Đường đi và chu trình

Đường đi và chu trình

Lý thuyết đồ thị

Chương 2: Đường đi và chu trình

4.6 Đường đi và chu trình

EulerBài toán “Königsburg Bridges” (Leonhard Euler, 1707-1783)

Xác định một chu trình đi qua tất cả 7 cây cầu,

4.6 Đường đi và chu trình

Euler

C D

4.6 Đường đi và chu trình

Euler

đơn giản có đỉnh bắt đầu khác đỉnh kết thúc

và qua tất cả các cạnh của G Khi này G còn được gọi là một đường đi Euler

đơn giản đi qua tất cả các cạnh của G Khi này G còn được gọi là một chu trình Euler

4.6 Đường đi và chu trình

Euler

Cho 1 đồ thị vô hướng G liên thông và có

hơn 1 đỉnh Khi đó, G có chu trình Euler nếu

và chỉ nếu mọi đỉnh của G đều có bậc chẵn

4.6 Đường đi và chu trình

Euler

G(V, E)

Kết quả sẽ cho ra C là một chu trình Euler

bao gồm thứ tự các cạnh của chu trình

4.6 Đường đi và chu trình

2 3 4 5 6

4.6 Đường đi và chu trình

2 3 4 5 6

4.6 Đường đi và chu trình

2 3 4 5 6

4.6 Đường đi và chu trình

2 3 4 5 6

4.6 Đường đi và chu trình

2 3 4 5 6

4.6 Đường đi và chu trình

2 3 4 5 6

4.6 Đường đi và chu trình

2 3 4 5 6

4.6 Đường đi và chu trình

2 3 4 5 6

4.6 Đường đi và chu trình

2 3 4 5 6

4.6 Đường đi và chu trình

4.6 Đường đi và chu trình

Euler

4.6 Đường đi và chu trình

Euler Định lý 2.3 (Định lý Euler 3):

Cho đồ thị có hướng G liên thông và có hơn

1 đỉnh Khi đó, G có chu trình Euler nếu và chỉ nếu G cân bằng

4.6 Đường đi và chu trình

Euler Định lý 2.4 (Định lý Euler 4):

Cho đồ thị có hướng G liên thông và có hơn

1 đỉnh Khi đó, G có đường đi Euler nếu và chỉ nếu trong G có 2 đỉnh a, b thỏa:

dout(a) = din(a) + 1

din(b) = dout(b) + 1mọi đỉnh còn lại đều cân bằng và đường

Euler phải bắt đầu tại a và kết thúc tại b

4.6 Đường đi và chu trình

Euler

A

B

C D

DEABCEBDC, DEBCEABDC

4.7 Đường đi và chu trình

Hamilton (1805-1865)

Xét 1 đồ thị liên thông G có hơn 1 đỉnh

đi sơ cấp qua tất cả các đỉnh của G

sơ cấp qua tất cả các đỉnh của G

4.7 Đường đi và chu trình

HamiltonA

B

C D

E

A

B E

Đường đi Hamilton: ABECD

Đường đi Hamilton: BAECD

4.7 Đường đi và chu trình

Hamilton

C D

Chu trình Hamilton: ABCDA

Chu trình Hamilton: ACBDA

4.7 Đường đi và chu trình

Hamilton

 Qui tắc tìm chu trình Hamilton

1 Nếu tồn tại 1 đỉnh của G có bậc  1 thì G không

có chu trình Hamilton.

2 Nếu đỉnh x có bậc 2 thì cả 2 cạnh tới x đều phải

thuộc chu trình Hamilton.

3 Chu trình Hamilton không chứa bất kỳ chu trình

con thực sự nào.

4 Trong quá trình xây dựng chu trình Hamilton, sau

khi đã lấy 2 cạnh tới 1 đỉnh x đặt vào chu trình rồi

4.7 Đường đi và chu trình

Hamilton

1

2

3 4

5

6

Xét đỉnh 1, chọn 2 cạnh (1,2) và (1,6)

4.7 Đường đi và chu trình

Hamilton

1

2

3 4

5

6

•Xóa các cạnh (1,5), (1,4), (1,3), (1,7), (1,8), (1,9) (theo quy tắc 4).

•Các đỉnh 3, 4, 5 bậc 2, do

đó các cạnh (2,3), (3,4), (4,5), (5,6) phải thuộc chu trình Hamilton (quy tắc 2).

•Chu trình con: 1,2,3,4,5,6,1

4.7 Đường đi và chu trình

Hamilton

1

2

3 4

5

6

•Chọn cạnh (1,2), (1,3) Xóa các cạnh (1,4), (1,5), (1,6), (1,7),

4.7 Đường đi và chu trình

Hamilton

trình Hamilton

4.7 Đường đi và chu trình

Hamilton

 Định lý 2.6: Cho một đồ thị G Giả sử có k đỉnh của G sao cho nếu xóa đi k đỉnh này cùng với các cạnh liên kết với chúng khỏi G thì đồ thị nhận được có hơn k thành phần Khi đó, G không có chu trình Hamilton.

4.7 Đường đi và chu trình

4.7 Đường đi và chu trình

Hamilton

Một đồ thị G có n đỉnh và 2 đỉnh bất kỳ nào cũng có tổng các bậc  n thì G có một chu trình Hamilton

4.7 Đường đi và chu trình

Tóm tắt

đơn giản có đỉnh bắt đầu khác đỉnh kết thúc

và qua tất cả các cạnh của G Khi này G còn được gọi là một đường đi Euler

đơn giản đi qua tất cả các cạnh của G Khi này G còn được gọi là một chu trình Euler

Tóm tắt

hơn 1 đỉnh Khi đó, G có chu trình Euler nếu

và chỉ nếu mọi đỉnh của G đều có bậc chẵn

hơn 1 đỉnh Khi đó, G có đường đi Euler nếu

và chỉ nếu G có đúng 2 đỉnh bậc lẻ

Tóm tắt

 Cho đồ thị có hướng G liên thông và có hơn 1 đỉnh Khi đó, G có chu trình Euler nếu và chỉ nếu G cân bằng.

 Cho đồ thị có hướng G liên thông và có hơn 1 đỉnh Khi đó, G có đường đi Euler nếu và chỉ nếu trong G

có 2 đỉnh a, b thỏa:

d out (a) = d in (a) + 1

d in (b) = d out (b) + 1 mọi đỉnh còn lại đều cân bằng và đường Euler phải

Tóm tắt

đi sơ cấp qua tất cả các đỉnh của G

sơ cấp qua tất cả các đỉnh của G

chu trình Hamilton