Câu 3: Cho tam giác ABC, đường cao CH H thuộc AB.. Gọi CM, CN M, N đều thuộc AB lần lượt là phân giác các góc ACH, góc BCH.. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN trùng tâm đường tròn n
Trang 1KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1: Giải phương trình sau: 22
x 2 x 4x
+ = −
+
Câu 2:
−
+ + − + Xác định x ∈ Z để C 2A B
3
+
giá trị nguyên
2 Gọi a và b là hai nghiệm của phương trình bậc hai x² – x – 1 = 0
Chứng minh rằng P(n) = an + bn +an+2 + bn+2 là những số nguyên và chia hết cho 5 với mọi số nguyên dương n
Câu 3: Cho tam giác ABC, đường cao CH (H thuộc AB) Gọi CM, CN (M, N đều thuộc AB) lần lượt là phân giác các góc ACH, góc BCH Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN trùng tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng ABC
AN.BM S
2
Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE; trung tuyến
AM Qua A kẻ các đường thẳng song song với CE và BD cắt BD và CE thứ tự tại P và Q Gọi K là giao điểm của AM và PQ Chứng minh
APDK tứ giác nội tiếp
Câu 5: Cho xy > 0 và x³ + y³ + 3(x² + y²) + 4(x + y) + 4 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q 1 1
x y
= +
Trang 2KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1 Cho P a a22 4a a a22 4a
a a 4a a a 4a
1 Tìm điều kiện của a để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P
2 Tìm a để P < 5
Câu 2 Cho đa thức f(n) = n5 – 5n³ + 4n với n nguyên dương Chứng minh rằng f(n) chia hết cho 120 với mọi giá trị nguyên dương của n Câu 3 Giải phương trình: 7 x − + x 1 x + = 2 − 6x 13 +
Câu 4 Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng:
5b a 5c b 5a c
ab 3b bc 3c ca 3a
Câu 5 Cho hình thoi ABCD có Â = 120° Tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng 15° và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N Chứng
Câu 6 Giả sử tứ giác ABCD có đường tròn đường kính AB tiếp xúc vói đường thẳng CD Chứng minh rằng nếu AD//CB thì đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB