Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc ·BAE CAF= · , gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng AB và AC, kéo dài AE cắt đường tròn n
Trang 1UBND TỈNH THÁI NGUYÊN
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11
NĂM HỌC 2011 - 2012 MÔN : TOÁN HỌC
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
Bài 1 (4 điểm)
Giải phương trình: 2 2 2 2sin 2
tanx cot 2x x
+
Bài 2 (4 điểm).
Cho dãy số ( )u xác định bởi n ( )
1
* 1
4 1
4 4 1 2 9
u
=
Tìm công thức số hạng tổng quát u của dãy số n
Bài 3 (4 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc ·BAE CAF= ·
, gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng AB và AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D Chứng minh rằng tứ giác AMDN
và tam giác ABC có diện tích bằng nhau
Bài 4 (4 điểm)
Cho tập hợp A={1;2;3; ;18} Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số trong tập A sao cho hiệu của hai số bất kì trong 5 số đó không nhỏ hơn 2
Bài 5 (4 điểm).
Cho các số dương , ,a b c thoả mãn a b c+ + =3 Chứng minh rằng:
12 12 12 3
Hết
-Họ và tên : Số báo danh :
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH
Trang 2MÔN: TOÁN NĂM HỌC: 2011 - 2012
Điểm Bài 1 Giải phương trình: tan2x+ cot 22 x = 2 2sin 2+ x
+
Lời giải : Điều kiện : ( )
cos 0
tan cot 2 0
x x
≠
Ta có :
2 2sin cos2 1 tan cot 2
sin 2 sin 2
+
Do đó phương trình đã cho tương đương với :
(2+ 2) sin 2x = 2 sin 2+ x
⇔( sin 2x −1 2 sin 2) ( x − 2) =0
sin 2 1
2 sin 2
2
x x
sin 2 1
1 sin 2
2
x x
=
=
( Thỏa điều kiện (1) ) Giải các phương trình trên ta được :
; ; 5 ( )
x= +π kπ x= π +kπ x= π +kπ k Z∈
1đ
1 đ
1 đ
1 đ
Bài 2 Cho dãy số ( )u xác định bởi n
1
* 1
4 1
4 4 1 2 9
u
=
Tìm công thức số hạng tổng quát u của dãy số n
Lời giải: Đặt x n = 1 2+ u n ∀ ∈n N*
Ta có x n ≥0 và x n2 = +1 2 ,u n ∀ ∈n N* hay
2
n n
x
Thay vào giả thiết, ta được:
1
4 4
n
x
+
1
3x n+ = +x n 4 ∀ ∈n N ( Do x n ≥0 ,∀ ∈n N*)
1 đ
1 đ
Trang 3Hay 1 *
1
3n 3n 4.3 ,n
+
Đặt 3n , *
y = x ∀ ∈n N Ta có: *
1 4.3 ,n
y + = y + ∀ ∈n N
1 1 4 3n 3n 3 ,
n
1 1 6 2.3 ,n n
Theo cách đặt ta có: 1 3 1 9 3 2.3n
n
1
1
3
x = + − ∀ ∈n N
u = + − + − ∀ ∈n N
1 đ
1 đ Bài 3 Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho góc
BAE CAF= , gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các
đường thẳng AB và AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC tại D Chứng minh rằng tứ giác AMDN và tam giác ABC có diện
tích bằng nhau
Lời giải:
Đặt ·BAE CAF=· =α, EAF· =β.Tacó
ABC
4
AF
AB CD AC BD R
(R-là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (1)
Diện tích tứ giác ADMN là
.sin sin( )
AMDN
0,5đ
1,5 đ
N M
D
O A
Trang 4=1 cos( ).sin cos sin( )
1 sin 2( )
AF
R
α β
Vì tứ giác ABDC nội tiếp trong đường tròn nên theo định lí Ptoleme ta
có : AB.CD + AC.BD = AD.BC (3)
Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh
1,5 đ
0,5 đ
Bài 4
Cho tập hợp A={1;2;3; ;18} Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số trong
tập A sao cho hiệu của hai số bất kì trong 5 số đó không nhỏ hơn 2
Lời giải: Ta cần tìm số phần tử của tập T sau:
T= (a ,a , ,a ) : a < < <a a ; 1 a≤ ≤18; a −a ≥2
Xét tập hợp H={(b ,b , ,b ) : b1 2 5 1<b2 < < b ; 1 b5 ≤ ≤i 14}
Xét ánh xạ f cho tương ứng mỗi bộ (a ,a , ,a ) với bộ 1 2 5 (b ,b , ,b ) 1 2 5
xác định như sau:
b =a ,b = −a 1,b = −a 2,b = −a 3,b = −a 4
Dễ thấy khi đó f là một song ánh, suy ra T = H
Mặt khác mỗi bộ (b ,b , ,b ) trong H là một tổ hợp chập 5 của 14 1 2 5
phần tử Do đó H =C145 =2002 Vậy T =2002
1 đ
1,5 đ
1,5 đ
Bài 5 Cho các số dương , ,a b c thoả mãn a b c+ + =3 Chứng minh rằng:
12 12 12 3
Lời giải: Bất đẳng thức trên tương đương với:
Hay ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2
3
Bây giờ ta dùng bất đẳng thức AM – GM cho các mẫu thức:
( 1) ( 1) ( 1)
3
3 2
ab bc ca
3 3
a b c
Trang 6Đặt BAE CAF· =· = α , EAF· = β
Ta có 1 .sin( ) 1 .sin
ABC
4
AF
AB CD AC BD R
(R-là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (1)
Diện tích tứ giác ADMN là
AMDN
S = AM AD α + AD AN α β + =
N M
D
O A
Trang 7=1 .cos( ).sin cos sin( )
2AD AF α β + α +AF α α β + =
1
AF
R
α β
Vì tứ giác AMDN nội tiếp trong đường tròn nên theo định lí Ptoleme ta có AB.CD + AC.BD = AD.BC (3)
Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh