Các thuật toán cơ bản trong thông tin lượng tử

Nó được xem là một lĩnh vực mới có khả năng tạo ra sự đột phá mạnh mẽ trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật có liên quan đến sự tính toán, thông tin liên lạc, phép đo chính xác và khoa học

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô ở phòng Sau Đại Học, trong Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ

đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quí báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua

Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là : Nguyễn Minh Vương, học viên cao học khóa 2008 – 2010,

chuyên nghành Vật lý lý thuyết và vật lý toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan đề tài: “Các thuật toán cơ bản trong thông tin lượng tử

”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi Các luận cứ, kết quả thu được

trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác Nếu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học

Hà Nội, tháng 10 năm 2010

Tác giả

Nguyễn Minh Vương

MỤC LỤC Trang

Lời cảm ơn 1

Lời cam đoan 2

Mục lục 3

Mở đầu 5

Nội dung 7

Chương 1: Giới thiệu và các khái niệm cơ bản về thông tin lượng tử 7

1.1 Giới thiệu 7

1.2 Các khái niệm cơ bản 13

1.2.1 Bit lượng tử 13

1.2.2 Rối lượng tử 19

1.2.3 Trạng thái kết hợp 21

1.2.4 Qubit dưới dạng chồng chập của hai trạng thái kết hợp 26

Chương 2 Các thuật toán cơ bản trong thông tin lượng tử 31

2.1 Giới thiệu 31

2.2 Tiền đề 34

2.2.1 Thuật toán Deutsch 34

2.2.2 Thuật toán Deutsch-Josza 36

2.2.3 Thuật toán Simon 39

2.3 Thuật toán phân tích thành thừa số Shor 41

2.3.1 Rút gọn từ phân tích thành việc tính toán thời gian 41

2.3.2 Thực thi QFT 43

2.3.3 Thuật toán Shor cho việc tính toán thời gian 44

2.4 Thuật toán Grover 46

2.5 Những thuật toán khác 48

2.5.1 Vấn đề nhóm phụ ẩn 48

2.5.2 Thuật toán nghiên cứu 50

2.5.3 Những thuật toán khác 51

2.6 Những phát triển gần đây 52

2.6.1 Bước lượng tử 52

2.6.2 Thuật toán lượng tử đoạn nhiệt 54

Chương 3 Một số vấn đề và các giải pháp về thuật toán trong thông tin lượng tử 57

3.1 Vấn đề 1 57

3.2 Vấn đề 2 58

3.3 Vấn đề 3 60

3.4 Vấn đề 4 62

3.5 Vấn đề 5 64

3.6 Vấn đề 6 66

Kết luận 69

Tài liệu tham khảo 70

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong hơn hai thập kỉ qua, khoa học thông tin lượng tử đã trở thành một trong những lĩnh vực thu hút được nhiều sự quan tâm nhất của các nhà khoa học Nó được xem là một lĩnh vực mới có khả năng tạo ra sự đột phá mạnh

mẽ trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật có liên quan đến sự tính toán, thông tin liên lạc, phép đo chính xác và khoa học lượng tử cơ bản

Lý thuyết thông tin cổ điển do Claude Shanon phát minh ra cách đây hơn 50 năm đã phát triển và trở thành một trong những nhánh sai quả và đẹp nhất của ngành toán học Hiện nay, nó thật sự là một lý thuyết không thể thiếu trong lĩnh vực công nghệ thông tin, bất cứ ở đâu mà thông tin được lưu trữ và

xử lý

Mặc dù đã có những thành công không thể nào phủ nhận được song thông tin cổ điển vẫn còn tồn tại rất nhiều hạn chế do nó chỉ bám rễ trong phạm vi của vật lý cổ điển Chính vì vậy, việc nghiên cứu và áp dụng lý thuyết lượng tử vào việc xử lý thông tin luôn thôi thúc các nhà khoa học,và gần đây, nó đã mang lại nhiều thành công đáng kinh ngạc

Vì thế, việc tìm hiểu và nghiên cứu về khoa học thông tin lượng tử là một việc làm rất hợp thời đại Đó cũng là lý do để tôi chọn đề tài “Các thuật toán cơ bản trong thông tin lượng tử” Nó sẽ giúp bản thân tôi có cái nhìn sâu sắc hơn về thông tin lượng tử

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về các thuật toán cơ bản trong thông tin lượng tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Các khái niệm cơ bản, các thuật toán thông dụng dùng trong thông tin lượng tử Các vấn đề và giải pháp

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các thuật toán trong thông tin lượng tử

5 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp nghiên cứu của Vật lý lý thuyết và vật lý toán

6 Cấu trúc luận văn

Chương 1 Giới thiệu và các khái niệm cơ bản về thông tin lượng tử Chương 2 Các thuật toán cơ bản trong thông tin lượng tử

Chương 3 Một số vấn đề và các giải pháp về thuật toán trong thông tin lượng tử

NỘI DUNG CHƯƠNG 1

GIỚI THIỆU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THÔNG TIN

LƯỢNG TỬ 1.1 Giới thiệu

Trong hơn hai thập kỉ qua, khoa học thông tin lượng tử đã trở thành một trong những lĩnh vực thu hút được nhiều sự quan tâm nhất của các nhà khoa học Nó được xem là một lĩnh vực mới có khả năng tạo ra sự đột phá mạnh mẽ trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật có liên quan đến sự tính toán, thông tin liên lạc, phép đo chính xác và khoa học lượng tử cơ bản Lĩnh vực này xuất hiện kể từ lúc một số nhà khoa học tiên phong như Charles Bennett, Paul Benioff, Richard Feynman và những người khác bắt đầu nghĩ đến việc

áp dụng trực tiếp cơ học lượng tử trong các tính toán và xử lý thông tin

Lý thuyết thông tin cổ điển do Claude Shanon phát minh ra cách đây hơn 50 năm đã phát triển và trở thành một trong những nhánh sai quả và đẹp nhất của ngành toán học Hiện nay, nó thật sự là một lý thuyết không thể thiếu trong lĩnh vực công nghệ thông tin, bất cứ ở đâu mà thông tin được lưu trữ và

xử lý Mặc dù đã có những thành công không thể nào phủ nhận được song thông tin cổ điển vẫn còn tồn tại rất nhiều hạn chế do nó chỉ bám rễ trong phạm vi của vật lý cổ điển Chính vì vậy, việc nghiên cứu và áp dụng lý thuyết lượng tử vào việc xử lý thông tin luôn thôi thúc các nhà khoa học,và gần đây, nó đã mang lại nhiều thành công đáng kinh ngạc Kể từ năm 1990, Khi Max Planck đề xuất giả thuyết về tính gián đoạn của bức xạ điện từ phát

ra từ các vật - giả thuyết lượng tử - để giải thích những kết quả thực nghiệm

về bức xạ nhiệt của vật đen thì vật lý học lượng tử đã ra đời Sự xuất hiện của vật lý lượng tử và thuyết tương đối lả cuộc cách mạng của ngành vật lý học vào cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20 và là cơ sở khoa học của nhiều ngành

công nghệ cao như công nghệ cao như công nghệ điện tử và vi điện tử, công nghệ viễn thông, công nghệ quang tử, công nghệ tự động hoá, công nghệ thông tin… Có thể nói rằng, cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết thành công nhất của thế kỷ 20 Theo cơ học lượng tử, những hệ vi mô có các tính chất khác hẳn so với các hệ vĩ mô Ví dụ, các đối tượng lượng tử có thể ở nhiều trạng thái cùng một lúc Hai đối tượng tách biệt nhau hoàn toàn vẫn có thể bị rối với nhau, có nghĩa là chúng phản ứng đồng thời với các thí nghiệm riêng biệt dù chúng có ở xa nhau thế nào đi nữa Ngoài ra, cơ học lượng tử cũng đã được xác minh bằng thực nghiệm: những tiên đoán của nó chưa bao giờ sai dù nó có kỳ lạ như thế nào đi chăng nữa Thật ra, trong thời kỳ đầu đã

có rất nhiều nhà tiên phong của cơ học lượng tử cho rằng nó là một lý thuyết không đầy đủ Đại diện cho số đó chính là Albert Einstein, người đã không đồng ý về tính xác suất trong cơ học lượng với câu nói: “Chúa không chơi xúc xắc” Đặc biệt, năm 1935 Einstein, Podolsky và Rosen đã nêu ra nghịch lý EPR [22], cho rằng cơ học lượng tử là không đầy đủ Phải đợi tới 30 năm sau, năm 1964, Bell mới đưa ra được một bất đẳng thức (sau này gọi là bất đẳng thức Bell) cho phép kiểm tra bằng thực nghiệm nghịch lý này [13]

Những nghiên cứu mới về cơ học lượng tử trong thời gian gần đây đã

và đang hướng đến một lĩnh vực mới Khoa học thông tin lượng tử Việc áp dụng vật lý lượng tử và công nghệ thông tin có thể làm thay đổi hẳn cách chúng ta giao tiếp và xử lý thông tin Điều mấu chốt khi tìm hiểu lĩnh vực này

là sự tách biệt rõ ràng giữa dấu hiệu hàng ngày của thông tin cổ điển và bản đối ứng lượng tử kém trực giác của nó Thông tin cổ điển có thể bị đọc và sao chép lại y nguyên mà không hề để lại một dấu vết nào về sự đọc trộm và sao chép đó Trong khi đó, thông tin lượng tử không thể nào sao chép được nguyên vẹn và bất cứ một sự đọc trộm nào đều có thể bị phát hiện Đây là một đặc điểm rất quan trọng của cơ học lượng tử mà có thể được tận dụng để trao

đổi thông tin một cách hoàn toàn tuyệt mật Các trạng thái rối lượng tử còn có thể tạo ra một mức độ song song trong tính toán cao hơn hẳn một máy tính có kích thước bằng cả vũ trụ Đó là các tính toán được thực hiện một cách hoàn toàn mới, gọi là tính toán lượng tử

Trong lý thuyết thông tin cổ điển, đại lượng cơ bản của thông tin là bit, còn trong thông tin lượng tử thì đại lượng cơ bản của nó là bit lượng tử, còn được gọi qubit, thuật ngữ này đã được Ben Schuhmacher đưa ra năm 1995 Nói chung, thông tin lượng tử được xem như là sự tổng quát hoá hay sự mở rộng của thông tin cổ điển Bất kỳ một hệ lượng tử nào cũng có thể được xem như là một qubit nếu nó được xác định bởi hai trạng thái độc lập tuyến tính với nhau Các photon phân cực, các hạt có spin 1/2, các nguyên tử hai mức, các cấu trúc chấm lượng tử kép,…đều có thể sử dụng như các qubit Ngoài ra còn có thể sử dụng cả các đặc trưng ngoại như hai hướng truyền khác nhau của một hạt như là các qubit

Năm 1985 David Deutsch đã giới thiệu về máy tính lượng tử và cho thấy rằng lý thuyết lượng tử có thể giúp các máy tính thực hiện công việc nhanh hơn rất nhiều Trong khi các máy tính số ngày nay xử lý thông tin cổ điển được mã hoá theo các bit thì máy tính lượng tử lại xử lý thông tin lượng

tử theo các qubit Máy tính lượng tử có thể được sử dụng để thực thi những nhiệm vụ rất khó thực hiện đối với máy tính số thông thường Ví dụ, các siêu máy tính số ngày nay phải mất một thời gian dài hơn cả tuổi thọ của vũ trụ để

có thể tìm ra được các thừa số nguyên tố của một số nguyên lớn có khoảng vài trăm chữ số, trong khí đó các máy tính lượng tử có thể thực hiện nhiệm vụ này trong khoảng chưa đầy một giây

Những phát triển gần đây của lý thuyết thông tin lượng tử đã đem lại rất nhiều sự tiến bộ trong sự hiểu biết cơ học lượng tử và khả năng ứng dụng rộng rãi vào công nghệ tương lai Những hứa hẹn về các ngành công nghệ

mới như: Tính toán lượng tử [27,41,31], Viễn chuyển lượng tử [13], Mật mã lượng tử [40], Hội thoại lượng tử [37], Kiểm tra lượng tử [38], Viễn tác các toán tử [39],….đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học Những nhà phát minh ra cơ học lượng tử chắc không thể ngờ rằng các trạng thái rối lượng tử lại có thể có những công dụng to lớn đến như thế Vậy mục đích quan trọng trong lý thuyết thông tin lượng tử là làm thế nào để tạo ra, định lượng và sử dụng rối lượng tử, đó không chỉ là bản chất của cơ học lượng tử mà còn là nguồn tài nguyên không thể thay thế được cho việc xử lý thông tin lượng tử

Những công nghệ thông tin lượng tử được mong đợi là có thể khắc phục được những hạn chế còn tồn tại của công nghệ thông tin cổ điển Những

ý tưởng tính toán lượng tử xuất phát từ việc cho rằng các máy tính thực chất

là các hệ vật lý và các quá trình tính toán là các quá trình vật lý Việc tăng gấp đôi lượng tranzito trên một mạch tích hợp cứ sau mỗi 18 tháng trong suốt 30 năm qua đã khẳng định dự đoán của Moore [44] Đến một thời điểm nào đó thì việc áp dụng các quy luật cơ học lượng tử để xử lý thông tin trong tính toán là không thể tránh khỏi Năm 1980, lần đầu tiên Feynman nhận thấy rằng các hiệu ứng cơ học lượng tử bất kỳ không thể nào mô phỏng được một cách hiệu quả bởi một máy tính cổ điển [27] Năm 1990, người ta thấy rằng sự song song lượng tử dựa trên đặc trưng của quá trình tiến hoá Unita (quá trình U) có thể làm tăng tốc độ tính toán một cách đáng kể trong các bài toán như phân tích một số nguyên lớn ra thừa số nguyên tố [41] hay dò tìm dữ liệu [31],… Các công nghệ thông tin liên lạc và mật mã cũng đã được khám phá dựa trên cơ học lượng tử Sự phân bố khoá lượng tử cho phép sự liên lạc tuyệt mật mà điều này không bao giờ có thể thực hiện được theo các giao thức cổ điển như hiện nay Tính chất không định xứ của cơ học lượng tử dẫn đến một hiện tượng vô cùng kỳ lạ đó là “Viễn thông lượng tử” Bằng viễn chuyển

lượng tử, một trạng thái lượng tử chưa biết bất kỳ bị phá huỷ ở một nơi và một bản sao hoàn hảo của nó lại xuất hiện một nơi rất xa khác Dù đã có rất nhiều thành công đáng kinh ngạc về lĩnh vực này trong thời gian qua nhưng vẫn còn quá xa trước khi hiện thực hoá việc xử lý thông tin lượng tử trong các ứng dụng thực tiễn Đối với tính toán lượng tử, các nhà nghiên cứu phải tìm một hệ qubit vật lý có thể đo được, một tập hợp các hoạt động cổng và các phương pháp xuất/ nhập qubit Hơn thế nữa, các lỗi không thể tránh khỏi xảy

ra sự phá vỡ kết hợp dòi hỏi các phương pháp sửa lỗi [12] là rất cần thiết Đến nay, cũng đã có nhiều nghiên cứu khác nhau về sự thực thi của một máy tính lượng tử dựa vào cộng hưởng từ nhật nhân (NMR), bẫy ion, hệ các trạng thái rắn và quang Những minh hoạ gần đây nhất về tính toán lượng tử chỉ mới giới hạn 7 qubit, có nghĩa là chúng vẫn đang ở một mức độ cơ bản Năm

1998, Chuang đã báo cáo về sự hiện thực hoá 2 qubit của một thuật toán lượng tử cơ bản (thuật toán Deustch - Jozsa), ông đã thu được bằng cách sử dụng công nghệ khối NMR Trong cùng năm đó và năm tiếp theo, cũng đã có một số minh hoạ thực nghiệm tương tự, ví dụ như Jones và Mosca đã tạo được một thiết bị 2 qubit dựa trên chất lỏng, trong đó 2 qubit được tích trữ trong các spin hạt nhân của các nguyên tử Hydro; Vandersypen cùng các cộng

sự đã phát triển một số thiết bị 7 qubit bằng cách sử dụng NMR để minh hoạ thuật toán thừa số hoá Shor trong năm 2000 Năm 2003, đã có một số nhà nghiên cứu lạc quan như Stonechm tin rằng ông có thể tạo ra một chiếc máy tính lượng tử dựa trên nghiên cứu vật liệu silic đến năm 2010 Trong hơn 20 năm qua, nhiều thí nghiệm quang học cũng đã chứng tỏ các hiệu ứng không định xứ trong phòng thí nghiệm và gần đây là trong sợi quang dài 10km Gần đây nhất, Aspelmayer cùng các cộng sự đã chứng minh rằng rối của sự phân cực photon có thể thu được trong không gian tự do trên khoảng 600m Mật

mã lượng tử được xem như là một trong những ứng dụng thông tin lượng tử

đầy hứa hẹn cho sự thương mại hoá thành công trong tương lai không xa Tuy vẫn còn nhiều hạn chế của các thiết bị vật lý và bao gồm cả các nguồn nhiễu nữa nhưng các tiến bộ về mặt thực nghiệm đáng chú ý đã được tạo ra kể từ khi mật mã lưộng tử ban đầu hơn 32 cm được thực hiện Trong năm 2003, Shields và các cộng sự đã có thể minh họa mật mã lượng tử trên các sợi quang học dài hơn 100km đủ để có thể bao phủ cả một vùng dân cư Theo các phương tiện thông tin đại chúng thì chúng ta có thể tìm thấy được các sản phẩm mật mã lượng tử thương mại trên thị trường trong thời gian không xa nữa

Xử lý thông tin lượng tử là một lĩnh vực mới, rộng lớn và có tính bao quát Trong luận văn này chúng tôi sẽ nghiên cứu một khía cạnh của nó là

“Các thuật toán cơ bản trong thông tin lương tử” Như chúng ta đã biết, thông tin lượng tử được mã hoá trong các photon đơn có thể truyền đi rất nhanh do các photon chuyển động với tốc độ rất cao và có khả năng chống lại sự phá vỡ kết hợp Tuy nhiên, các cổng hai photon hầu như rất khó thực thi được do sự tương tác vô cùng yếu giữa các photon riêng biệt Thêm vào đó, các nguồn photon đơn hiện nay vẫn chưa có thể tạo ra được Cách đơn giản nhất để khắc phục hạn chế này là mã hoá thông tin lượng tử theo các trạng thái của trường

đa photon bởi vì các trường như thế này tương tác với nhau mạnh hơn rất nhiều Do đầu ra của các laser ổn định được mô tả rất tốt bởi các trạng thái kết hợp nên việc mã hoá thông tin theo sự chồng chập của các trạng thái kết hợp

là rất thuận tiện Thay vì các qubit người ta đưa vào khái niệm qubit logic được định nghĩa như sau

    là hai trạng thái kết hợp cùng biên

độ phức  nhưng có pha ngược nhau và x, y là các hệ số chuẩn hoá Khi

thông tin lượng tử được mã hoá theo các trạng thái biến liên tục được mô tả bởi một không gian Hilbert có số chiều xác định thì một qubit logic (1.1) là một vector trong khôn gigan Hilbert hai chiều nhận vector trạng thái độc lập tuyến tính {  ,  }làm hệ vector cơ sở Chú ý rằng, mặc dù  và

 không trực giao nhau nhưng tích phân xen phủ của chúng là exp( 2 2)lại bị triệt tiêu nhanh khi tăng 

Đã có rất nhều giao thức dựa trên trạng thái kết hợp về chiết rối lượng

tử tạo rối đối xứng từ xa, tính toán lượng tử, sửa lỗi lượng tử, kiểm tra tính lượng xứ lượng tử,…Enk và Hirota là những người đầu tiên đề xuất ra sơ đồ

để viễn chuyển một qubit logic có dạng (1.1) với các hệ số x,y bất kỳ chưa biết bằng cách sử dụng các thiết bị quang học tuyến tính như các bộ tách chùm, các bộ dịch pha, các máy đếm photon chính xác Gần đây cũng đã có các sơ đồ khác được thiết kế có sử dụng các thiết bị quang phi tuyến [39,40] Những sơ đồ này không cần các máy đếm photon chính xác nhưng lại cần một yếu tố khác như bộ điều chế pha chéo, là một môi trường phi tuyến Kerr [41] Khi hai mode truyền qua môi trường này sẽ có một sự dịch pha giữa chúng, tuy nhiên số photon của chúng thì lại không thay đổi

Các trạng thái kết hợp mai mode có dạng tổng quát là

hiện thực hoá trong một hệ vật lý đơn giản ví dụ như một tín hiệu điện “tắt’ hoặc “mở” Quá trình sử lý thông tin cổ điển liên quan đến việc làm thế nào

để lập mã, giải mã, lưu trữ, truyền và bảo mật thông tin cổ điển mà trong đó

nó được mô tả bởi các bit theo những cách có hiệu quả Shannon, trong công trình đầu tiên của mình, đã giải quyết vấn đề làm sao để giải nén và truyền một cách đáng tin cậy thông tin cổ điển [46] Về nguyên tắc, thông tin mã hoá bởi các bit có thể đọc trộm mà không ai biết hoặc sao chép ra bao nhiêu bản cũng được mà không hề để lại dấu vết gì trên nguyên bản

Cơ học lượng tử sử dụng hai công cụ chủ yếu để mô tả tự nhiên: các đại lượng vật lý quan sát được và các véctơ trạng thái Mỗi đại lượng vật lý ứng với một toán tử Hermitic Giá trị đo được của đại lượng vật lý tuỳ thuộc vào việc nó được đo trong véctơ trạng thái nào Khác với vật lý cổ điển, vật lý lượng tử cho phép một sự chồng chập tuyến tính ( hay tổ hợp tuyến tính) của nhiều trạng thái khả dĩ khác nhau Chúng ta hãy xét một hạt lượng tử A và giả

sử rằng x1 biểu diễn trạng thái của hạt ở xung quanh vị trí x1, x2 biểu diễn trạng thái của hạt ở xung quanh vị trí x2 Ví dụ, chúng ta có thể giả sử hai giếng thế hệ riêng biệt như hình được vẽ ở hình 1.1 Trong đó, các trạng thái

1

x và x2 có thể được xem là các bó sóng Gauss

Trong khi một hạt cổ điển chỉ có thể ở trong giếng thế này hoặc giếng thế kia thì một hạt lượng tử có thể ở trong trạng thái chồng chập của hai trạng thái cho đến lúc một phép đo được thực hiện để tìm ra vị trí của nó Một trong các trạng thái chồng chập tuyến tính nơi mà hạt A có thể ở đó là

hạt A sẽ được tìm thấy xung quanh x1 hoặc x2 với xác suất bằn nhau và bằng 1/2

Hình 1.1: Sơ đồ về sự chồng chập tuyến tính của hai bó sóng Gauss trong một giếng thế kép Một hạt cổ điển phải ở một trong hai giếng thế vào một thời điểm nào đó nhưng một hạt lượng tử thì có thể ở trong một sự chồng chập của hai trạng thái khác nhau giống như (c)

Một trong những điểm đáng chú ý của trạng thái chồng chập (1.2) là sự giao thoa giữa các trạng thái x và 1 x2 có thể ảnh hưởng đến sự phân bố xác suất của phép đo toạ độ lên trạng thái (1.2) Mức độ giao thoa thay đổi tuỳ theo giá trị của  Biểu thức (1.2) không có nghĩa rằng hạt A hoặc là ở xung quanh x1 hoặc là ở xung quanh x2 và xác suất của chúng là bằng nhau như một trường hợp của hỗn hợp thống kê: Một trạng thái tương ứng với một

trạng thái trộn của x và 1 x2 với các xác suất bằng nhau được mô tả bởi một toán tử mật độ 1/2 x1 x1  x2 x2 , hạt A cũng không ở một nơi nào

đó giữa x1 và x2 Cũng thật nguy hiểm khi nói rằng hạt A đồng thời ở cả xung quanh x1 và x2 tại cùng một thời điểm Nó thật rộng bởi vì chẳng ai có thể xác minh được nó nếu không tiến hành một phép đo trực tiếp Đã có một số ví dụ nghịch lý để minh hoạ tính chất kỳ lạ này Nghịch lý con mèo của Schrödinger cho thấy sự mô tả của cơ học lượng tử về tự nhiên kỳ lạ như thế nào khi nó được áp dụng vào các hệ vât lý vĩ mô Thí nghiệm hai khe hẹp giải thích hiệu ứng giao thoa của một hạt lượng tử đơn trong một trạng thái chồng chập Nghịch lý của Hardy minh hoạ cách mà một sự chồng chập lượng tử tạo

ra một kết quả vô nghĩa khi kể đến sự tương tác giữa vật chất và phản vật chất Những ví dụ này đều cho thấy làm thế nào mà một sự chồng chập lượng

tử của hai trạng thái A và B có thể dẫn đến một kết quả thực nghiệm thứ

ba do sự giao thoa lượng tử mà không bao giowd thu được từ A , B giống như từ hỗn hợp cổ điển của A và B Những hiệu ứng này (ví dụ như vân giao thoa trong thí nghiệm hai khe hẹp) biến mất khi bất kỳ một phép đo nào được thực hiện để theo dõi tiến trình của một hiện tượng lượng tử Vẫn còn rất nhiều tranh luận về nguồn gốc của sự kỳ lạ này bao gồm cả những nỗ lực thực nghiệm để chấm dứt những tranh luận này

Nguyên tắc chủ yếu của vật lý lượng tử gợi mở việc đưa ra một khái niệm mới về đơn vị của thông tin lượng tử, gọi là bit lượng tử (tức “quantum bit” hay viết tắt là qubit) Một qubit được định nghĩa như là một chồng chập của hai trạng thái giá trị, một cho giá trị 0 và một cho giá trị 1 Nó không phải

là một trường hợp của một hỗn hợp thống kê của 0 và 1, cũng không phải là một giá trị trung gian của cả hai trạng thái này Qubit được định nghĩa trong một không gian Hilbert hai chiều H có véctơ cơ sở trực chuẩn:

0 , 1 ,  i j  ij (1.3) Một trạng thái qubit được biểu diễn như sau

a 0 b 1

là sự chồng chập tuyến tính của hai trạng thái cơ bản với các số phức a và b bất kỳ

Hình 1.2: Sơ đồ về các bit và bit lượng tử Trong khi một bit chỉ chiếm

một trong hai cực tương ứng với 0 hoặc 1 thì một bit lượng tử lại có thể ở bất

kỳ điểm nào trên bề mặt quả cầu Bloch vì nó có thể ở trong trạng thái chồng chập khác nhau Nói chung, một bit lượng tử có thể được đặt bất cứ một điểm nào ở bên trong quả cầu nếu như nó ở trong một trạng thái hỗn hợp

Thoả mãn điều kiện chuẩn hoá, a2 b21, trong đóa2( b )2 tươgn ứng với xác suất mà qubit đo được có giá trị “0” (“1”) Chú ý rằng các trạng thái cơ sở

có thể được chọn một cách tuỳ ý Ví dụ như  0  1 / 2 và 0  1 / 2 cũng

có thể là một hệ cơ sở trực chuẩn khác Dạng tổng quát của một ma trận mật độ của một qubit là

1(I r )2

     

(1.5) trong đó r

là vectơ thực,      ( x, y, z)

là các toán tử Pauli là ma trận đơn vị Điều kiện dương của toán tử mật độ qubit  dẫn đến bất đẳng thức r 10 

Một qubit có thể được biểu diễn bởi r

trong một quả cầu tưởng tượng với bán kính đơn vị (xem hình 1.2), gọi là quả cầu Bloch Nếu một qubit ở trong một trạng thái sạch thì điểm tương ứng của nó luôn luôn nằm trên mặt cầu

Người ta có thể nghĩ rằng người này hay người kia nhận được nhiều thông tin từ một bit lượng tử hơn là một bit bởi vì một qubit có thể tồn tại như

là một số vô hạn trong các trạng thái chồng chập khác nhau Nhưng thật ra, không có nhiều thông tin hơn có thể thu được từ một qubit bởi vì kết quả đọc

ra của một qubit là một quá trình đo cơ học lượng tử Nói chung, cơ học lượng tử không cho phép người ta đo một trạng thái lượng tử mà không phá huỷ nó Vì vậy, nói chung, một qubit không thể bị đọc mà không biến mất trong khi một bit thì lại có thể Một quá trình đọc ra của một qubit  sẽ làm cho trạng thái qubit xẹp xuống là 0 hoặc 1 tuỳ thuộc vào kết quả đo Cùng

lý do đó mà một qubit bất kỳ không thể được nhân bản một cách hoàn hảo, đó

là nội dung của định lý “không nhân bản” được tìm ra năm 1982 [52] và là một định lý đóng vai trò quan trọng trong xử lý thông tin lượng tử

Đã có một số đề xuất hiện thực hoá các qubit đối với quá trình xử lý thông tin lượng tử trong các hệ vật lý như nguyên tử, các hệ vật chất ngưng tụ

và quang học Theo nguyên tắc, bất kỳ một hệ lượng tử hai chiều nào đều có thể được xem như là một hệ qubit Một hạt Spin -1/2, một nguyên tử hai mức, một trạng thái photon phân cực… là những ví dụ quen thuộc Tuy nhiên, để tìm ra một hệ qubit thích hợp cho quá trình xử lý thông tin lượng tử lại là một chuyện khác, hệ qubit đó phải có thể nhập vào, kiểm soát, đo đạt và có thể

đọc được trước khi nó bị phá vỡ bởi tương tác với môi trường xung quanh Có hai loại qubit đó là: qubit quang học (không có khối lượng) rất tốt cho truyền tin và qubit vật thật (có khối lượng) rất tốt cho tính toán lượng tử Việc chuyển hoá thông tin lượng tử từ các qubit quang học sang các qubit vật chất

và ngược lại là cần thiết và đã được nghiên cứu khá kỹ càng trong [53] và xem các tài liệu tham khảo trong đó

Gần đây, các nghịch lý đã được thảo luận trong chương trước lại xuất hiện và đóng góp vào rối của các hệ vật lý hơn là giải thích cũ dựa trên nguyên lý bất định Heisenberg Như đã được giải thích bởi Shrödinger, các trạng thái rối có thể sinh ra do tương tác giữa các hệ lượng tử, ví dụ như khi hai hạt được tạo ra một cách đồng thời với một số yêu cầu là spin hay xung lượng phải được bảo toàn Tuy nhiên, một trạng thái rối có thể mất rối do tương tác với môi trường Rối đóng vai trò không thể thay thế như là nguồn tài nguyên trong các quá tình xử lý thông tin lượng tử bao gồm viễn chuyển lượng tử, mật mã lượng tử và tính toán lượng tử Giả sử một trạng thái hai hệ

1 và 2 được định nghĩa trong một không gian Hilbert H1  H2 như sau:

Có thể thấy rằng trạng thái này không thể được biểu diễn như là một tích hợp trực tiếp của hai trạng thái bất kỳ '

   Khi đó (1.6) được gọi

là một trạng thái rối Khi a  b ta có trạng thái rối một phần Trạng thái rối cực đại ứng với trường hợp a  b Bốn trạng thái rối cực đại trong không gian H1  H2 tạo thành một hệ đủ trực chuẩn là

1( 0 0 1 1 ),2



1( 0 1 1 0 )2

  là vectơ trạng thái của hệ 1 (2)

Sự rối không phải chỉ xảy ra giữa hai hệ lượng tử mà cũng có thể xảy ra giữa nhiều hệ lượng tử khác nhau Khi đó ta có rối đa hệ [59, 60, 61, 62] Rối

đa hệ rất quan trọng đối với các giao thức lượng tử đa nhân trong một mạng lưới lượng tử Các trạng thái rối cực đại là những kênh lượng tử rất tốt trong

xử lý thông tin lượng tử Ví dụ, trong viễn chuyển nếu một kênh lượng tử sử dụng không phải là rối cực đại thì xác suất thành công sẽ luôn bé hơn xác suất thành công của việc sử dụng rối cực đại Để tạo được một trạng thái lượng tử rối cực đại là một việc làm không dễ Tuy nhiên, các giao thức cũng đã phát triển để chắt lọc ra một số ít các trạng thái rối cực đại từ một số lớn các trạng thải rối không cực đại bằng cách sử dụng các tác dụng định xứ và các giao tiếp cổ điển [13] Những sơ đồ này được gọi là chiết hay sự chắt lọc rối

Hình 1.3 (a) hai hệ vật lý tách riêng A và B không rối với nhau; (b) A và

B tương tác với nhau; (c) A và B trở nên rối; (d) A và B tương tác với môi trường C và giảm độ rối hoặc mất rối hoàn toàn

1.2.3 Trạng thái kết hợp

Trạng thái kết hợp được định nghĩa như là một trạng thái của trường bức xạ được tạo ra bởi một phân bố dòng dao động cổ điển hay nói cách khác

nó là trạng thái ánh sáng được phát ra từ một nguồn laser, ký hiệu là  với

 là một số phức Trong biểu diễn Fock n của trường điện từ thì trạng thái kết hợp có dạng tường minh như sau:

n 2

Trạng thái kết hợp có một tính chất rất đặc biệt Tính chất đó thể hiện ở chỗ nó là một trạng thái riêng của toán tử huỷ photon a, tức là

a     (1.11) Khác hẳn với trạng thái Fock là trạng thái chứa một số photon xác định, trạng thái kết hợp chứa một số photon không xác định và toán tử huỷ không thể làm thay đổi trạng thái này Xét cho trường hợp tổng quát, hai toán tử Hermitc A và B theo thứ tự biểu diễn cho hai đại lượng vật lý A và B Nếu hai đại lượng vật lý này không đo được đồng thời thì theo cơ học lượng tử

Avà B không giao hoán với nhau, nghĩa là

[A , B ] iC (1.12) với C là một toán tử khác không Theo hệ thức bất định Heisenberg thì

thoả mãn hệ thức bất định Heisenberg Trong các trạng thái Fock thì trị riêng

n là nguyên, không âm Vì thế, nhìn vào phương trình (1.15) ta thấy rằng chỉ khi trị riêng n = 0 là nhỏ nhất tương ứng với trạng thái chân không 0 của trường điện từ thì tích của các thăng giáng lượng tử mới đúng bằng giá trị bất

định tối thiểu đưa ra bởi hệ thức bất định là 1

16 còn trong các trường hợp khác ứng với trị riêng n > 0 thì tích trên luôn lớn hơn giá trị bất định tối thiểu này Bây giờ chúng ta xét trạng thái kết hợp, khi tính phương sai trong trạng thái kết hợp thì

rõ đó là khi tính phương sai số hạt trong các trạng thái Fock

            (1.20)

Từ phương trình (1.19) chúng ta thấy rằng trạng thái Fock là trạng thái

có số hạt xác định và vì thế theo hệ thức bất định về số hạt và pha thì pha là bất định Điều đó giải thích vì sao trạng thái Fock còn được gọi là trạng thái

số hạt Từ phương trình (1.20) chúng ta thấy rằng đối với chùm sáng laser có cường độ cao và độ đơn sắc lớn thì 2 

|    là một số rất lớn Điều đó có | n nghĩa với trạng thái kết hợp thì số hạt là bất định và vì thế theo hệ thức bất định giữa số hạt và pha ta có pha là xác định Nói một cách khác, trạng thái kết hợp chính là sự kết hợp rất tốt về pha Các chùm sáng laser là các chùm sáng có pha kết hợp do đó trạng thái kết hợp là một trạng thái mô tả rất tốt các tính chất của chùm sáng laser

Hình 1.4 Sự phân bố số photon P (n) của một trạng thái kết hợp:

là hàm phân bổ Poisson Các trạng thái có hàm phân bố Poisson là các trạng thái cổ điển [88] Vì vậy, trạng thái kết hợp là một trạng thái cổ điển Hình 1.4

vẽ hàm phân bố P (n) với các giá trị khác nhau của | Chúng ta thấy rằng |2với

| vào tích phân trên ta được |

chúng ta thấy rằng, nếu |    thì hai trạng thái '| 1  và |  gần như '|trực giao với nhau Mức độ mà các hàm sóng này xen phủ nhau quyết định độ lớn của tích vô hướng |   Từ (1.24) và (1.25) ta có | ' |

có độ bất định nhỏ nhất là rộng nhất Ví dụ, các trạng thái nén cũng là các trạng thái có độ bất định nhỏ nhất, trong đó  2

( x)

   hoặc  2

( p)

   có thể nhỏ hơn ¼ nhưng  2

đã nghiên cứu rất nhiều trong vòng những năm lại đây (xem [63, 64] và các trích dẫn trong đó)

1.2.4 Qubit dưới dạng chồng chập của hai trạng thái kết hợp

Xem hai trạng thái kết hợp |  và |  Hai trạng thái này không trực giao với nhau nhưng tích phân xen phủ của chúng |  | |2 e 4| |2lại giảm rất nhanh theo | Ví dụ ||  =2 thì tích phân xen phủ của chúng đã nhỏ tới |

cỡ 10-7 Chúng ta đồng nhất hai trạng thái kết hợp này như là hai trạng thái cơ

sở của một qubit logic:

L L

| | 0 , | |1  (1.28) Lúc này trạng thái một qubit được biểu diễn như sau

| csq  | 0   |1       | | (1.29) trong đó  và  là các hệ số và thoả mãn điều kiện chuẩn hoá sau

1 csq | csq  | |  | |       ( ) | (1.30) Một qubit dưới dạng hai trạng thái kết hợp (1.29) có hai phép đo đáng chú ý Như chúng ta sẽ thấy, kết quả đọc ra của nó có thể được thực hiện một cách

dễ dàng Thêm vào đó, có thể hiện thực hiện hoá các phép đo Bell chỉ với các thiết bị quang học tuyến tính Vì một trạng thái kết hợp là một trạng thái cổ điển nên qubit dưới dạng (1.29) được xem như một ví dụ về sự hiện thực hoá con mèo của Schrödinger và nó thường được gọi là”trạng thái con mèo của Schrödinger” hay đơn giản là “trạng thái con mèo” trong trường hợp | | | |   Thật là thú vị khi xem xét khả năng về xử lý thông tin lượng tử với các trạng thái vĩ mô hay trạng thái mesoscopic Tuy nhiên, theo lý thuyết phá vỡ kết hợp, các hệ lượng tử vĩ mô phá vỡ kết hợp và mất những đặc tính của nó nhanh hơn các hệ lượng tử vi mô Như đã được đề cập ở phần 2.1 thì đây là một trong những lý giải tại sao chúng ta không thể tiến hành thí nghiệm để minh hoạ bản chất lượng tử của các hệ vĩ mô giống như những con mèo thật Chính vì vậy mà biên độ  của một qubit trạng thái kết hợp không được quá lớn trong suốt quá trình xử lý thông tin cổ điển Câu hỏi đặt ra là làm thế nào

để tạo ra một qubit dưới dạng chồng chập của hai trạng thái kết hợp? Như chúng ta đã biết, thông tin lượng tử được mã hoá trong trạng thái | csq thông qua  và  Vậy làm thếo nào để tạo ra một trạng thái | csq như mong muốn? Hầu hết các cơ sở đồ đều sử dụng môi trường phi tuyến Kerr [84, 85, 86] Ở đây chúng ta giới thiệu một sơ đồ xác suất [87] để tạo ra một trạng thái

| csq tuỳ ý có dạng:

| csq N( |     | ) (1.31) với| | 2    và | |2 1

2

2| | *

1N

mà các mode xuất hiện với tần số của mode của buồng quang học đã bị mất điều hưởng từ chùm đưa vào Chùm đưa vào không thể đi trong buồng nữa dẫn đến kết quả là sự phản xạ của nó giữ cho hình dạng và pha của nó không

bị thay đổi

| e |     | e | (1.34)

Để tạo ra trạng thái (1.31) chúng ta cần chuẩn bị trạng thái ban đầu của nguyên tử là | e  | g và sau đó cho trạng thái |  phản xạ lên buồng quang học Từ (1.33) và (1.34) chúng ta có

| e | | g |

       (1.35) hay

' '

2N       2N       (1.36)

với | (| g| e ) / 2 và N' (1 2e  2| |2Re( * ))1/2 Bây giờ nếu chúng ta

đo nguyên tử trong hệ cơ sở {|  , |  } và tìm được trạng thái |  với xác suất 1/2N2 thì trạng thái của chùm phản xạ sẽ xẹp xuống trạng thái (1.31) với các giá trị mong muốn của  và  Ngoài ra chúng ta có thể xây dựng một hệ

cơ sở qubit trực giao {| e ,| d  } từ hai trạng thái kết hợp|  và |  như sau:

L

| e M (|   | ) | 0  (1.37)

L

| d M (|   | ) |1  (1.38) trong đó M là các hệ số chuẩn hoá

2

1M

2

| | 2n 2

2 2

2| | 2

2| | 2

lẻ | d tiến tới trạng thái một photon đơn |1 trong khi đó trạng thái con mèo chẵn | e tiến tới trạng thái | 0 Dù  có nhỏ như thế nào đi nữa thì xác suất tìm thấy số photon của trạng thái | d vẫn luôn luôn khác không tại một điểm máy đếm photon lý tưởng

CHƯƠNG 2 CÁC THUẬT TOÁN CƠ BẢN TRONG THÔNG TIN

LƯỢNG TỬ 2.1 Giới thiệu

Ý tưởng sử dụng cơ học lượng tử cho các nhiệm vụ thuật toán có thể được khởi nguồn bởi Feynman [28, 29] Ứng dụng mà ông nghĩ tới đó là mô phỏng hệ thống cơ học lượng tử qua một hệ thống lượng tử phổ quát, máy tính lượng tử Feynman lập luận rằng các hệ thống lượng tử phổ quát được trang bị đầy đủ để mô phỏng các hệ thống cơ học lượng tử khác; do đó một chiếc máy cơ học phổ quát rất có thể thực hiện hiệu quả các mô phỏng đó Một phương pháp tiếp cận khác đối với vấn đê này được đưa ra bởi nhà khoa học Deutsch, ông đã cố gắng để hòa hợp cơ học lượng tử và nguyên lý Church- Turing – nói một cách nôm na là bất cứ hàm tính được nào cũng có thể được tính toán bởi cái được gọi là Máy Turing phổ quát Deutsch đặt khái niệm về chiếc máy phổ quát vào cơ sở vật lý và hỏi liệu nguyên lý này có cần thay đổi gì không nếu chiếc máy đó là máy cơ học lượng tử, từ đó tạo nên khái niệm được biết đến như là Nguyên lý Church-Turing-Deutsch Trong công trình nghiên cứu của mình, Deutsch cũng là người đầu tiên nói về một nhiệm vụ tính toán cụ thể, tuy không thể giải quyết trên một máy tính cổ điển nhưng cũng đem lại một giải pháp cơ học lượng tử dễ dàng thực hiện đó là Thuật toán Deutsch ( xem phần 2.2) Điều thú vị của thuật toán này là nó không chỉ là thuật toán nhỏ nhất, chỉ bao gồm 2 bit lượng tử mà còn mang thành phần chính của các thuật toán lượng tử sau này và là một mô hình thí điểm thú vị để hiểu được tại sao và bằng cách nào các thuật toán lượng tử hoạt động

Một bước tiến quan trọng trong thuật toán lượng tử được tạo ra bởi Peter Shor – người đã tìm ra thuật toán phân tích thành thừa số lượng tử hiệu quả Phân tích thành thừa số các số thành số nguyên tố là một bài toán quan

trọng, và chưa từng có một thuật toán nào giải được Trên thực tế rất nhiều hệ mật mã phụ thuộc vào giả định rằng phân tích thành thừa số và các bài toán liên quan như logarit rời rạc là những bài toán khó Thuật toán của Shor đã tạo ra một đe dọa đối về tính bảo mật của rất nhiều các giao dịch hàng ngày của chúng ta- nếu máy tính lượng tử ra đời, hầu hết các hệ thống mật mã hiện thời sẽ bị phá vỡ ngay lập tức

Cách mà Feynman đặt ra nó,máy tính lượng tử là một chiếc máy tuân theo các quy luật cơ học lượng tử thay vì vật lý học Newton cổ điển Về mặt tính toán, điều này mang lại hai hệ quả quan trọng, xác định hai dạng trong đó cho thấy sự khác biệt của máy tính lượng tử và máy tính cổ điển Thứ nhất, trạng thái mô tả chiếc máy đúng lúc là các hàm sóng cơ học lượng tử Mỗi đơn vị cơ bản của tính toán- bit lượng tử- có thể được xem như là một vectơ phức hai chiều chuẩn trong không gian Hilbert Gốc hai chiều đối với một bit lượng tử như vậy thường được kí hiệu là 0 và 1 , trong đó các trạng thái cơ

sở tương ứng với bit cổ điển (có giá trị là 0 và 1) Thứ hai, động lực học chi phối sự phát triển trạng thái đúng thời điểm là đồng nhất, nghĩa là được mô tả bởi một ma trận đồng nhất chuyển trạng thái tại một thời điểm nào đó sang trạng thái tại một thời điểm sau đó Thành phần động lực thứ hai là phép đo Trong cơ học lượng tử việc quan sát hệ thống sẽ làm thay đổi nó Trong phạm

vi hạn chế hơn của thuật toán lượng tử, một phép đo có thể được xem như là hình chiếu trên trạng thái cơ bản Trạng thái cơ bản đặc biệt sẽ được đo với xác suất được tính bởi bình phương biên độ trong trạng thái đang được đo

Thực tế khi đưa ra mô hình này, người ta cũng không biết rõ được liệu một cái máy tính lượng tử như thế có thể thực hiện các tính toán cổ điển hay không Xét cho cùng thì một ma trận đồng nhất thì khả nghịch và vì vậy việc tính toán lượng tử có thể khả nghịch được Tính toán cổ điển đưa ra bởi một mạch nào nó với các cổng thành tố như là cổng NOT, cổng AND là không

khả nghịch, đơn cử là bởi vì một cổng như cổng AND có hai đầu vào và chỉ duy nhất một đầu ra Tuy nhiên, câu hỏi về tính khả nghịch của tính toán cổ điển đã được nghiên cứu trong bối cảnh tiêu năng ( tiêu tán năng lượng) bởi Bennett vào những năm 70 cuả thế kỉ trước [8]; Bennet là người đã tạo ra phương pháp tính toán cổ điển có khả năng khả nghịch với chỉ một bit trên đầu đa thức trong tổng số bit và cổng đã sử dụng Tính toán khả nghịch cổ điển do đó chỉ là một phép hoán vị trên dải bit của đầu vào và chỉ trong một đơn nguyên đơn vị

Câu hỏi quan trọng tiếp theo đó là liệu có thể chế tạo ra một chiếc máy lượng tử phổ quát/ vạn năng ( thay vì các máy tính với mục đích cụ thể hiện thời)? Nói cách khác, có hay không một số ít các phép toán thực hiện phép biến đổi đơn nguyên? Như người ta vẫn biết cho tới nay bất cứ hàm Boolean nào có thể tính toán bằng một tập nhỏ các cổng như là AND và NOT Và cũng rất may mắn rằng phát biểu tương tự cũng đúng với thế giới lượng tử [19, 20] cho thấy có một tập nhỏ các cổng lượng tử trên hầu hết 2 bit lượng

tử Một tập cổng như thế được gọi là {X, PI/8, H, CNOT} trong đó X thực

hiện đảo bit lượng tử đơn lẻ, PI/8 là cổng nhân trạng thái cơ sở 1 với 4

gắng truyền tải trực giác chung ẩn sau các ý tưởng chính trong lĩnh vực thú vị này

2.2 Tiền đề

Như đã nói ở trên, thuật toán lượng tử đầu tiên là thuật toán của Deutsch [19] Trước khi mô tả nó, chúng tôi muốn làm rõ khái niệm hàm hộp đen ( cụm điều khiển) lượng tử Theo truyền thống, hàm hộp đen có thể được

hiểu đơn giản là một cái hộp định trị hàm chưa biết f Đầu vào là chuỗi n-bit nào đó kí hiệu là x và đầu ra là chuỗi m-bit kí hiệu là f(x) Theo lượng tử học,

một cái hộp như thế chỉ có thể tồn tại nếu nó khả nghịch Để tạo ra một chiếc

hộp khả nghịch, đầu vào (x) là đầu ra cùng với f(x) và hộp đen khi đó có dạng

như Hình 2.1

Hình 2.1 Hộp đen khả nghịch với hàm f :  0,1 n 0,1 m

Để hộp có tính khả nghịch, cần thêm một đầu vào m-bit và đầu ra của

kết quả là f(x) y trong đó chỉ phép cộng bit đảo mod 2 Cụ thể, nếu y

được cố định là y = 0 ….0, thì đầu ra là f(x) Hộp khả nghịch này, khi đưa vào

một máy cổ điển không mạnh hơn hộp không khả nghịch đơn giản tương

đương với ánh xạ x tới f(x) Chú ý rằng hộp này hiện chỉ tạo ra sự biến đổi đối

với các chuỗi nm bit có thể được mô tả bởi phép hoán vị của các chuỗi khả

dĩ cụ thể là đơn nguyên

2.2.1 Thuật toán Deutsch

Với các khái niệm này chúng ta có thể đưa ra thuật toán Deutsch [19]

Bài toán: cho một hàm hộp đen f hàm mà sắp đặt/ ánh xạ một bit tới

một bit, xác định liệu hàm là hàm hằng ( f(0)= f(1) hay hàm cân bằng ( f(0)

≠f(1))

Chú ý rằng theo truyền thống để giải bài toán này với xác suất thành

công cao hơn một nửa, một chiếc máy sẽ phải hỏi hộp đen hai lần; cả f(0) và

f(1) đều cần thiết Cái tài của Deutsch đó là ông sử dụng giao thoa của các

biên độ của trạng thái lượng tử như vậy chỉ cần hỏi hộp đen một lần là đủ Mạch sau đây trên hai bit lượng tử cho ta một thuật toán lượng tử

Hình 2.2 Mạch Deutsch

1 Bit lượng tử được bắt đầu từ 0 1 , ket đầu tiên chỉ bit lượng tử

1, ket thứ 2 chỉ bit lượng tử 2

2 Sau khi áp dụng biến đổi Hadamard cho từng bit lượng tử,trạng

Kết quả là thuật toán Deutsch tiết kiệm được một lần hỏi so với thuật toán cổ điển khả dĩ tốt nhất để giải bài toán này Một yêu cầu có thể coi như là rất nhỏ nhưng chúng ta sẽ xem thuật toán này được tổng quát hóa như thế nào sau vài bước để cuối cùng phân tích thành thừa số

2.2.2 Thuật toán Deutsch-Josza

Trong bước đầu tiên, Deutsch và Josza đã tổng quát hóa thuật toán của Deutsch để đưa ra một bài toán trong đó thuật toán lượng tử không chỉ mang

lại lợi ích yêu cầu / đặt câu hỏi đơn giản Tuy nhiên, nó chỉ là một bài toán

hứalý tưởng.( promise problem)

Bài toán: Cho một hàm hộp đen f sắp đặt/ ánh xạ n bit tới 1 bit, với cam

đoan rằng hàm là hàm hằng f x  f y   hay hàm cân bằng trên chính xác một nửa đầu ra ( đối với tất cả x có chính xác y khác 1

2n sao cho f x  f y , xác định là một trong những trường hợp

Chú ý rằng theo truyền thống, để giải bài toán này một cách tất định, ta cần 2n1  1 yêu cầu trong trường hợp xấu nhất , chẳng hạn như trong trường hợp cân bằng , ta có thể phải yêu cầu 1

2n y khác với x nào đó trước khi thấy một y sao cho f x  f y  Thuật toán Deutsch-Josza giải bài toán này chỉ với một yêu cầu lượng tử với thuật toán sau đây:

Hình 2.3 Thuật toán Deutsch-Josza

Phân tích thuật toán này tương tự như thuật toán của Deutsch Điểm khác nhau trong mạch đó là biến đổi Hadamard trên một bit lượng tử được thay thế bằng tích tenxơ của n biến đổi Hadamard Hn trên n bit lượng tử Trước tiên chúng ta hãy phân tích hành động của n

H trên trạng thái cơ sở x

(x là một chuỗi n bit) Phép biến đổi gây ra bởi một Hadamard đơn trên một bit lượng tử i trong trạng thái cơ sở x i có thể viết như sau:

 

 

0,1

0,1

1

2 1

1 2

1

1 2

n

n n n

y

x y n

Trong đó x, y là tích trong của vectơ x và y mod 2 Biến đổi Hadamard

H và Hn là thực thể biến đổi tổng quát hơn gọi là biến đổi lượng tử Fourier