Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn :.. Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N.. Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Năm học: 2014-2015 Môn thi: TOÁN Lớp 9 THCS Ngày thi 25/03/2015.
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang, gồm 05 câu
Câu I: (4,0 điểm) Cho biểu thức 2 1 2 1
A
1 Rút gọn biểu thức A
2 Tìm x để 1
7
A
Câu II: (4điểm)
1 Giải phương trình 2 2 3
2 0.
2 Giải hệ phương trình
2 2
2 ( )(1 ) 4
Câu III: (4điểm)
1 Tìm các nghiệm nguyên (x; y) của phương trình: 5(x2 xy y ) 7(x 2y) 2
2 Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn :
1
Câu IV: (6điểm)
Cho 3 điểm A , B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C)
Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không thuộc đường thẳng d) Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K
1 Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn
2 Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi
3 Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E Chứng minh P là trung điểm của ME
Câu V: (2điểm)
Cho các số thực dương a b c , , thỏa mãn 2 a b c a2 b2 6.
Tìm giá trị
.
P
-
Hết -Họ tên thí sinh: ………
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Số báo danh
Trang 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI: TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài 150 phút
(Không kể thời gian giao đề) (Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang)
I
1
Điều kiện: 0; 1; 1
4
x x x Đặt x a a ; 0 x a 2, ta có:
2
1
A
0,5
2
A
1 1
1
1 2 1
1 2
a
a a
a a
a
a a a
a A
0,5
2
1 1 1
a
0,5
1
1
2
a a
1
1
x x
2
7
1 1
1 7
1 1
1
x x x
x A
7
1
4
3 2
1 1
2
0,5
x x 6 0 x 3 x2 0 x 3 0
0 x 9
0,5 0,5 Đối chiếu với điều kiện ta được:
1 , 1 4
x
0,5
II
1
ĐKXĐ:
2 2
1
2 0
2
5 2 0
5 33 2
x
x x
x
x
0,25
Nhận thấy x 0 không là nghiệm của phương trình 0,25 Khi x 0 thì
0,25
Trang 3Phương trình đã cho
2 0
t x
x
, ta được phương trình biểu thị theo t là 1 3
2
t t
0,25
2
x
2
x
0,25
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 3 17
2
S
0,25
2
Nhận thấy nếu x 0 thì y 0 và ngược lại
Xét x 0 ; y 0 hệ phương trình tương đương với
0,5
Thay (1) vào (2) ta được (1 1)3 8
xy
0,5
1 1
2
1 1
1
x y
x y xy
Vậy hệ có nghiệm (x ; y) là (0 ; 0) ; (1 ; 1)
0,25
0,25
1 Ta có: 5( x2 xy y 2) 7( x 2 ) y (1)
7(x2 ) 5y ( x 2 ) 5 y Đặt x2y 5t (2) (t Z ) thì
(1) trở thành x2 xy y 2 7 t (3) 0,5
Từ (2) x 5 t 2 y thay vào (3) ta được 3 y2 15 ty 25 t2 7 t 0 (*), coi đây là
PT bậc hai đối với y có: 84 t 75 t2 0,5
Để (*) có nghiệm 0 84t 75t2 0 28
0
25
t
Vì t Z t 0 hoặc t 1 Thay vào (*) : 0,5
(1)
(2)
Trang 4+ Với t 0 y1 0 x1 0
+ Với t 1 2 2
Vậy phương trình có 3 nghiệm nguyên (x, y) là (0; 0), (-1; 3) và ( 1; 2)
0,5
III
2
Nếu p q thì
2
m
0,25
Do m và p là số nguyên tố nên 4 (m1) m0;m1;m3
Nếu p q thì pq và p + q là nguyên tố cùng nhau vì pq chỉ chia hết cho các ước nguyên
tố là p và q còn p + q thì không chia hết cho p và không chia hết cho q. 0,25
Gọi r là một ước chung của m 2 1 và m 1 ( m 1)( m 1) r ( m2 1) r
0,25
( m 1) ( m 1) r 2 r
) r 1
suy ra p q m 1, pq m 2 1 p q , là hai nghiệm của phương trình
x m x m vô nghiệm do
3 m 2 m 3 ( m 1) (2 m 2) 0
) r 2
suy ra 2 pq m 2 1 và 2( p q ) m 1 p q , là hai nghiệm của
phương trình 2 x2 ( m 1) x m 2 1 0 vô nghiệm do
7 m 2 m 7 ( m 1) (6 m 6) 0
Vậy bộ các số nguyên tố (p; q) cần tìm là ( ; ) (2;2); ( ; ) (5;5).p q p q 0,25
I là trung điểm của BC (Dây BC không đi qua O)
C
P A
K B
O
d E
Q M
N
I
D
H
Trang 5Ta có AMO = 900
ANO = 900
Suy ra 4 điểm O, M, N, I cùng thuộc đường tròn đường kinh OA
0,5 0,5 0,5
2
AM, AN là hai tiếp tuyến của (O) nên OA là phân giác MON mà MON cân ở O nên
OA MN
ABN đồng dạng với ANC (Vì ANB = ACN, CAN chung)
AB AC = AN2
ANO vuông tại N đường cao NH nên AH AO = AN2
AB AC = AH AO
AHK đồng dạng với AIO (g-g)
Nên AH AK AI AK AH AO
.
AI AK AB AC
AB AC AK
AI
Ta có A, B, C cố định nên I cố định AK cố định
Mà A cố định, K là giao điểm của dây BC và dây MN nên K thuộc tia AB K cố định
0,5
0,5
0,5
0,5
3
Ta có PMQ = 900
MHE QDM (g-g) ME MH
PMH MQH
2
1 2
ME = 2 MP P là trung điểm ME
0,5
0,5
0,5
0,5
V
Từ:
2 a b c a b 6 6 c a b a ab b a b
ta có:
2 2
2 6 c a b a ab b a b c a b 4 0 c a b 2
a b ab
Lại có
Trang 6 2
c a b
a b c b a c abc b c abc a c abc a b c abc a b c
và
2
3
ab bc ca abc a b c ab bc bc ca ab ca
0,25
2
c a b
c a b
ab
0,25
Đặt
2 2
2(1 )
Có
2 2
( 2)( 7 22 12) 8
t t
mà
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi t = 2 hay a b c
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8
Lưu ý khi chấm bài:
- Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
- Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không chấm điểm.