Nghiên cứu thống kê Fermi - Dirac mở rộng

Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac nghiên cứu tính chất từ của khí electron tự do trong kim loại .... Lý do chọn đề tài Vật lí thống kê lượng tử nghiên cứu tính chất của các

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI, 2013

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban chủ nhiệm và thầy cô giáo khoa Vật lí trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Lưu Thị Kim Thanh đã tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Cuối cùng tôi xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, những người đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn Mặc dù đã rất cố gắng song bản luận văn này không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn

Hà Nội, tháng 07 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Hồng Nga

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lưu Thị Kim Thanh Luận văn không hề trùng lặp với đề tài khác

Hà Nội, tháng 07 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Hồng Nga

Lời cam đoan

MỞ ĐẦU 5

Chương 1 XÂY DỰNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ FERMI – DIRAC BẰNG PHƯƠNG PHÁP LÍ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ 8

1.1 Một số đặc tính của các hệ lượng tử 8

1.1.1 Hệ lượng tử 8

1.1.2 Tính chất 8

1.2 Các phương pháp xây dựng phân bố thống kê Fermi-Dirac 9

1.2.1.Phương pháp các ô của Boltzmann 9

1.2.2 Phương pháp Gibbs 11

1.2.3 Phương pháp lí thuyết trường lượng tử 15

Chương 2 ÁP DỤNG PHÂN BỐ THÔNG KÊ FERMI – DIRAC KHẢO SÁT KHÍ ELECTRON TỰ DO TRONG KIM LOẠI 18

2.1 Nhiệt dung của khí electron tự do trong kim loại 18

2.1.1.Cách tính theo nguyên lí loại trừ Pauli 18

2.1.2 Khảo sát khí lí tưởng Fermion 19

2.2 Tính chất từ của khí electron tự do trong kim loại 24

2.2.1 Mật độ trạng thái ở năng lượng Fermi 24

2.2.2 Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac nghiên cứu tính chất từ của khí electron tự do trong kim loại 26

Chương 3 THỐNG KÊ FERMI – DIRAC MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG 29

3.1 q-số Fermion 29

3.1.1 q-số Boson 29

3.2 Dao động tử Fermion biến dạng q 34

3.3 Phân bố thống kê Fermi-Dirac biến dạng q 37

3.4 Ứng dụng của phân bố thống kê Fermi-Dirac biến dạng q 38

3.4.1 Nhiệt dung của khí electron tự do trong kim loại 38

3.4.2 Tính chất từ của khí electron tự do trong kim loại 42

KẾT LUẬN 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lí thống kê lượng tử nghiên cứu tính chất của các hệ nhiều hạt, mô

tả bằng phương pháp thống kê Để tìm các định luật phân bố thống kê lượng

tử, người ta đã dùng các phương pháp cơ bản sau: Phương pháp các ô Boltzmann, phương pháp Gibbs, phương pháp lí thuyết trường lượng tử Về mặt lịch sử phương pháp các ô Boltzmann ra đời sớm nhất nhưng phương pháp Gibbs có nhiều ưu điểm và được coi là phương pháp cơ bản của vật lí thống kê Ngày nay lí thuyết trường lượng tử là cơ sở để giải thích bản chất của các hạt vi mô về cấu trúc và các tính chất của nó Lí thuyết trường lượng

tử đã mở ra con đường để nhận biết các quá trình vật lí xảy ra trong thế giới hạt vi mô, lí thuyết trường lượng tử đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của vật lí Đặc biệt trong việc nghiên cứu hệ nhiều hạt và xây dựng các định luật phân bố thống kê lượng tử Các phương pháp này bổ sung cho nhau

để làm rõ được bản chất vật lí của các quá trình vật lí trong hệ nhiều hạt

Hiện nay các phương pháp của vật lí thống kê được áp dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau của vật lí hiện đại như vật lí chất rắn, vật lí học các vật ngưng tụ cho đến lí thuyết các hạt cơ bản, người ta còn vận dụng các phương pháp của vật lí thống kê vào việc nghiên cứu vũ trụ học

Việc áp dụng thống kê lượng tử Fermi-Dirac nghiên cứu tính chất của các hệ lượng tử đã giải quyết được rất nhiều vấn đề mà các thống kê cổ điển không thể giải thích đầy đủ được như nhiệt dung của khí electron trong kim loại, tính chất từ của electron,…

Các tính toán lí thuyết được xây dựng đối với mô hình lí tưởng, do đó vẫn có những sai khác giữa kết quả lí thuyết và thực nghiệm thu được Khi đó người ta thường dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết Nhóm lượng

tử mà cấu trúc nó là đại số biến dạng phù hợp với nhiều mô hình của vật lí, là một phương pháp gần đúng của lí thuyết trường lượng tử

Nhóm lượng tử và đại số biến dạng được khảo sát thuận lợi trong hình thức luận dao động tử điều hoà biến dạng Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số biến dạng được kích thích thêm bởi sự quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống kê Bose -Einstein và thống kê Fermi-Dirac như thống kê para-Bose, para-Fermi, thống

kê vô hạn, các thống kê biến dạng , với tư cách là các thống kê mở rộng Cho đến nay cách mở rộng đáng chú ý nhất là trong khuôn khổ của đại số biến dạng

Với mong muốn hiểu biết đầy đủ hơn về thế giới các hạt vi mô, và hệ các

hạt đồng nhất Fermion, tôi đã chọn đề tài “ Nghiên cứu thống kê Fermi-Dirac

mở rộng”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của đề tài là xây dựng thống kê Fermi-Dirac biến dạng bằng phương pháp lí thuyết trường lượng tử và áp dụng thống kê đó vào nghiên cứu khí electron tự do trong kim loại

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

-Trình bày một cách hệ thống các phương pháp xây dựng phân bố thống kê lượng tử

- Xây dựng thống kê Fermi-Dirac biến dạng bằng phương pháp lí thuyết trường lượng tử

- Áp dụng phân bố thống kê Fermi-Dirac biến dạng để nghiên cứu khí electron tự do trong kim loại

4 Đối tượng nghiên cứu

Hệ các hạt đồng nhất Fermion

5 Phương pháp nghiên cứu

-Phương pháp vật lí thống kê và các phương pháp giải tích khác

- Phương pháp lí thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử

6 Tên đề tài, kết cấu của luận văn

- Tên đề tài: Nghiên cứu thống kê Fermi-Dirac mở rộng

- Kết cấu của luận văn: Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1: Xây dựng phân bố thống kê Fermi-Dirac bằng phương pháp

lí thuyết trường lượng tử

Chương 2: Áp dụng phân bố thống kê Fermi-Dirac khảo sát khí electron tự do trong kim loại

Chương 3: Thống kê Fermi-Dirac mở rộng và ứng dụng

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 XÂY DỰNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ FERMI – DIRAC BẰNG PHƯƠNG PHÁP LÍ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

1.1 Một số đặc tính của các hệ lượng tử

1.1.1 Hệ lượng tử

Hệ lượng tử là một hệ cấu thành bởi các hạt lượng tử Hạt lượng tử là hạt tuân theo các định luật của cơ học lượng tử Cơ học lượng tử mô tả các tính chất và các đặc tính riêng biệt của các hạt của thế giới vi mô mà thông thường chúng ta không giải thích được nếu dựa vào quan điểm cổ điển [1], [2]

1.1.2 Tính chất

- Lưỡng tính sóng hạt:

Do có đặc tính sóng và hạt nên một hạt vi mô bất kỳ không có toạ độ xác định tuyệt đối chính xác, nó bị “nhoè đi” trong không gian Khi có hai hoặc nhiều hơn hai hạt đồng nhất tồn tại trong miền không gian nhất định thì

ta không thể phân biệt chúng đối với nhau, vì ta không theo dõi chuyển động được của mỗi hạt Đó chính là tính đồng nhất như nhau của các hạt trong cơ học lượng tử

- Các đại lượng đặc trưng cho hạt vi mô có tính gián đoạn:

Để diễn tả một cách toán học các đặc tính đó của đại lượng vật lí, ta gán cho mỗi đại lượng vật lí một toán tử tương ứng nhất định Trong cơ học lượng tử, các đại lượng vật lí được biểu diễn bằng các toán tử và các trị số của

chúng được xác định như là các trị riêng của các toán tử Ngoài các tính chất

và thông số mà ta đã dùng để diễn tả các hạt vi mô một cách cổ điển như khối lượng, điện tích ta phải đưa vào các thông số và các tính chất mới, thuần tuý

“lượng tử” Đó là “spin” của hạt, “tương tác trao đổi”, “nguyên lí Pauli”,

“nguyên lí các hạt đồng nhất”, “tính chất suy biến của các mức năng lượng”,

“hệ thức bất định Heisenberg ”

1.2 Các phương pháp xây dựng phân bố thống kê Fermi-Dirac

1.2.1 Phương pháp các “ô” Boltzmann

Nội dung của phương pháp các “ô” Boltzmann là: chia không gian pha

ra làm các “ô” tương ứng với các giá trị khác nhau của năng lượng và xét sự

phân bố khác nhau của các hạt của hệ theo các ô đó, từ đó tìm ra được số các

trạng thái vi mô khả hữu của hệ tương thích với điều kiện nhất định, tức là tìm

được xác suất nhiệt động của hệ, sau đó dựa vào nguyên lí Boltzmann tìm

được entrôpi của hệ và dựa vào điều kiện cực đại của entropi khi có cân bằng

nhiệt động, ta tìm được phân bố thống kê của hệ [1], [3]

Theo nguyên lí Boltzmann thì entrôpi của trạng thái vĩ mô của hệ tỉ lệ

với logarit nêpe của xác suất W nhiệt động(logarit nêpe của số các trạng thái

vi mô khả hữu của hệ)

Sk ln W, (1.1) với k là hằng số Boltzmann Entrôpi định nghĩa như vậy không những chứng tỏ

entrôpi có bản chất đặc biệt thống kê, không thể có một dụng cụ đo trực tiếp

entrôpi, mà còn phù hợp với định lí Nerst (nguyên lí thứ ba của nhiệt động lực

học) cho rằng: đường đẳng nhiệt T 0 trùng với đường đoạn nhiệt S0 Thật

vậy, khi nhiệt độ hạ thấp dần xuống, hệ sẽ chiếm các mức năng lượng ngày

càng thấp Khi T 0 hệ chỉ nằm trong trạng thái lượng tử có năng lượng thấp

nhất do đó W 1 và

Sk ln Wk ln1 0 Theo quan niệm lượng tử, một trạng thái vi mô của hệ trong không gian

pha tương ứng với không phải là một điểm pha mà là một thể tích cực tiểu

nào đó của không gian pha Đối với một hệ gồm N hạt thể tích cực tiểu như

vậy của không gian pha là bằng 3N

min h

  Do đó đối với một hệ lượng tử

gồm N hạt, một thể tích bất kỳ  của không gian pha sẽ chứa 3N

h



trạng thái lượng tử

Mặt khác, ta biết rằng trong vật lí thống kê lượng tử do tính đồng nhất như nhau của các hạt đồng nhất, các phép hoán vị bất kỳ của chúng không đưa đến trạng thái vi mô nào mới Vì vậy số các trạng thái lượng tử sẽ giảm đi N! lần và trong thể tích  của không gian pha sẽ chỉ có chứa 3N

h N!



trạng thái Hơn nữa các trạng thái lượng tử có thể khác biệt nhau ở sự định hướng của spin của các hạt (có 2s 1 định hướng khác nhau) thế mà spin lại không tham gia gì vào trong không gian pha, cho nên số các trạng thái lượng tử sẽ tăng lên 2s 1 

lần Như vậy một thể tích  của không gian pha sẽ chứa tất cả là  

Để xây dựng thống kê Fermi-Dirac cho hệ các hạt Fermion đồng nhất,

ta dùng phương pháp các ô với quan niệm các ô như là các trạng thái lượng tử của hạt Ta hãy xét hệ các hạt Fermion mà trạng thái của nó được diễn tả bằng hàm sóng phản đổi xứng và tuân theo nguyên lí Pauli Trong phương pháp các

ô bài toán qui về việc tìm số các phương pháp mà theo đó ta có thể phân phối

i

n hạt không phân biệt trong z ô i zi ni bằng cách đặt vào mỗi ô một hạt

hoặc bỏ trống ô đó Số các phương pháp đó là

i i

i i i

z !W

n !(z n )!



 (1.2)

Xác suất nhiệt động (hay tổng cộng các trạng thái khả hữu) của hệ sẽ bằng

  1f

mô giống nhau và ở trạng thái vi mô khả hữu khác nhau Đồng thời phải bảo đảm rằng mỗi một hệ trong tập hợp thống kê sớm hay muộn sẽ đi qua mọi giai đoạn biến đổi dành cho các hệ tương tự khác Như vậy, tập hợp thống kê

cũng có thể coi như là tập hợp các trạng thái vi mô khả dĩ tương ứng với cùng một trạng thái vĩ mô đang xét của hệ [1], [3]

Phương pháp Gibbs, thừa nhận giả thuyết chuẩn Ecgodic như sau: Trị trung bình theo thời gian của một đại lượng bằng trị trung bình theo tập hợp thống kê của đại lượng đó Như vậy, theo phương pháp này, một vấn đề đặt ra

là làm sao tìm được trị trung bình theo tập hợp thống kê, muốn vậy ta phải tìm được mật độ xác suất pha hay hàm phân bố thống kê của hệ

Áp dụng phương pháp Gibbs đối với các hệ lượng tử, chú ý đến các đặc tính của hạt vi mô và của hệ lượng tử, phân bố chính tắc lượng tử đối với hệ đẳng nhiệt cho chúng ta xác suất để hệ nằm ở trạng thái có năng lượng Ek là

trong đó và  có ý nghĩa của năng lượng tự do và nhiệt độ thống kê Khi có

sự suy biến, nghĩa là cùng một mức năng lượng ứng với nhiều hàm sóng khác nhau hay là nhiều trạng vật lí khác nhau thì

trong đó g E k là bậc suy biến

Xét hệ số có hạt thay đổi, các hạt trong hệ không tương tác, ta có

trong đó: n là số chứa đầy (số hạt có cùng năng lượng i i),

i là các mức năng lượng của hạt có trị số từ 0 đến ,

i

 là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ

Do số hạt trong hệ thay đổi nên tương tự như trong vật lí thống kê cổ điển ta phải dùng phân bố chính tắc lớn lượng tử

  i 0 i i

N n ,1

n n exp G n , n

n



 , với   k (1.10) Xét đối với hệ hạt Fermion: ni 1 n i 0,1, G n ,n  0 1 1, các hạt này tuân theo nguyên lí Pauli Từ biểu thức (1.10) ta có

k k

1n

1.2.3 Phương pháp lí thuyết trường lượng tử

Đối với các dao động tử Fermion tuân theo nguyên lí Pauli, toán tử sinh dao động tử ˆb, toán huỷ dao động tử ˆb thoã mãn hệ thức phản giao hoán [2], [3]

là các vectơ trạng thái riêng đã chuẩn hoá của toán tử số dao động tử N

là phương pháp lí thuyết trường lượng tử để xây dựng các phân bố thống kê Đây là cơ sở để chúng tôi nghiên cứu thống kê lượng tử Fermi-Dirac biến dạng q

CHƯƠNG 2

ÁP DỤNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ FERMI – DIRAC KHẢO SÁT KHÍ ELECTRON TỰ DO TRONG KIM LOẠI

2.1 Nhiệt dung của khí electron tự do trong kim loại

2.1.1 Cách tính theo nguyên lí loại trừ Pauli

Phát biểu nguyên lí loại trừ Pauli : Đối với các hạt có spin bán nguyên (gọi là các hạt Fermion) như electron, proton, neutron, positron thì chỉ có 0 hoặc 1 hạt cùng nằm trên một mức năng lượng (nói cách khác là tất cả các Fermion đều phải có năng lượng khác nhau) [2], [3], [5]

Theo nguyên lí Pauli, tại 0 K các electron cũng không phải cùng nằm 0trên mức năng lượng thấp nhất, mà chúng lấp đầy một loạt các mức năng lượng liền nhau từ mức thấp nhất đến một mức cao nhất nào đó gọi là mức Fermi (F).Khi tăng nhiệt độ, không phải tất cả các electron đều có thể thay đổi năng lượng của mình bằng cách nhảy lên các mức năng lượng cao hơn, vì các mức này nói chung đều đã bị lấp đầy, chỉ có các electron nằm ở các mức năng lượng gần  F mới có khả năng này Chỉ có các electron nằm trên các mức năng lượngkích thích mới có khả năng thay đổi năng lượng của mình Khi đó, số electron này được tính bằng kTg F Mỗi một electron như vậy khi chuyển mức sẽ thu nhận thêm năng lượng cỡ kT Do đó ta có

Kết quả này đã biểu diễn sự phụ thuộc của el

V

C vào nhiệt độ một cách đơn giản, phù hợp với thực nghiệm hơn một cách định tính

Ta biết rằng theo lí thuyết cổ điển CelV const không phụ thuộc vào nhiệt độ, điều này mâu thuẫn với kết quả thực nghiệm Ví dụ công thức cổ điển viết cho kim loại kiềm là :

el V

2.1.2 Khảo sát khí lí tưởng Fermi

Trong kim loại, các electron tự do có thể di chuyển dễ dàng trong khoảng không giữa các nút mạng Do đó, tập hợp các electron tự do này được coi là một chất khí Các ion dương ở nút mạng sắp xếp tuần hoàn trong không gian gây ra hiệu ứng chắn, nên tương tác giữa các electron yếu đi nhiều, song các electron tự do này vẫn có thể di chuyển dễ dàng trong khắp vật thể Nếu

bỏ qua tương tác, tập hợp các electron tự do trong kim loại được coi là khí lí tưởng Fermi

Electron có khối lượng rất nhỏ ( 31

     Vì các electron lần lượt chiếm các mức năng lượng từ 0 đến 0

nên 0 phải phụ thuộc vào số electron

Tổng số electron tự do ở nhiệt độ T được tính theo công thức sau

g( ) là bội suy biến của mỗi mức năng lượng 

Vì mỗi mức năng lượng  ứng với hai trạng thái s 1

xdx



p

pI

2N3

  , E0 2 5/20

5

T0 K thì khí electron suy biến hoàn toàn Ở nhiệt độ TT0

ta có khí electron không suy biến Lưu ý đến điều kiện áp dụng thống kê cổ

điển là :

2

NT

TT tuân theo thống kê cổ điển

Thay các giá trị của ,m,k, và N ~ 10 cm24 3

2.2 Tính chất từ của khí electron tự do trong kim loại

2.2.1 Mật độ trạng thái ở năng lượng Fermi

Tính chất của các electron có thể coi như tính chất của khí lí tưởng mà các hạt là các electron không tương tác nhau Các electron bị giữ lại không đi

ra khỏi kim loại bởi các lực điện ở biên giới kim loại Như vậy các electron chuyển động trong không gian giới nội và theo các nguyên lí của cơ học lượng tử thì nó bị lượng tử hóa, tức là các hạt không thể có các trạng thái chuyển động tùy ý mà chỉ có những trạng thái lượng tử gián đoạn đặc trưng bởi các số lượng tử gián đoạn

Phương trình Schrodinger xét cho một electron có dạng

Khi đó hàm sóng phải có dạng sóng phẳng: ikr

k(r) e

  , (2.21) trong đó k gọi là vector sóng và nhận các giá trị gián đoạn

x

2nk

Ở đây n = 0, 1, 2,… Các thành phần của vector k chính là số lượng tử

mà cùng với số lượng tử cho biết phương của spin sẽ xác định trạng thái của electron Đặt (2.22) vào (2.19) ta được giá trị riêng của các trạng thái vector sóng k

Ở trạng thái cơ bản của một hệ gồm N electron tự do các trạng thái bị chiếm

có thể được mô tả bởi các điểm bên trong một hình cầu trong không gian k Năng lượng ứng với mặt hình cầu này được gọi là năng lượng Fermi Năng lượng tương ứng với mặt cầu Fermi là

2 2

2m

  (2.27)

Vì k (i k , x k , y k ) chỉ nhận những giá trị gián đoạn, tức mỗi một bộ 3 z

số lượng tử tương ứng với một yếu tố thể tích trong không gian vector sóng k

  Vì mỗi trạng thái có thể chứa hai electron với spin khác nhau, suy

ra số các trạng thái cho phép phải bằng