2
S
0,25
Ta có: 2(xy)z xy( 7) Do x, y, z là các số dương nên xy – 7 > 0
Khi đó, từ giả thiết ta được 2( )
7
z xy
Suy ra: ( ; ) 2 4( )
7
x y
S f x y x y
xy
với điều kiện x0,y0,xy7 (*)
0,25
Với mỗi x cố định, xét đạo hàm của hàm số f(x;y) theo ẩn y ta được:
2 '
4( 7) 4 ( ) 28 4
y
f x y
y
Trang 6Suy ra: f x y( ; 0) 2x 11 4 1 72.
Xét hàm số g x( ) 2x 11 4 1 72
với x > 0 với 2
3 2
7 1
g x
x x x
'( ) 0 3
Khi đó g x( )g(3)g x( ) 15.
0,25
Với điều kiện (*), ta có S f x y( ; 0)g x( ) 15. Vậy minS 15 khi x3,y5,z2 0,25
- Hết -
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển (https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đã chia sẻ đến
www.laisac.page.tl