Chứng minh rằng: BC⊥ SOK b Tính góc giữa SK và mpABCD.. c Tính khoảng cách giữa AD và SB.. Gọi I và J lần lượt là trung điểm BC và AD.. a Chứng minh rằng: SO⊥ ABCD.. Xác định góc giữa SI
Trang 1Đề số 7
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I PHẦN BẮT BUỘC:
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
xlim x2 5 x
→+∞ + − b)
x
x
x2
3
3 lim
9
→−
+
−
Câu 2 (1 điểm): Cho hàm số
f x
2
2
( )
1 2
=
Xét tính liên tục của hàm số tại x 1
2
= −
Câu 3 (1 điểm): Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm trên [0; 1]: x3+5x− =3 0
Câu 4 (1,5 điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y= +(x 1)(2x−3) b) y 1 cos2 x
2
Câu 5 (2,5 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, ·BAD=600, đường
cao SO = a
a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC Chứng minh rằng: BC⊥ (SOK)
b) Tính góc giữa SK và mp(ABCD)
c) Tính khoảng cách giữa AD và SB
II PHẦN TỰ CHỌN
1 Theo chương trình chuẩn
Câu 6a (1,5 điểm): Cho hàm số: y=2x3−7x+1 (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k = –1.
Câu 7a (1,5 điểm): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ⊥(ABC), SA= a M
là một điểm trên cạnh AB, · ACM =ϕ, hạ SH ⊥CM
a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên đoạn AB
b) Hạ AK ⊥ SH Tính SK và AH theo a và ϕ.
2 Theo chương trình nâng cao
Câu 6b (1,5 điểm): Cho các đồ thị (P): y 1 x x2
2
a) Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại tiếp điểm
Câu 7b (1,5 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; SA = SB = SC
= SD = 5
2
a Gọi I và J lần lượt là trung điểm BC và AD.
a) Chứng minh rằng: SO⊥ (ABCD)
b) Chứng minh rằng: (SIJ) ⊥ (ABCD) Xác định góc giữa (SIJ) và (SBC)
c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD :
Trang 2Đề số 7
ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Câu 1:
x
2
2
2
5
b)
x
x
x2
9
→− + = →− = −
−
−
Câu 2:
f x
2
2
( )
1 2
=
=
khi x x
1 2
+
Tại x 1
2
= − ta có: f 1 A
2
− =
2
1
1
→−
= +
f x ( ) liên tục tại x 1
2
x
x
1 2
Câu 3: Xét hàm số f x( )=x3+5x−3 ⇒ f x( ) liên tục trên R
f(0)= −3, (1) 3f = ⇒ f(0) (1) 0f < ⇒ PT đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1)
Câu 4:
a) y= +(x 1)(2x+ =3) 2x2− − ⇒ =x 3 y′ 4x−1
b)
2
2
4 1 cos 4 1 cos
−
Câu 5:
a) • AB = AD = a, ·BAD=600 ⇒∆BAD đều ⇒BD a=
• BC ⊥ OK, BC ⊥ SO ⇒ BC ⊥ (SOK)
b) Tính góc của SK và mp(ABCD)
• SO ⊥ (ABCD) ⇒· (SK ABCD,( ))=· SKO
•∆BOC có OB a,OC a 3
a OK
OK2 OB2 OC2
4
OK
4 3 tan
3
c) Tính khoảng cách giữa AD và SB
• AD // BC ⇒ AD // (SBC) ⇒ d AD SB( , )=d A SBC( ,( ))
• Vẽ OF ⊥ SK ⇒ OF ⊥ (SBC)
• Vẽ AH // OF, H ∈ CF ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ d AD SB( , )=d A SBC( ,( ))=AH
•∆CAH có OF là đường trung bình nên AH = 2.OF
•∆SOK có OK = a 3
4 , OS = a ⇒
a OF
OF2 OS2 OK2
19
19
S
C D
F H
0
60
Trang 3Câu 6a: y=2x3−7x+1 ⇒ y' 6= x2−7
a) Với x0= ⇒2 y0=3, (2) 17y′ = ⇒PTTT y: =17x−31
b) Gọi x y( ; ) là toạ độ của tiếp điểm Ta có: 0 0 y x x2 x x0
0
1
• Với x0 = − ⇒1 y0 = ⇒6 PTTT y: = − +x 7
• Với x0 = ⇒1 y0 = − ⇒4 PTTT y: = − −x 5
Câu 7a:
a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên AB
• SA ⊥ (ABC) ⇒ AH là hình chiều của SH trên (ABC)
Mà CH ⊥ SH nên CH ⊥ AH
• AC cố định, · AHC=900 ⇒ H nằm trên đường tròn đường kính
AC nằm trong mp(ABC)
Mặt khác: + Khi M → A thì H ≡ A
+ Khi M → B thì H ≡ E (E là trung điểm của BC)
Vậy quĩ tích các điểm H là cung ¼ AHE của đường tròn đường kính
AC nằm trong mp(ABC)
b) Tính SK và AH theo a vàϕ
•∆AHC vuông tại H nên AH = AC.sin· ACM a= sinϕ
• SH2 =SA2+AH2 =a2+a2sin2ϕ⇒SH a= 1 sin+ 2ϕ
• SAH∆ vuông tại A có SA SK SH SK SA SK a
SH
2 2
2
1 sin ϕ
+
Câu 6b: (P): y f x( ) 1 x x2
2
a) f x( ) 1 x x2 f x( ) 1 x
• f x′( )=g x′( )⇔ =x 0
• f(0)=g(0) 1= ⇒ đồ thị hai hàm số có ít nhất một tiếp tuyến chung tại điểm M(0;1) hay tiếp xúc nhau tại M(0;1)
b) Phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại tiếp điểm M(0;1) : y= − +x 1
Câu 7b:
a) Vì SA = SC nên SO ⊥ AC, SB = SD nên SO ⊥ BD
⇒ SO ⊥ (ABCD)
b) • I, J, O thẳng hàng ⇒ SO ⊂ (ABCD)
SO ⊥ (ABCD) ⇒ (SIJ) ⊥ (ABCD)
• BC ⊥ IJ, BC ⊥ SI ⇒ BC ⊥ (SIJ) ⇒ (SBC) ⊥ (SIJ)
⇒· ((SBC SIJ),( ))=900 c) Vẽ OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ (SBC) ⇒ d O SBC( ,( ))=OH
∆SOB có SB a 5,OB a 2
4
∆SOI có
OH2 SO2 OI2
1 = 1 + 1
⇒ OH2 3a2
16
4
=
=================
S
A
B
C
K
ϕ
S
C D
J
H
a
a 5
2