Đề thi thử đại học môn Toán (4)

Viết phương trỡnh tiếp tuyến với C, biết tiếp tuyến đú đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox.. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M 2; 0 là trung điểm của cạ

Sở GD-ĐT phú thọ

Trờng T.H.p.t long châu sa éỀ THI thử ĐẠI HỌC

NĂM học: 2010-2011 Mụn thi : TOÁN Thời gian làm bài:150 phút(không kể thời gian giao đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Cõu I:(2 điểm)

Cho hàm số :

1 x 2

1 x y

2 Viết phương trỡnh tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đú đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox

Cõu II:(2 điểm)

cot cos sin

4 3

log x log

2

3 x

Cõu IV: (1 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G(−2, 0) biết phương trỡnh cỏc cạnh AB, AC theo thứ

tự là 4x + y + 14 = 0; 2x+ y−2=0 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh A, B, C

PHẦN RIấNG (3 điểm)

Chú ý:Thí sinh chỉ đợc chọn bài làm ở một phần nếu làm cả hai sẽ không đợc chấm

A Theo chương trỡnh chuẩn

Cõu Va :

1 Tỡm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: A 8C C1 49

n

2 n

3

2 Cho đường trũn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0

Viết phương trỡnh đường trũn (C') tõm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại cỏc điểm A, B sao cho AB= 3

B Theo chương trỡnh Nõng cao

Cõu Vb :

2 Cho hỡnh chúp SABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng tõm O, SA vuụng gúc với đáy hỡnh chúp

Cho AB = a, SA = a 2 Gọi H và K lần lượt là hỡnh chiếu vuông góc của A lờn SB, SD

Chứng minh SC ⊥ (AHK) và tớnh thể tớch khối chúp OAHK

……… … ……… Hết………

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Hớng dẫn chấm môn toán Câu ý Nội Dung Điểm I 2 1 Khảo sát hàm số (1 điểm) 1

• TXĐ: D = R\ {-1/2} • Sựự Biến thiên: , ( )2 3 0 2 1 y x D x − = < ∀ ∈ + Nên hàm số nghịch biến trên ( ; 1) ( 1; ) 2 va 2 −∞ − − +∞ 0,25 + Giới hạn ,tiệm cận: 1

2 lim x y + →− = +∞ 1

2 lim x y − →− = −∞ ⇒ĐTHS có tiẹm cận đứng : x = -1/2 lim 1 2 x y →−∞ = − lim 1 2 x y →+∞ = − ⇒đTHS có tiệm cận ngang: y = -1/2 0,25 + Bảng biến thiên:

0,25

x y’

y

∞

1/2

∞

−

∞ +

-1/2

x 1 k x 1

x 1 k co ù nghieäm2x 1

+

−

⇔

)2( k1x3

)1( 2

1xk1x

1x

y

x0

I-1/2

11-1/2

Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm là

x

cosxcos

x2

(1)(1)

xsin

x

cosxcos

x

sinx

cosxsin

xsinxsinxcosx2

⇔

( )

xcosxsin

xcosxsinxcosxsin

xxcos − = 2 − 2

43

logxlog

2

3 x

4x

log

1xlog

2

3 3

22 loglog xx 1 log4 x 1

3 3

−

−+

0,25

Do đó, (1) 3

1log x 1 hay x 4 x hay x 81

=+

=

++

=

2yy

2xxy

yyy

xxxx

C B

C B C

B A G

C B A G

(1)

0,25

Vì B(xB, yB) ∈ AB ⇔ yB = –4xB – 14 (2)C(xC, yC) ∈ AC ⇔ y 25xC 52

0y 1x

2y3x25

25

x14x

2xx

C C

B B

C B

C B

k n k k n

0,25

Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2) R= 3

Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB ⊥ IM tại trung điểm H của đoạn AB

0,25

Ta có

2

32

ABBH

Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I

Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB Gọi H' là trung điểm của A'B'

35HIMI

494

3MHAH

1694

3'MH'H'A'MA

x 2

+BC vuụng gúc với (SAB)

⇒AH vuụng gúc với (SBC) ⇒AH vuụng gúc SC (1)

(do 2 tam giỏc SAB và SAD bằng nhau và cựng vuụng tại A)

0,25

BD SB= ⇒ = 3 .

0,25

kẻ OE// SC ⇒OE⊥(AHK doSC)( ⊥(AHK)) suy ra OE là đờng cao của

hình chóp OAHK và OE=1/2 IC=1/4SC = a/2

Câu II:

xsin

x2

cosxcos

x

(1)(1)

xsin

x

cosxcos

x

sinx

cosxsin

xsinx2sinxcosx2

⇔

( )

xcosxsin

xcosxsinxcosxsin

xx2cos − = 2 − 2

43

logxlog

2

3 x

4x

log

1xlog

2

3 3

4x

log2

xlog2

3 3

−

−+

−

=+

=

++

=

2yy

2xxy

yy

y

xxx

x

C B

C B C

B A

G

C B A

G

(1)

Vì B(xB, yB) ∈ AB ⇔ yB = –4xB – 14 (2)

25

x214

B B

C B

+BC vuông góc với (SAB)

⇒AH vuông góc với (SBC) ⇒AH vuông góc SC (1)

(do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A)

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho

A= O (0;0;0), B(a;0;0), C( a;a;0), D(0;a;0), S (0;0; a 2)

1A

x 1 k x 1

x 1 k co ù nghieäm2x 1

−

⇔

)2( k1

x

2

3

)1( 2

1xk1

k n k k n

2 Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2) R= 3

Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB ⊥ IM tại trung điểm H của đoạn AB Ta có

2

32

AB

BH

AH= = =

Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I

Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB

Gọi H' là trung điểm của A'B'

35HIMI

MH= − = − =

2 2

Ta có: 13

4

524

494

3MHAH

1694

3'MH'H'A'MA

Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)

Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); (± 2;0)

2 x2x2 – 2 = m ⇔ 2x2x2 – 2 = 2m (*)

(*) là phương trình hoành độ giao điểm của (C’) :

y = 2x2x2 – 2 và (d): y = 2m

Ta có (C’) ≡ (C); nếu x ≤ - 2 hay x ≥ 2

(C’) đđối xứng với (C) qua trục hoành nếu - 2 < x < 2

Theo đồ thị ta thấy ycbt ⇔ 0 < 2m < 2 ⇔ 0 < m < 1

x 1

−

=+

a x

B

MNH

15(x y) x 7y y x : d

⇔ x – 2y + 2z + 1 = 0 Gọi ∆ là đường thẳng bất kỳ qua A

Gọi H là hình chiếu của B xuống mặt phẳng (Q) Ta có :

d(B, ∆) ≥ BH; d (B, ∆) đạt min ⇔∆ qua A và H

Pt tham số

x 1 tBH: y 1 2t

⇔ 2x2 – mx – 1 = 0 (*) (vì x = 0 không là nghiệm của (*))

Vì a.c < 0 nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt ≠ 0

Do đó đồ thị và đường thẳng luôn có 2 giao điểm phân biệt A, B

ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009

Môn thi : TOÁN PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu I (2,0 điểm)

Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0

2 Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2

dxI

e 1

=

−

∫

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ =

2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)

Câu V (1,0 điểm).Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0 Viết phương trình đường thẳng AC

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = 0 Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P)

Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều

kiện z – (3 – 4i)= 2

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + y2 = 1 Gọi I là tâm của (C) Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho ·IMO= 300

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: x 2 y 2 z

− và mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0 Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng ∆

Câu VII.b (1,0 điểm)

Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số

2

x x 1y

x

+ −

phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung

]BÀI GIẢI GỢI Ý

Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)

Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); (± 2;0)

2 Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = -1 là

Câu II 1) Phương trình tương đương :

3 cos5x (sin 5x sin x) sin x 0− + − = ⇔ 3 cos5x sin 5x 2sin x− =

⇔ 3cos5x 1sin 5x sin x

2 2 2 2

2

x(x y 1) 3

x(x y) x 35

x (x y) x 5(x y) 1

Câu V. S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy

= 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy

4

2 3y

4

2 3y

nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = 0 ⇔ 3x – 4y + 5 = 0

2) AB qua A cĩ VTCP AB ( 1;1; 2)uuur= − nên cĩ phương trình :

Câu VI.b 1 (x – 1)2 + y2 = 1 Tâm I (1; 0); R = 1

Ta cĩ ·IMO = 300, ∆OIM cân tại I ⇒ ·MOI = 300

IOM =IMO= , do đối xứng ta sẽ có

2 điểm đáp án đối xứng với Ox

H là hình chiếu của M xuống OX

Tam giác OM H1 là nửa tam giác đều

Do đđó tập hợp biểu diễn các số phức z trong mp Oxy là đường tròn tâm I (3; -4) và bán kính R = 2.

Câu VII.b pt hoành độ giao điểm là :

2

x x 1

2x mx

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm):

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O.

Câu V (1,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:

( ) (3 )3 ( ) ( ) ( ) ( )3

x y+ + +x z +3 x y x z y z+ + + ≤5 y z+ .

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng

:x y 5 0

∆ + − = Viết phương trình đường thẳng AB.

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x 2y z 4 0− − − = và mặt cầu

( )S : x2+y2+ −z2 2x 4y 6z 11 0− − − = Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S) theo một đường tròn Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.

Câu VII.a (1,0 điểm)

Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2z + 10 = 0 tính giá trị của biểu thức A = |z 1 | 3 + |z 2 | 3.

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn ( )C : x2+y2+4x 4y 6 0+ + = và đường thẳng

-Hết -1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O.

Ta có y ' 1 2

(2x 3)

−

=+ nên phương trình tiếp tuyến tại x x= 0 (với 0

3x2

y(2x 3) (2x 3)

2x 8x 6(2x 3)

0

x 1(L)(2x 3) 1 2x 3 1

Phương trình⇔ cosx - 2sinxcosx = 3 (1 – sinx + 2sinx – 2sin2x)

⇔cosx – sin2x = 3+ 3sinx - 2 3sin2x

⇔ − 3sinx + cosx = sin2x + 3(1 – 2sin2x)

35u 3v 8

u 215u 26u 20 0 vô n do ' 13 15.20 0

Câu III.Tính tích phân 2( )

ABCD AECD EBC

3 2

Câu V.Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:

1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo

AC và BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ + − =:x y 5 0 Viết phương trình đường thẳng AB.

Giải: Gọi N là điểm đối xứng với M qua I, F là điểm đối xứng vơi E qua I.

Từ đó ta có phương trình đường thẳng AB là x – 4y + 19 = 0 hoặc y = 5

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x 2y z 4 0− − − = và mặt cầu

( )S : x2+y2+ −z2 2x 4y 6z 11 0− − − = Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S) theo một đường tròn Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.

Vì d(I;(P)) <R nên (P) cắt (S) theo đường tròn

Gọi H là hình chiếu của I trên (P) thì H là giao của mp(P) với đường thẳng qua I, vuông góc với (P)

Gọi H là hình chiếu của I trên ∆.

• Để ∆cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A,B phân biệt thì: IH<R

− Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 sao cho khoảng cách

từ M đến đường thẳng ∆2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.

2 2

MH d

(11b 20)29b 88b 68

9261b 792b 612 121b 440b 400140b 352b 212 0

35b 88b 53 0

b 153b35