Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị C , hãy tìm trên đồ thị C điểm M có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến với đồ thị C
Trang 1SỞ GD & ĐT KHÁNH HOÀ
TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I - NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề
Câu I: (2đ) Cho hàm số ( ) 2 1
1
x
y f x
x
−
−
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị (C) , hãy tìm trên đồ thị (C) điểm M có
hoành độ dương sao cho tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M cắt đường tiệm cận đứng , tiệm cận
ngang lần lượt tại A và B thỏa mãn: 2IA2 + IB2 = 12
Câu II: (2đ) Giải các phương trình sau :
1 (1 s inx)(2 sin 2 6 cosx 2 sinx 3) 2
2 cos 1
x x
= +
1
4
Câu III: (1đ) Tính tích phân :
1 2
0
2
x
x
x x e
x e−
+
= +
∫
Câu IV: (1đ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho hai điểm A(1;2); B(4;1) và đường thẳng
d: 3x-4y+5=0 Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A,B và cắt d tại C, D sao cho CD = 6
Câu V: (1đ) Trong một chiếc hộp có chứa 6 viên bi đỏ, 5 viên bi vàng và 4 viên bi trắng Lấy
ngẫu nhiên trong hộp ra 4 viên bi Tính xác suất để trong 4 viên bi lấy ra không có đủ cả 3 màu
Câu VI: (1đ) Cho hình chóp đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, mặt bên của hình chóp tạo
với mặt đáy một góc 600 Mp(P) chứa AB và đi qua trọng tâm G của ∆ SAC cắt SC , SD lần lượt
tại M,N Tính thể tích khối chóp S.ABMN theo a
Câu VII: (1đ) Giải hệ phương trình :
Câu VIII: (1đ) Chox,y,z≥0 và x+ y+z=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức:
x z z
y y
x
P
− + +
+
− + +
+
− + +
=
) 1 ln(
2 4
1 )
1 ln(
2 4
1 )
1 ln(
2 4
1
-HẾT -
Trang 2ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI THỬ LẦN I – NĂM HỌC 2014-2015 - KHỐI 12
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) : ( ) 2 1
1
x
x
−
− : (1đ) + Tập xác định : D = R \ {1}
+
1
1
x
−
−
: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;1)
và (1;+∞)
0.25
+
lim ; lim
= −∞ = +∞ : TCĐ x = 1 + lim 2
x
y
+
→ ∞
+ Bảng biến thiên:
0.25
+ Điểm đặc biệt : (0;1) ; 1;0
2
+ Đồ thị:
x
y
2
1
I
1
0.25
2 (1đ)
+ I(1;2) Gọi M(x0; 0
0
1
x x
−
− ) ∈ (C) , x0 > 0 ;x ≠0 1
0 2
1
x
−
+ A là giao điểm của d và TCĐ ⇒ A(1; 0
0
2 ) 1
x
x −
+ Tính được IA2 =
( 0 )2
4 1
x −
; IB2 = 4(x0 – 1)2
2 0
2
(x − 1) + x − = ⇔ x − − x − + =
2
0 2
0
x
x
Câu I
(2đ)
Trang 31 Giải phương trình: (1 s inx)(2sin 2 6 cosx 2sinx 3) 2
x x
=
+ Điều kiện: cos 1 2 2 ;
−
0.25
x
+ (1 s inx)(2sin 3)(2cosx 1)
2
x x
+
0.25
(1 s inx)(2sinx 3) 2
2 2 sinx 1
2
sinx
2 6
π π π
π π π
= − +
thỏa mãn điều kiện
0.25
1
4
+ ĐK : 0<x≠2
Với ĐK trên, (1) ⇔log3x+log (3 x+4) log= 3 x−2
log x x( 4) log x 2
2
2
x
x
>
⇔ <
+ = − +
2
2
2
2
x
x
>
⇔
<
+ − =
0.25
2
5 33 2
2
5 33 2
x
x x
x
+
−
+
−
>
= − ∨ = −
−
=
0.25
Câu II:
(2đ)
Đối chiếu đk , nghiệm của pt : 5 33
2
1 2
0
2
x
x
x x e
x e−
+
= +
0
( 1) 2
x
x
x x e
dx xe
+ +
∫
2
t
Câu III:
(1đ)
= (t-2ln|t+2|)|0e = e+2ln 2
2
e +
0.25
Trang 4x C
D
A
D
O
I
B I
Nhận xét A thuộc d nên A trùng với C hay D (Giả sử A trùng C)
Gọi I(a;b) là tâm đường tròn (C), bán kính R>0
(C) đi qua A,B nên IA=IB=R
(1 a) (2 b) (4 a) (1 b) R
0.25
Suy ra I(a;3a-6) và R = 10a2−50a+65 (1)
Gọi H là trung điểm CD ⇒IH⊥CD và IH = d(I;d) = 9 29
5
a
2
9 25
a
0.25
Từ (1) và (2) , có: 10a2−50a+65 = ( )
2
9 29 9
25
a −
+
2
1
13
a
a
=
0.25
Câu IV
(1đ)
+ a=1 ⇒I(1; 3);− R=5 Pt đường tròn (C): (x-1)2 +(y+3)2 =25
13
a = (43 51; ); 5 61
Pt đường tròn (C): 43 2 51 2 1525
Số cách chọn 4 viên bi bất kỳ trong hộp : 4
15 1365
+ Chọn 2 bi đỏ, 1 bi trắng , 1 bi vàng: 2 1 1
6 .5 4
C C C
+ Chọn 1 bi đỏ, 2 bi trắng , 1 bi vàng: 1 2 1
6 .5 4
C C C
+Chọn 1 bi đỏ, 1 bi trắng , 2 bi vàng: 1 1 2
6 .5 4
C C C
Số cách chọn 4 viên bi có đủ 3 màu :
2 1 1
6 .5 4
C C C + 1 2 1
6 .5 4
C C C + 1 1 2
6 .5 4
Số cách chọn 4 viên bi không đủ cả 3 màu : 1365-720 = 645 cách 0.25
Câu V
(1đ)
Trang 5J I
N
M G
O
C
B
S
Gọi O là giao điểm của AC và BD S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD , xác định được góc giữa mặt bên (SCD) và mặt đáy (ABCD) là SJI =600
0.25
Nhận xét ∆ SIJ đều ; SO = 3
2
a
; VS.ABCD =
3
a
Trong (SAC) , AG cắt SC tại M , M là trung điểm của SC C/minh được MN// AB và N là trung điểm của SD
.
SABM
SABC
.
SAMN
SACD
V = SC SD⋅ =
0.25
Câu VI
(1đ)
3
a
Giải hệ phương trình :
(1)⇔(x−2) +(x−2)= y +y Xét hàm số f(t) = t3+t , t R∈ có f ’(t) = 3t2+1>0, t R∀ ∈
⇒ f(t) đồng biến trên R và (1)⇔x−2= y(3)
0.25
Thay (3) vào (2): 3 3 5 2 3 3 2 10 26 (4); 1 5
2
+ Chứng minh g(x) = 3x+3− 5 2− x đồng biến trên đoạn 1;5
2
−
+ Chứng minh h(x) = x3−3x2−10x+26 nghịch biến trên đoạn 1;5
2
−
g(2) = h(2) = 2 ⇒ x=2 là nghiệm duy nhất của pt (4)
0.25
Câu VII
(1đ)
Chox,y,z≥0 và x+ y+z=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức:
x z z
y y
x
P
− + +
+
− + +
+
− + +
=
) 1 ln(
2 4
1 )
1 ln(
2 4
1 )
1 ln(
2 4
1
Câu VIII
(1đ)
Với a,b,c>0,áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
+ +
Dấu “=” xảy ra ⇔a=b=c
Áp dụng (1) ta có
z z y
y x
x
P
− + +
− + +
− + +
≥
) 1 ln(
2 ) 1 ln(
2 ) 1 ln(
2 12
9
0.25
Trang 6Xét f(t)=2ln(1+t)−t,t∈[ ]0;3
t
t t
t f
+
−
=
− +
=
1
1 1 1
2 ) ( ' ; f'(t)=0⇔t=1
3 2 ln 4 ) 3 ( , 1 4 ln ) 1 ( , 0 ) 0
0.25
12ln 2 9 ( ) ( ) ( ) 3ln 4 3 12ln 2 3 ( ) ( ) ( ) 12 9 3ln 4
f x f y f z
f x f y f z
12 ( ) ( ) ( ) 9 3ln 4 3 ln 4
P
f x f y f z
3 ln 4
MinP= ⇔x= y= z=
+
0.25
Mọi cách giải khác đúng của hs đều cho điểm tương ứng với mỗi phần của câu