Bài tập các phép tính Casio

Tìm hai số đó... a/ Lập quy trình bấm phím liên tục để tính un.. c/ Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy.. Lập quy trình bấm phím liên tục để tính x n... nêu rõ dùng cho loại máy nào Bà

1/ A=1.2.3 2.3.4 3.4.51 + 1 + 1 + ×××+n n( 11) (n 2)

+ + 2/ A=1.2.3 2.3.4 3.4.51 + 1 + 1 + ×××+9702001

1.2.3 2.3.4 3.4.5 2009.2010.2011

A= + + + ×××+ 4/ A=1.3.5 3.5.7 5.7.91 + 1 + 1 + ×××+(2n 1 2) ( n1 3 2) ( n 5)

1.3.5 3.5.7 5.7.9 2009.2011.2013

A= + + + ×××+

Bài 1.2.3.2:

1/Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 1 1 1 1 12

A

n

= − ÷ × − ÷ × − ÷ ××× − ÷×

        2

A= −  × −  × −  ××× − ×

Bài 1.2.3.3: Tính tổng và viết quy trình tính:

1/ S = 1 + 2 + 3 + + 72 2/ 1 1 1 1 1

P= + + + + + 3/ 1 1 1 1 1

4/ K = 1 + 3 + 5 + …+ 99 5/ H = 1.2 +2.3 +3.4 + …+ 49.50 6/A = 1 2+ 2 3+ 3 4 + + 49 50

Bài 1.2.3.4:

1/ A =

) 1 (

1

12

1 6

1

2

1

+ + +

+ +

n

1

12

1 6

1 2

Bài 1.2.3.5: Tính ( làm tròn đến 6 chữ số thập phân):

1 / A= −1 2+33−4 4+55−66+77−88+99−1010

2/ M =P

Q với P = 3 + 32 +…+ 319 ; Q = 2 3 19

3 3+ +3 + +3

 +  × + +  ××× + + + ××× 

Bài 1.2.3.6:

Cho S1 = 100 ; S2 = S1 + 152 ; S3 = S1 + S2 + 302 S4 = S1 + S2 + S3 +552 ; S5 = S1 + S2 + S3 + S4 +902 Tính S8 ; S9 ;

S10 ;S20

Bài 1.2.3.7: Cho S1 = 100 ; S2 = S1 + 132 ; S3 = S1 + S2 + 212 S4 = S1 + S2 + S3 + 342 ; S5 = S1 + S2 + S3 + S4 +522 Tính

S8 ; S9 ; S10 ;S30

Bài 1.2.3.8: Cho S1 = 196 ; S2 = S1 + 22 ; S3 = S1 + S2 + 92 S4 = S1 + S2 + S3 + 232 ; S5 = S1 + S2 + S3 + S4 + 442 Tính S8

; S9 ; S10 ;S50

Bài 1.2.3.9: Cho dãy số un =4 3n

n

− và Sn = u1 + u2 +…+un a/ Viết quy trình bấm phím tính Sn b/ Hãy tính S5;S10;S15;S20

Bài 1.2.3.10: Cho dãy số un Với u1 = 7 ;u2= 7+ 7 ;un = 71 4 42 4 43+ 7 7+

a/ Viết quy trình bấm phím tính un b/ Tính u1000

Bài 1.2.3.11: Cho dãy số un.Tính u10000 với u1 = 10 ;u2= 10+ 10 ;un = 101 4 44 2 4 4 43+ 10 10+

Bài 1.2.3.12: Cho dãy số un =4 5n3

n

+ và Sn = u1 + u2 +…+un Hãy tính S5;S10;S15;S20 Bài 1.2.3.13: Cho dãy số un.Tính u10000 với u1 =315 ;u2=315+315 ;un = 1 4 4 42 4 4 43315+315 + + 315

Bài 1.2.3.14: Cho dãy số :Sn = (13+23)(13+23+33)…(13+23+33+…+n3) a/ Viết quy trình bấm phím tính Sn

b/ Tính Sn với n = 1,2,3,…,10

Bài 1.2.3.15:

n dấu căn

n dấu căn

n dấu căn

Cho dãy số :Sn = 14+(14+24)+(14+24+34)+…+(14+24+34+…+n4) a/ Viết quy trình bấm phím tính Sn b/ Tính Sn với n = 5;10;15;20

Bài 1.2.3.16: Cho dãy số :Sn = 1 31 1 31 31 1 31 31 ( 1) 1 31

n n

+

 −  − + ××× − + − + − ×

a/ Viết quy trình bấm phím tính Sn b/ Tính Sn với n = 5;7

Bài 1.2.3.17: Với mỗi số nguyên dương n > 1.Đặt Sn= 1.2 +2.3 +3.4 + … +n.(n+1) a/Viết quy trình tính Sn

b/Tính S50 ; S2005 ; S20052005 c/ So sánh 2

2005

S với S20052005

Bài 1.2.3.18: Cho 1 12 12 1 12 12 1 12 12 1 12 1 2

n S

+ a/ Viết quy trình bấm phím tính Sn b/ Tính S10 ; S12 và S2007 ;S2011 với 6 chữ số ở phần thập phân

Bài 1.2.3.19: Với mỗi số nguyên dương n Đặt

4

2 3 7 4 3 ( )

n

n

= +

a/Tính A(2007) b/So sánh A(2008) với A(20072008)

Bài 1.2.3.20: Cho S1 = 81 ; S2 = S1 + 152 ; S3 = S1 + S2 + 252

S4 = S1 + S2 + S3 +392 ; S5 = S1 + S2 + S3 + S4 +572

Tính S8 ; S9 ; S10

Bài 1.2.3.21: Tính giá trị biểu thức :

a/ A = 3 + 8 + 15 +… + 9800

b/ B = 1.2.3 + 3.5.7 + 5.7.9 +…+ 95.97.99

c/C=3 + 6 + 11 + 20 + 37 +…+ (2n + n) với n = 10, n = 20, n= 30

d/D = 1 + 32 + 34 + 36 +…+ 3100

e/E = 7 + 73 + 75 + 77 +…+ 799

Bài 1.2.3.22:

1/ Tính A = 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 2008)

1.2008 2.2007 3.2006 2007.2 2008.1

+ + + + + + + + + + + + + + + + 2/ Tính B = 1 - 24 + 34 - 44 + …+ 494 - 504

+ + + + ×××+ 4/ Tính D = 40 38 36 4 2 5/ Tính E = 40 39 38 3 2

6) A= 2−33+44−55+66−7 7+88−99 2010+ 9 Bài 1.2.3.23: Tính : C= 99 8 7 6 5 4 3 28 7 6 5 4 3

Bài 1.2.3.24: Cho Cn = ( 1) ( 2) 3

( 1) ( 2) 4 3 2

n

a/ Viết quy trình tính Cn

b/ TínhC50 ; C100

Bài 1.2.3.25: Cho Tn = (Sin2 01 ) (+ Sin2 01 +Sin220)+ + (Sin2 01 +Sin220+ Sin n2 0)

a/ Viết quy trình tính Tn

b/Tính T100

Bài 1.2.3.26: Tính gần đúng (làm tròn đến 6 chữ số thập phân) :

A = 7 6 35 44 53 62 71

Bài 1.2.3.27: Với mỗi số nguyên dương n > 1 Đặt Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1)

Tính S100 và S2005

Dạng 3.3: Luỹ thừa

A - Tìm số dư:

Bài 3.3A.1:

a)Tìm số dư khi chia 200610 cho 2000

b) Tìm số dư trong phép chia A = 38 + 36 + 32004 cho 91

Bài 3.3A.2: Tìm số dư khi chia 29455 - 3 cho 9

Bài 3.3 A.3: Tìm số dư khi chia (19971998 +19981999 + 19992000)10 cho 111

Bài 3.3 A.4: Tìm số dư khi chia 15325 - 1 cho 9

Bài 3.3 A.5: 1) Tìm số dư khi chia 10! cho 11

2) Tìm số dư khi chia 17762003 cho 4000

Bài 3.3 A.6: a) Tìm số dư khi chia 13! cho 11

b) Tìm số dư trong phép chia: 715 : 2001

Bài 3.3 A.7: Tìm số dư khi chia 570 + 750 cho 12

Bài 3.3 A.8: Tìm số dư khi chia 512002 100cho 41

Giải: Vì 41 là số nguyên tố, ta có:

5120041≡51200(mod 41) ≡32(mod 41)

Mặt khác:21≡2(mod 41) , 22≡4(mod 41) , 23≡8(mod 41) , 24 ≡16(mod 41) , 25≡32(mod 41) , 26≡23(mod 41) , 27≡ 5(mod 41)

⇒2100 = 214.7+2 = (27)14.22 ≡ (5)14.22(mod 41)

Ta có:52 ≡ 25(mod 41) , 53 ≡ 2(mod 41)

⇒514 = 53.4 +2 =(53)4.52 ≡ 24.52(mod 41) ≡ 31(mod 41)

Nên: 2100 ≡ (5)14.22(mod 41) ≡ 31.22(mod 41) ≡ 1(mod 41)

ABC

⇒V 2100 = 41q +1 (q∈N)

Vậy: 512002 100=5120041q +1 = (5120041)q.51200 ≡(32)q 51200(mod 41)

≡(32)q 32(mod 41) ≡(32)q+1 (mod 41) (q∈N)

Cách này không ra!

Cách khác:Ta có:5120040 ≡1(mod 41) ,51200 ≡32(mod 41)

Mà: 22 ≡-1(mod5) ⇒(22)48 ≡1 (mod5)

⇒(22)48 2 ≡1.2 (mod5)

⇒297 ≡2 (mod5)

⇒297 23 ≡2.23 (mod5.23)

⇒2100 ≡16 (mod 40)

Nên: 2100 = 40q +16

Cho nên: 512002 100=5120040q +16 = (5120040)q.5120016 ≡3216(mod 41)

Mà: 3216 = 280 = (240)2 ≡1(mod 41)

Vậy: 512002 100 ≡1(mod 41)

Bài 3.3 A.9: a) Viết quy trình tìm số dư khi chia (515 + 1) cho (212 +1)

b) Hãy tìm số dư r

Bài 3.3 A.10: Tính phần dư của các số 70 ; 71 ; 72 ; 73 ; 74 ; 75 ; 76 ; 77 ; 78 ; 79 ; 710 ; 711 khi chia cho 13 và điền vào bảng sau:

Số dư

Bài 3.3 A.11:

a) Tìm số dư khi chia 19972008 cho 2003

b/ Tìm số dư khi chia 19972001cho 2003

c/ Tìm số dư khi chia 2100 cho 100

d/ Tìm số dư khi chia 9100 cho 100

e/ Tìm số dư khi chia 11201 cho 100

Bài 3.3 A.12: Tìm số dư khi chia 102007200708 cho 111007

B - Chứng minh chia hết:

Bài 3.3B.1:

1) Chứng minh rằng: 42n+1 + 3n+2  13

2) Chứng minh rằng với bất kì số nguyên dương n thì biểu thức:

[7.52n + 12.6n] 19

Bài 3.3B.2:

a/ Chứng minh rằng: 24n - 1  15

b/ Chứng minh rằng: 6969+1919 44

Bài 3.3 B.3: a)Chứng minh rằng: 18901930 + 19451975 7

b) 192007+132004 5

Bài 3.3 B.4: Chứng minh rằng: 220119 69+ 11969 220 +69220 119  102

Bài 3.3 B.5: Chứng minh rằng:

a) 25n - 1  31 b) (n2 + n - 1)2 - 1  24

Bài 3.3 B.6: Chứng minh rằng: 22 5+ 1  461

Bài 3.3 B.7: Chứng minh rằng:

a) 1n + 2n + 3n + + mn ≡ 0 (mod m )

b) A = n8 - n6 - n4 + n2 chia hết cho 5760 với n là số tự nhiên lẻ

c) B = 9n3 + 9n2 + 3n - 16 không chia hết cho 343 với mọi số nguyên n

Bài 3.3 B.8: Chứng minh rằng: 22225555 + 55552222  7

Giải: Ta có:2222 ≡3(mod7) , 5555 ≡4(mod7)

Mặt khác:22226 ≡1(mod7) , 5555 = 5(mod6)

⇒5555 = 6q +5 (q∈N) nên 22225555 = 22226q +5 = (22226)q.22225 ≡3(mod7)

Tương tự: 55552222 ≡4(mod7)

Vậy: 22225555 + 55552222 ≡7(mod7) ≡0(mod7) ⇒đpcm

Bài 3.3 B.9: Chứng minh rằng:∀n∈N* ta có:

a) 42n +22n +1 7 b) 22n +15n−1 9

Giải:a) Với n = 1 thì:42n +22n + =1 42 1+22 1+ =1 21 7

Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k∈N , k ≥1) tức là: 42k +22k +1 7

Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 tức là: 42k+1 +22k+1 +1 7

Thật vậy:42k+1 ≡2 nếu k chẵn và ≡4 nếu k lẻ

22k+1 ≡ 4 nếu k chẵn và ≡2 nếu k lẻ

Vậy: 42k+1+22k+1+1 7 với ∀ ∈ Νk *

⇒đpcm

Bài 3.3 B.10: CMR:

a)22 2n+1+3 7 b)2210n+1+19 23 c)226n+2+21 37

Giải: c) Ta có:236 ≡1 (mod 37)

Mà: 26 ≡1(mod 9) nên:(26)n ≡1(mod 9)

⇒(26)n 22 ≡1.22 (mod9 22)

⇒26n +2 ≡4 (mod36)

⇒26n +2 =36q +4 (q∈N)

Nên: 22 6n+2 = 236q+ 4 =(236)q.24 ≡16 (mod 37)

Vậy: 22 6n+4 +21 16 21(mod 37) 0(mod 37)≡ + ≡ ⇒dpcm

Bài 3.3 B.11: Số 312 - 1 chia hết cho hai số tự nhiên nằm trong khoảng 70 đến 79 Tìm hai số đó Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng:

a/20012004 + 20032006  10

b/ 7 + 72 + 73+ …+72008 400

Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì :

3n+2 - 2n+2 +3n - 2n 10

C - Số tận cùng:

Ta có: abcde a= 104+b.103+c.102+d.101+e

Cho nên:

- Tìm 1 chữ số tận cùng:Ta xét đồng dư mod 101

- Tìm 2 chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 102

- Tìm 3 chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 103

- Tìm n chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 10n

Bài 3.3C 1:

a/Tìm 1 chữ số tận cùng của số:99 9

b/Tìm 2 chữ số tận cùng của số: 1414

c/Tìm 2 ,3,4,5 chữ số tận cùng của số: 521

Bài 3.3 C 2: Tìm chữ số tận cùng của số:23 4

Bài 3.3 C 3: Tìm chữ số tận cùng của số:1414 14

Giải:Ta có:14 ≡ 4(mod 10)

Mà: 14 ≡ - 1 (mod 5) ⇒1413 ≡ - 1 (mod 5)

⇒1413 7 ≡ - 1.7 (mod 5)

⇒1413 7 2 ≡ - 1.7.2 (mod 5.2)

⇒1414≡ - 14 (mod 10) ≡ 6 (mod 10)

Nên: 1414 =10q +6 (q∈N)

Vậy: 1414 14 = 1410q +6 = 14(5q+3).2 = (145q +3)2

Vì : q∈N nên 145q +3 luôn có chữ số hàng đơn vị là 4 hoặc 6

Do đó: (145q +3)2 luôn có chữ số hàng đơn vị là 6

Cách 2: Ta có:142 ≡ 6 (mod 10)

Nên: (142)7 ≡ 67 (mod 10) ≡ 6 (mod 10)

⇒1414 = 10 q +6 (q ∈N)

⇒ 1414 14 = 1410q +6 = (142)5q 146 ≡6 146 (mod 10)

≡6 (142)3 (mod 10)

≡6 63 (mod 10)

≡64 (mod 10)

≡6 (mod 10)

Vậy: Chữ số tận cùng là 6

Bài 3.3 C 4: Tìm 2,3,4,5, 6 chữ số tận cùng của số:521

HD: 521=514 .54 .53 ≡203125 (mod 106)

Bài 3.3 C 5: Tìm 8 chữ số tận cùng của số:51995

Bài 3.3 C 6: a) Tìm 2 chữ số tận cùng của: 99 9

b)Tìm 2 chữ số tận cùng của: 9

9

11 Giải: a) Vì 100 = 22.52 nên: (100) 100(1 1)(1 1) 40

Ta có: 940 ≡ 1(mod 100)

Mặt khác: 92 ≡ 1(mod 40)

⇒ (92)4 ≡ 1(mod 40)

⇒ (92)4 9 ≡ 1.9(mod 40)

⇒99 = 40q + 9 (q ∈N)

Vậy: 99 9= 940q + 9 = (940)q.99 ≡99 (mod 100) ≡89 (mod 100)

KL: Hai chữ số tận cùng của 99 9 là:89

b) Ta có: 99 9 ≡89 (mod 100) nên 99 9= 100k + 89 (k ∈N)

9

11 = 11100k + 89 = (11100)k 1189 mà 115 ≡ 51(mod 100)

⇒(115 )2 ≡ 1(mod 100)

⇒(1110 )10 ≡ 1(mod 100)

⇒ 11100 ≡ 1(mod 100)

Nên: 9

9

11 ≡ 1189(mod 100) ≡ 1140.2+9(mod 100) ≡ (1140)2.119(mod 100) ≡ 119(mod 100)

≡ 91 (mod 100)

KL: Hai chữ số tận cùng của 9

9

11 là: 91 Bài 3.3 C 7: Tìm chữ số tận cùng của 21 + 35 + 49 + + 20048009

Bài 3.3 C 8: Tìm số tận cùng của các số: 6713 và 21000

Bài 3.3 C 9: Tìm hai số tận cùng của số: 21999 + 22000 + 22001

Bài 3.3 C.10: Tìm hai số tận cùng của số:2999

Bài 3.3 C.11: Tìm 3 số tận cùng của số: 870 902011

Bài 3.3 C.12: Tìm chữ số tận cùng của số:2007200820072008

Bài 3.3 C.13: Tìm hai số tận cùng của số: 9 99

9 +9 Bài 3.3 C.14: Tìm hai số tận cùng của số:1012 + 1023+1034+1045

: Dãy số

Dạng 5.1: Khi biết 2 hoặc 3 số hạng đầu tiên

Bài 5.1.1: Cho









+

=

=

=

−

1

n n

U

U U

a) Tính U 6

b) Lập quy trình tính U n?

Bài 5.1.2: Cho







+

=

=

=

−

2 1

2008

2 , 1

n n

U

U U

a) Tính U 10

b) Lập quy trình tính U n+1?

Bài 5.1.3: Cho U 1 = 1 , U2 = 3,Un+2 = 3Un+1- 2Un

a) Lập quy trình tính U n

b) Tính U 17 , U18 , U25 , U27

Bài 5.1.4: Cho U 1 = - 3 ;U2 = 4 ; Un+2 = Un + Un+1 , n = 1 ,2 , 3

1) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính U n , n ≥ 3

2) Tính U 22 ; U23 ; U24 ; U48; U49 ; U50

3) Tính chính xác đến 5 chữ số và điền vào bảng sau:

1

2

U

U

3 2

U U

4 3

U U

5 4

U U

6 5

U U

7 6

U U

Bài 5.1.4: Cho dãy số : u 1 = 1 ; u 2 = 2 ; u n+1 = 3u n + u n-1 , n ≥2 ( n là số tự nhiên)

1) Hãy lập một quy trình tính u n+1

2) Tính các giá trị của un với n = 18 ; 19 ; 20

Bài 5.1.5: Cho dãy số : u 1 = 1 ; u 2 = 1 ; ; u n+1 = u n + u n-1 ,với mọi n ≥ 2

1) Hãy lập một quy trình bấm phím tính u n+1

2) Tính u 12 , u 48 , u 49 và u 50

Bài 5.1.6: Cho dãy số sắp theo thứ tự với u 1 = 2 ; u 2 = 20 và từ u 3 trở lên được tính theo công thức : un+1 = 2u n + u n-1 , với n ≥ 2

1) Tính giá trị của u 3 ; u4 ; u5 ; u6 ; u7 ; u8

2) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của un với u 1 = 2 ; u 2 = 20

3) Sử dụng quy trình trên , tính giá trị của u 22 ; u23 ; u 24 ; u 25

Bài 5.1.7: Cho dãy số u 1 = 144 ; u 2 = 233 ; ; u n+1 = un + un-1 với mọi n ≥ 2

1) Hãy lập quy trình bấm phím để tính u n+1 với mọi n ≥ 2

2) Tính u 12 ; u37 ; u38 ; u39

Bài 5.1.8: Cho dãy số { }u được tạo thành theo quy tắc sau : Mỗi số sau bằng tích hai số trước cộng với 1 , bắt đầu từ n u0 = u1 = 1

1) Lập một quy trình tính u n

2) Tính các giá trị của u n , n = 2 ,3 , ,9

3) Có hay không số hạng của dãy chia hết cho 4 ? Nếu có , cho ví dụ Nếu không , hãy chứng minh

Bài 5.1.9: Cho dãy số u 1 = 144 ; u 2 = 233 ; ; u n+1 = un + un-1 với mọi n ≥ 2

1/ Tính un với n = 3,4,5,6,7,8

2/ Hãy lập quy trình bấm phím để tính u n với mọi n ≥ 2

3/ Tính chính xác giá trị của un với n = 13,14,15,16,17.

Bài 5.1.10: Dãy số un được xác định như sau:

u0 = 1 ; u1 = 1; un+1 = 2un - un-1+2 , n = 1,2 ,

a/ Lập một quy trình tính un

b/ Tính các giá trị của un với n = 1, ,20

c/ Biết rằng với mỗi n ≥1 bao giờ cũng tìm được chỉ số k để uk=un.un+1

Ví dụ:u1.u2=3=u2 Hãy điền chỉ số k vào các đẳng thức sau:

u2.u3 = uk ; u3.u4 = uk ; u4.u5 = uk

d/ Với mỗi n ≥1 hãy tìm chỉ số k để uk = un.un+1

Bài 5.1.11: Cho u1 =1 ; u2 = 2 ; u3 = 3 ; un+3 = 2un+2 - 3un+1 + 2un (n≥ 2)

a/ Lập quy trình bấm phím liên tục để tính un

b/ Áp dụng quy trình trên để tính u19 ; u20 ; u66 ; u67 ; u68

c/ Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy

Bài 5.1.12: Cho u5 = 588 ; u6= 1084 ; un+1 = 3un-2un-1 Tính u1 ; u2 ; u25;u30

Dạng 5 2: Khi biết 1 số hạng đầu tiên

Bài 5.2.1: Cho dãy số: x n+1 = 4

1

n n

x x

+ + với n ≥1

a) Lập quy trình tính x n+1 với x 1 = 1 và tính x100

b) Lập quy trình tính x n+1 với x 1 = - 2 và tính x 100

Bài 5.2.2: Cho dãy số: xn+1 =

2 2

5 4 1

n n

x x

+ + với n ≥1

Lập quy trình tính x n+1 với x 1 = 0,25 và tính x 100

Bài 5.2.3: Cho dãy số tự nhiên: U 0; U1; Có:

U0 = 1 và Un+1×Un-1 = k Un (với k là số tự nhiên)

a) Lập một quy trình tính U n+1

b) Cho k = 100 ; U 1 = 200 Tính U 1;… ;U100

c) Biết U 2000 = 2000.Tính U 1 và k

Bài 5.2.4: Cho dãy số xác định bởi công thức: x n+1 =

3

n

1) Biết x 1 = 0,5 Lập quy trình bấm phím liên tục để tính x n

2) Tính x 12 ; x51

Bài 5.2.5: Cho dãy số : x n+1 = 2n 2

n

x x

+

1) Lập một quy trình bấm phím tính x n+1 với x 1 = 1 Sau đó tính x 50

2) Lập một quy trình bấm phím tính x n+1 với x 1 = - 1 Sau đó tính x 50

Bài 5.1.6: Cho dãy số u 1 = 5

12

π

; u 2 = 1 - cosu 1 ; ; u n+1 = 1- cosun

1) Hãy lập quy trình bấm phím để tính u n+1

2) Tính u 50

Bài 5.1.7: Cho dãy số: 1

6 1

n n

n

x x

x

+

+

= + với n = 1,2,3 , và x1= 5

12

Tính x50

Dạng 5.3: Không biết số hạng đầu tiên

Bài 5.3.1: Cho dãy số: U n = (

2

5

3+ )n+ (

2

5

3− )n - 2 Với n = 0, 1, 2, 3,

a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy?

b) Lập công thức truy hồi tính U n+1 theo U n và U n-1?

c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính U n+1 theo U n và U n-1?

Bài 5.3.2: Cho dãy số: U n =

7 2

) 7 5 ( ) 7 5

Với n = 0,1, 2, 3,

a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy?

b) Chứng minh rằng U n+2 = 10Un+1 - 18 Un

c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính U n+2 theo U n+1 và U n?

Bài 5.3.3: Ký hiệu S n = x n + x2

Trong đó x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc hai: x2 - 8x + 1 = 0

a) Lập công thức truy hồi tính S n+1 theo S n và S n-1?

b) Tính S 6, S7, S8

Bài 5.3.4: Cho dãy số: U n = (4+ 15)n+ −(4 15)n Với n = 0,1, 2, 3,

1/ Lập công thức truy hồi tính U n+1 theo U n và U n-1?

2/ Tính chính xác giá trị của U n với n = 10,11,12,13,14.

Bài 5.3.5: Cho dãy số: U n =(13 3) (13 3)

2 3

Với n = 0,1, 2, 3,

a) Tìm Un với n = 0,1, 2, 3,4,5,6,7,8.

b) Lập công thức truy hồi tính U n+1 theo U n và U n-1?

c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính U n+1 theo U n và U n-1?

Bài 5.3.6: Cho dãy số: U n =(6 2 7) (6 2 7)

4 7

a) Tìm Un với n = 0,1, 2, 3,4,5,6,7,8.

b) Lập công thức truy hồi tính U n+1 theo U n và U n-1?

c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính U n+1 theo U n và U n-1?

Bài 5.3.7: Cho n 3 2

n u

n

−

= (n ≥1) ; Sn= u1+ u2 + + un Tính S 20 Bài 1: Tính gần đúng giá trị của các biểu thức sau:

9 3 2 2 1

2

−

− +

1.2) B =

2

cos 55 sin 70 10cotg 50 cotg 65

3

cos 48 cotg 70

− Bài 2: Tìm tất cả các số có dạng 34x5 y chia hết cho 36

Bài 3: Kí hiệu M =

2

1 3

1 5

1 7

1

+ +

+

+

4

3 5

6 8

7 9

1

+ +

+

; N =

b

1 7

1 5

1 3

1

+ + + +

3.1) Tính M, cho kết quả dưới dạng phân số

Bài 4: Cho : x3 + y3 = 10,1003 và x6 + y6 = 200,2006

Hãy tính gần đúng giá trị biểu thức x9 + y9

Bài 7: Xét các số thập phân vô hạn tuần hoàn :

E1 = 0,29972997 với chu kì là (2997) ; E 2 = 0,029972997 với chu kì là (2997)

E3 = 0,0029972997 với chu kì là (2997)

7.1) Chứng minh rằng số T =

1

3

3

3

E là số tự nhiên.

7.2) Số các ước nguyên tố của số T là:

Bài 8: Tìm x, y nguyên dương, x ≥ 1 thỏa mãn: y = 3 9+ x−1 + 3 9− x−1

Bài 9: Cho dãy số {Un} như sau: Un = ( )n

6 2

6 2

5− với n = 1, 2, 3,

9.1) Chứng minh rằng Un+2 + Un = 10Un+1 với ∀ n = 1, 2, 3,

9.2) Lập một quy trình bấm phím liên tục để tính Un+2 với n ≥ 1

(nêu rõ dùng cho loại máy nào)

Bài 10: Cho tam giác ABC với đường cao AH Biết gĩc ABC = 450, BH = 2,34cm, CH = 3,21cm

10.1) Tính chu vi tam giác ABC (chính xác đến 5 chữ số thập phân)

10.2) Tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC

(chính xác đến 5 chữ số thập phân)

7.1 Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc 2:

Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc hai với hệ số là hằng số cĩ dạng:

ax + +bx + +cx =0 (*); với n 0;1;2; = trong đĩ a≠0; b, c là hằng số

Nghiệm tổng quát:

• Nếu c = 0 thì phương trình (*) cĩ dạng: n 2 n 1 n 2 n 1 n 1

b

a

+ + + = ⇔ + = − + = λ + cĩ nghiệm tổng quát

n

n+1 1

x = xλ

• Nếu phương trình (*) cĩ phương trình đặc trưng là a + b + c = 0λ2 λ cĩ hai nghiệm λ λ1, 2 thì việc tìm nghiệm dựa

vào các mệnh đề sau:

Mệnh đề 1: Giả sử hai nghiệm của phương trình đặc trưng là phân biệt (λ ≠ λ1 2) khi ấy phương trình (*) cĩ nghiệm tổng quát là: x = C n 1 1λn + C 2 2λn trong đĩ C1, C2 là những số bất kỳ gọi là hằng số tự do và được xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1

Ví dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình sai phân: u0 =7;u1 = −6;un 2+ =3un 1+ +28un

Giải

Phương trình đặc trưng λ2-3λ −28 = 0 có hai nghiệm λ = − λ =1 4; 2 7 Vậy nghiệm tổng quát có dạng:

u = C (-4) + C 7

Với n = 0 ta có: C + C1 2 = =7( x )0

Với n = 1 ta có: -4.C + 7C1 2 = − =6( x )1

Giải hệ 1 2

C + C 7

-4.C + 7C 6

=



1 2

=



 =

 Vậy nghiệm tổng quát phương trình có dạng: u = 5.(-4) + 2.7n n n

a

λ =λ = − thì nghiệm tổng quát của phương trình (*) có

n 1 1 2 1 1 2 1

x = Cλ + C nλ C + C n λ trong đó C1, C2 là hằng số tự do và được xác định theo điều kiện ban đầu x0,

x1

Ví dụ 2: Tìm nghiệm phương trình sai phân: u0 = −1;u1=2;un 2+ =10un 1+ −25un

Giải

Phương trình đặc trưng λ2-10λ +25 = 0 có hai nghiệm λ =λ =1 2 5 Vậy nghiệm tổng quát có dạng: u = (C + C n)5n 1 2 n

Với n = 0 ta có: C1 = −1

Với n = 1 ta có: (C + C ).5 21 2 C2 7

5

= => = Vậy nghiệm tổng quát phương trình có dạng: n n

7

u = (-1+ n)5

5

Mệnh đề 3: Nếu phương trình đặc trưng không có nghiệm thực thì nghiệm tổng quát của phương trình (*) có dạng:

n

r C cosnϕ +C sin nϕ

n

A

∆

= − = ; C1, C2 là hằng số tự do xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1.

Ví dụ 3: Tìm nghiệm của phương trình sai phân: u0 1;u1 1;un 2 un 1 un

Giải

Phương trình đặc trưng λ λ +2- 1 = 0 có hai nghiệm phức 1,2 1 i 3

2

±

Ta có: A 1;B 3;r 1;

π

Vậy nghiệm tổng quát có dạng: u = C cosn 1 n C sin2 n

Với u0 1;u1 1

2

= = thì C1 = 1 và C cos1 C sin2 1

π+ π=

=> C2 = 0

Vậy nghiệm tổng quát có dạng: u = cosn n

3

π

Bài tập

Tìm nghiệm un của các phương trình sau:

a u0 =8;u1 =3;un 2+ =12un−un 1+

b u0 =2;u1 = −8;un 2+ +8un 1+ −9un =0

c u0 =1;u 16;u1 = n 2+ −8un 1+ +16un =0

7.2 Phương trình sai phân phi tuyến bậc 2:

7.2.1 Mở đầu:

Dạng tổng quát: F(xn+2, xn+1, xn) = 0; n = 0; 1; 2; …