Đề thi thử đại học môn Toán (8)

Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng SO và AC... Cán b coi thi không gi i thích gì thêm.

TRUNG TÂM LUY N THI I H C THI TH TUY N SINH I H C N M 2011 THPT CHUYÊN LÝ T TR NG C N TH Môn thi: TOÁN; kh i A

Th i gian làm bài: 180 phút, không k phát đ

PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7 đi m)

Câu I (2 đi m)

Cho hàm s y x3 3x1 (1)

1 Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s (1)

2 nh m đ ph ng trình sau có 4 nghi m th c phân bi t:

m m x

x3 3  3 3

Câu II (2 đi m)

1 Gi i ph ng trình:

4

4

(2 sin 2 )(2 cos cos )

2 sin

x

x

 

2 Gi i h ph ng trình:

2

x y xy x y

x y

xy y y



Câu III (1 đi m)

Tính

2 cos

8 sin 2 cos 2 2

x

dx



  



Câu IV (1 đi m)

Cho hình chóp S.ABC có m t ph ng (SAC) vuông góc v i m t ph ng (ABC), SAABa AC, 2a và

90

ASC ABC Tính th tích kh i chóp S.ABC và cosin c a góc gi a hai m t ph ng (SAB), (SBC)

Câu V (1 đi m)

Cho ba s th c d ng a, b, c th a mãn: a.b.c = 1 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

T

a b ab b c bc c a ca

PH N T CH N (3 đi m) - Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B)

A Theo ch ng trình Chu n

Câu VI.a (2 đi m)

1 Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hai đi m (4; 1), ( 3; 2) A  B   và đ ng th ng :3 x4y42 Vi t 0

ph ng trình đ ng tròn ( )C đi qua hai đi m ,A B và ti p xúc v i đ ng th ng 

2 Trong không gian t a đ Oxyz, cho b n đi m A(6; 6; 6), B(4; 4; 4), C( 2; 10; 2) và S(2; 2; 6) Ch ng minh O, A, B, C là b n đ nh c a m t hình thoi và hình chi u vuông góc c a S trên m t ph ng (OABC) trùng v i tâm I c a OABC Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng SO và AC

Câu VII.a (1 đi m)

Gi i ph ng trình: 2

(2x1) log x(4x9) log x14 0

B Theo ch ng trình Nâng cao

Câu VI.b (2 đi m)

1 Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình thoi ABCD có A(1; 0), B(3; 2) và ฀ ABC120 0 Xác đ nh t a đ hai

đ nh C và D

2 Trong không gian t a đ Oxyz, cho ba đi m A, B, C l n l t di đ ng trên các tia Ox, Oy và Oz sao cho m t

ph ng (ABC) không đi qua O và luôn đi qua đi m M(1; 2; 3) Xác đ nh t a đ các đi m A, B, C đ th tích

kh i t di n OABC đ t giá tr nh nh t

Câu VII.b (1 đi m)

Gi i h ph ng trình:

( , ) log ( 1) log ( 1) 1

x y



-H t -Thí sinh không đ c s d ng tài li u Cán b coi thi không gi i thích gì thêm

H và tên thí sinh:……… S báo danh………

ÁP ÁN – THANG I M Môn thi: TOÁN; kh i: A

1 (1,0 đi m)

 T p xác đ nh: D = ฀

 S bi n thiên:

- Chi u bi n thiên: y'3x23, y' 0 3x2    3 0 x 1, ( 1)y  3, (1)y   1

0,25

Hàm s đ ng bi n trên m i kho ng (; 1) và (1; +), ngh ch bi n trên kho ng (1; 1)

- C c tr : + Hàm s đ t c c ti u t i x = 1 và yCT = y(1) = 1;

+ Hàm s đ t c c đ i t i x = -1 và yC = y(-1) = 3

- Gi i h n:

x lim , x lim

     

0,25

B ng bi n thiên:

0,25

y  x y   x  x y 

 đi m u n I(0; 1)

th : đi qua các đi m (2; 1), (2; 3)

và nh n đi m u n I(0; 1) là tâm đ i x ng

0,25

2 (1,0 đi m)

Ph ng trình đã cho là ph ng trình hoành đ giao đi m gi a đ th (C’) c a hàm s :y x3 3x 1 và đ ng th ng (d):ym3 3m1 ((d) cùng ph ng v i tr c hoành)

Xét hàm s : y x3 3x 1, ta có:

+ Hàm s là m t hàm ch n nên (C’) nh n tr c Oy làm tr c đ i x ng,

đ ng th i  x 0thì y x3 3 x  1 x33x 1

0,25

I

(2,0 đi m)

T đó (C’) đ c suy t (C) nh hình bên:

0,25

1 y’(x)

y(x)

3

1



+

x y

0

1

2

1











1

3

x

y

1





3



(d)

+ D a vào đ th (C’) ta suy ra đi u ki n c a m đ ph ng trình đã cho có 4 nghi m phân

bi t là:

3 3

3

1

m

m

   





0,5

1 (1,0 đi m)

1) K: ,xk k฀

V i K trên ph ng trình đã cho t ng đ ng v i:

1 cos sin (2 sin 2 )(cos cos )

2

1 sin 2 (2 sin 2 )(cos cos )

-0,25

2

1

2 sin 2 2(2 sin 2 )(cos cos ) 1 2 cos cos

2

0,25

2 2

2 , ( ) 3

x l

p p p

é = ê ê Û

êë

0,25

II

(2,0 đi m)

So v i đi u ki n ta suy ra nghi m c a ph ng trình là 2 2 ,

3

x = ± p + l p l Î ¢ 0,25

2 (1,0 đi m)

Nh n xét: H đã cho không có nghi m (x; 0), nên t ng đ ng v i:

1

x

x xy

y

x y

y





    



0,25

1

1 5

x y x

y

x y x

y



 

    



0,25

A

S

C

B

M

H

2 ( ) 1

3 3 ( ) 1

2

x y

I x

y

x y

II x

y

  





  





 

 





  







0,25

Gi i các h (I), (II) ta đ c nghi m c a h là: 





































2

5 1

; 2

5 5

; 2

5 1

; 2

5 5

0,25

2

1

4



  

2

cos(2 )

2 2 1 sin(2 )

sin( ) cos( )

x

dx dx







III

(1,0 đi m)

2

cos(2 )

3 2

x

dx dx







ln 1 sin(2 ) cot( )



+ K SH vuông góc AC (H  AC)  SH

 (ABC)

2

a

SCBCa SH  2

3 2

ABC

a

S 

a

V  S SH 

0,25

+ G i M là trung đi m SB và là góc gi a hai m t ph ng (SAB) và (SBC)

Ta có: SA = AB = a, SCBCa 3

 AM  SB và CM  SB

 cos  cos AMC฀

0,25

IV

(1,0 đi m)

AM là trung tuy n SAB nên: 2 2 2 2 2 2 10 2

4

a AM

T ng t : 42

4

a

V y: cos 105

35



t a 1,b 1,c 1

   Khi đó theo gi thi t ta có x, y, z là 3 s th c d ng th a mãn:

xyz = 1 và bi u th c T đ c vi t l i:

T

0,25

Ta luôn có Bđt th c đúng: 3x3 y2  0 3 2x 3xy3 y2 3xy

 x  y 1 3xy3x3 y3z

3 3

1 1

z

0,25

T ng t :

3 3

1 1

x

3 3

1 1

y

V

(1,0 đi m)

C ng v theo v các bđt (1), (2), (3) ta đ c: T  1

ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1

1 (1,0 đi m)

G i I(a;b) là tâm và R là bán kính c a (C)

BI2 = d2(I,)  (a + 3)2

+ (b + 2)2 =

2 (3 4 42) 25

a b

Gi i h ph ng trình g m (1) và (2) ta đ c I(1;-5) ho c I(-3;23) 0,25

+ I(1; -5)  R = 5

(C): (x – 1)2 + (y + 5)2 = 25 + I(-3; 23)  R = 25

(C): (x + 3)2 + (y – 23)2 = 625

0,25

2 (1,0 đi m)

Ta có:

+ Các đo n OB và AC đ u nh n I(2; 2; 2) làm trung đi m (1)

+ AC  8; 16; 8 ,  OB4; 4; 4 AC OB   32 64 32  0 ACOB (2)

T (1) và (2) suy ra O, A, B, C là 4 đ nh c a hình thoi OABC

0,50

VI.a

(2,0 đi m)

SI AC

SI OB





 



 

+ Do OABC là hình thoi và SI (OABC)nên: (AC OB AC SOB)

AC SI







0,25

T đó trong mp(SOB) n u k IH SO t i H thì IH ACt i H V y IH là đo n vuông góc chung c a SO và AC

4 2.2 3 4 66

11

2 11

SI OI

d SO AC IH

SO

Ghi chú: Có th dùng công th c: ( , ) | [ , ]. |

| [ , ] |

SO AC OI

d SO AC

SO AC



  

K: x > 0 t:tlog3x, ph ng trình tr thành: (2x1)t2(4x9)t14 (1) 0 0,25

Do 2x    nên có th xem pt (1) là pt b c 2 n t, ta có: 1 0, x 0

' (4x 9) 56(2x 1) (4x 5) ' | 4x 5 |

 pt (1) có các nghi m : 2 ; 7

x



0,25

VII.a

(1,0 đi m)

+ V i 7

t x



 ta đ c pt: log3 7 log3 7 0

Xét hàm s : ( ) log3 7

x

 , TX : D(0; )

2

.ln 3 (2 1)



 Hàm s f là m t hàm đ ng bi n trênD(0; )

M t khác f(3) = 0  x = 3 là nghi m duy nh t c a pt trên D

V y ph ng trình có đúng 2 nghi m x = 9, x = 3

0,25

1.(1,0 đi m)

T gi thi t suy ra ABD đ u

Ta có : AB(2; 2), trung đi m c a AB là M(2;1)

 pt trung tr c c a đo n AB: 3 0 x   y

0,25

+ ABCD là hình thoi nên:

+ t 2 3D(2 3;1 3), C( 3; 1  3)

2.(1,0 đi m)

T gi thi t ta suy ra t a đ các đi m A, B, C đ nh b i: ( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) A a B b C c

trong đó a, b, c là các s th c d ng  ph ng trình mp(ABC): x y z 1

+ M(1, 2, 3)  mp(ABC) nên: 1 2 3 1

a   b c

+ Th tích c a kh i t di n OABC đ c tính b i: 1 1

V  OA OB OC a b c 0,25

VI.b

(2,0 đi m)

+ Theo bđt CauChy: 1 2 3 3 1 2 3

ng th c x y ra khi 1 2 3 1 3; 6; 9

V y Vmax 27 đ t đ c khi (3;0;0), (0;6;0), (0;0;9)A B C

0,25

K: x 1, y  Khi đó h t ng đ ng: 1

( 1)( 1) 3





0,25

t: u32x y 1,v3x 2y 1, K: u > 0, v > 0

Ph ng trình (1) tr thành: 3 3 9 ( 3)( 3) 0 3

3

u

v





 (th a K)

0,25

TH1: V i u = 3, ta có h :

2

2

VN

VII.b

(1,0 đi m)

TH2: V i v = 3, ta có h :

2

2 0

2 2

1

1 2

x y

x

y

 

 







 









So v i K ta nh n c 2 nghi m: 2; 0, 1; 1

2

Tóm l i h ph ng trình có 2 nghi m: 2; 0, 1; 1

2

0,25

-H t -