1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập.. Gọi M là một điểm thay đổi trên C và B là điểm sao cho tứ giác ABMO là hình bình hành.. Tính
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học: 2011-2012
Môn thi: TOÁN Lớp 12 THPT
Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang, gồm 05 câu
Câu I (4,0 điểm)
Cho hàm số 1 3 2
3
y= − x + x − x+ 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2) Gọi f x( )=x3−6x2+9x− , tìm số nghiệm của phương trình: 3
( ) 6 ( ) 9 ( ) 3 0
f x − f x + f x − =
Câu II (4,0 điểm)
1) Giải phương trình (1 sin )(1 2sin )+ x − x + 2(1 2sin )cos+ x x = 0
3
2( 1) 1 0
x y x y x y x y x y x y
x y
⎨
Câu III (4,0 điểm)
1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập các số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập Tính xác suất để lấy được số lớn hơn 2012
2) Tính tích phân
2
2
(sin cos )d 3sin 4cos
I
π
π
−
+
=
+
Câu IV (6,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn ( ) :C x2+ y2 = , đường thẳng 9 : y x 3 3
Δ = − + và điểm (3; 0)A Gọi M là một điểm thay đổi trên ( ) C và B là điểm sao cho tứ giác ABMO là hình bình hành Tính diện tích tam giác ABM , biết trọng tâm G của tam giác ABM thuộc Δ và G có tung độ dương
2) Cho hình chóp S ABCD , đáy là hình chữ nhật có AB a= và BC=2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với đáy một góc
bằng nhau Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng 2
6
a
a) Tính thể tích khối chóp S ABCD
b) Tính côsin góc giữa hai đường thẳng SA và BD
Câu V (2,0 điểm)
Cho các số thực , ,x y z thoả mãn 1, 1, 1
x> y> z> và 3 2 1 2
3x 2 2+ y 1+ ≥z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=(3x−1)(2y −1)(z − 1)
- HẾT -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm
Số báo danh
… ……
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học: 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
(Đề chính thức)
Lớp 12 THPT
Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012 (Hướng dẫn gồm 04 trang)
I 1) 3,0 điểm
● Tập xác định: D =
● Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y'= − +x2 4x− ; '( ) 03 y x = ⇔ = hoặc x 1 x=3 0,5 Hàm số nghịch biến trong khoảng: (−∞; 1) và (3; + ∞ ; đồng biến trên khoảng: (1; 3) )
+ Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x=1; CT 1
3
y = − , đạt cực đại tại x=3; yCĐ = 1 + Giới hạn: lim
→−∞ = + ∞; lim
→+∞ = − ∞
1,0 + Bảng biến thiên
1,0
● Đồ thị:
+ Đi qua điểm: (0; 1) và 4; 1
3
⎛ − ⎞
⎝ ⎠
+ Nhận xét: Đồ thị (C) đối xứng qua điểm 2; 1
3
I⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
0,5
2) 1,0 điểm
4,0
điểm
x −∞ 1 3 + ∞
'
y − 0 + 0 −
y
− ∞
+ ∞
1 3
−
1
y
1
1
3
4
x O
1 3
−
Trang 3Đặt 1 3 2
3
g x = − x + x − x+ , ta có: (1) ⇔g f x( ( )) 0= ( ) 0
( )
g m
=
⎧
( ) (3)
3
g m m
g x
=
⎧
⎪
⎪⎩
Số nghiệm của (1) là số nghiệm của (3), với m nhận tất cả các giá trị thoả mãn (2)
Từ đồ thị (C), suy ra (2) có 3 nghiệm m, thoả mãn: 0< m < , 11 < m < và 33 < m< 4
Cũng từ (C), ta có:
+ Nếu 0 < m< hay 1 1 0
m
− < − < thì (3) có 3 nghiệm phân biệt
+ Nếu 1< m< hay 3 1 1
m
− < − < − thì (3) có đúng 1 nghiệm
+ Nếu 3< m < hay 4 4 1
m
− < − < − thì (3) có đúng 1 nghiệm
Rõ ràng, các nghiệm của (3) trong 3 trường hợp trên là đôi một khác nhau
Do đó (1) có đúng 5 nghiệm
0,5
II 1) 2,0 điểm
(1 sin )(1 2sin ) 2(1 2sin ) cos+ x − x + + x x= (1) 0
(1)
2
2
x
2
1,0
⇔ = + , tanα = −3
2
= + , tanα = −3 (với ,k l∈ )
1,0
2) 2,0 điểm
2
3 3
x y x y
⎪
⎨
⎪⎩
+ Điều kiện: x+ ≥y 0, 2x− ≥ (*) y 0
Xét hàm ( ) 2t
f t = +t t , suy ra: (1) có dạng (2f x−y)= f x( +y) Mặt khác ( )f t đồng biến, do đó (1) ⇔2x y x y− = + hay x=2y
1,0
4,0
điểm
+ Thế vào (2), ta được: 3 y+ =1 2(2y−1)3 (3)
Đặt 3 y = −2 1t , phương trình (3) trở thành hệ:
3 3
(2 1)
⎪
⎨
1,0
Trang 4Trừ vế tương ứng các phương trình của hệ, ta được:
Thế vào hệ:y=(2y−1)3 ⇔8y3−12y2+5y− =1 0 ⇔(y−1)(8y2−4y+ =1) 0⇔ = y 1
y= ⇒ = , thoả mãn (*) Vậy, hệ đã cho có nghiệm (duy nhất): ( ; ) (2; 1)x x y =
III 1) 2,0 điểm
● Lập số chẵn dạng abcd Đặt E={0, 1, 2, 3, 4}
+ Chọn d =0, chọn thứ tự , ,a b c trong tập E\ 0{ } có 3
4 24
A = cách Dạng này có 24 số
+ Chọn d ≠0 có 2 cách, chọn a∈E\ 0,{ }d có 3 cách, chọn b và c thứ tự trong tập
E d a có 2
3 6
A = cách Dạng này có 2.3.6 36= số Lập được 24 36 60+ = số
1,0
● Tính số các số chẵn lập được không lớn hơn 2012, có dạng 1bcd:
Chọn d chẵn có 3 cách, chọn b và c thứ tự trong tập E\ 1,{ }d có 2
3 6
A = cách
Dạng này có: 3.6 18= số Suy ra số lớn hơn 2012 có 60 18 42− = số
Xác suất cần tính: 42 7
60 10
1,0
2) 2,0 điểm
0 2
I
π
π
Đặt x= −t, ta có:
−
1,0
4,0
điểm
I
0
d sin
π
∫
2
0
ln
x x
π
1
ln 3 2
1,0
IV 1) 3,0 điểm
(C) có tâm O(0; 0), bán kính R=3
Nhận xét:A∈( )C ⇒OA=OM ⇒ ABMO là hình thoi ⇒ AM ⊥OB
3
OG= OI
Kẻ GK//AM , K∈OA, ta có: 4
3
OKuuur= OAuuur ⇒ (4; 0)K
1,0
6,0
điểm
//
Suy ra G thuộc đường tròn đường kính OK Toạ độ G x y y( ; ), > thoả mãn: 0
⎧ = − +
⎪
⎨
⎪⎩
2
⎧ = + −
⎪
⇔ ⎨
⎧ = + −
⎪
⇔ ⎨
⎪⎩
1,0
x
y
O
A
G
K
I
Trang 5Diện tích: ( ) ( ) 2 ( ) 2 9 ( )
16
16
4
2) 3,0 điểm
a) Gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD , )
suy ra H∈AB (do (SAB) (⊥ ABCD))
CB⊥HB, suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBC và () ABCD là SBH )
Hạ HE⊥CD E( ∈CD), suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SCD và () ABCD là SEH )
Do đó SBH =SEH ⇒HB=HE=2a
Ta được BD//AE //(⇒BD SAE) d(SA BD, ) d( ,(B SAE)) d( ,(H SAE))
(do A là trung điểm HB )
2
6
a
H SAE
1,0
Nhận xét rằng ,HA HE HS đôi một vuông góc, suy ra: ,
a
1,0
b)BD//AE, suy ra góc giữa hai đường thẳng SA và BD là SAE
Áp dụng định lý hàm số côsin cho tam giác SAE, với AE=SA= SH2+HA2 =a 5 và
2 2 2
SA AE
1,0
V
Đặt 3x− =1 a, 2y− =1 b z, − = ; ta có: , ,1 c a b c là các số dương và A=abc
3x 2 2+ y 1+ ≥z
2
1
0,5
ca
ab
Nhân vế tương ứng của (1), (2) và (3), ta được: 3
4
A≤
0,5
2,0
điểm
4
A=
0,5
……….……… HẾT………
S
A
B
C
D
E
t
H