lµ c¸c h»ng sè trong khai triÓn fx,Fx thµnh chuçi Fourier theo hµm cosintrong kho¶ng 0,l... Chứng minh rằng độ lệch của thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t đợc cho bởi: nếu gốc hoành
Trang 1NH NG B I TO N V T Lí HAY Ữ À Á Ậ
Bài 1 : Xác định dao động tự do của
dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút x
= 0 và x = l, biết độ lệch ban đầu
đợc cho bởi u(x,0) = (0 ≤ x ≤ l) còn vận tốc ban đầu bằng 0
Giải :
Gọi u(x,t) là độ lệch của thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t
Ta có phơng trình dao động củadây : (1)Theo bài ra, ta có :
điều kiện ban đầu :
Ta xác định ak, bk sao cho u(x,t) thoả mãn điều kiện ban đầu (2)
Thay (4) vào (2) :
(5)
(6)
Giải (5) : Nhận thấy ak là hệ
số trong khai triển thành
chuỗi Fourier theo hàm sin trongkhoảng (0, l).
Nhân 2 vế của (5) với rồi lấy tích phân 2 vế từ 0 →l ta có :
(7)
VT = =
⇒ VT =(8)
= (9)
2
) ( 4
l
x l
2
2 2 2
2
x
u a t
0
2 0
t
t
x u
l
x l x u
at k b l
at k a t
x
k
k k
k
π π
cos ( ) , (
1 1
0
) ( 4 sin
l
x l x l
x k a u
k k t
1 0
a k b t
u
k
k t
π π
2
) ( 4
l
x l
x k l
x l x dx l
x k a
l l
k
π π
sin ) ( 4 sin
0 2 2
l k
l k
l k
l
x k k
l x
a dx l
x k a
dx l
x k a
0 0
2 0
sin 2 2
2
cos 1 sin
x k x l
π π
π π
π
k k
l l
x k k
l l
x k x k
l dx l
x k x
cos sin
.
2 2
2 2 0
−
= +
−
=
∫
dx l
x k x k
l l
x k x k
l dx l
x k x
l l
o
π
π π
cos sin
.
0
2 0
2
∫
3 3
3 3
π
π π
π
l k
k
l k
3 3
3 3
3 3
2
2 cos
cos
2 cos
4
π
π π
π π
π
l k
k
l k k
l k
k
l l
l k
l
2 2
4
3 3
3 3 3 3 2
Trang 2) cos 1 (
2
8
3 3
=
−
3 3 3
3
1 2 32
0 ) cos 1 ( 16
π
π π
n
k k
x n l
at n
n
n
π
π π
) 1 2 ( sin ) 1 2 ( cos 1 2
1 32
3
+ +
+
∑∞
=
nÕu < π /2 nÕu > π /2
Trang 3lµ c¸c h»ng sè trong khai triÓn f(x),F(x) thµnh chuçi Fourier theo hµm cosin
trong kho¶ng (0,l)
Tõ (6) ⇒
(7) ⇒
V× u0(x,t) lµ 1nghiÖm riªngcña (1) nªn
= +
) 5 ( 0
) 4 ( 0
"
2 '' a T
T
X X
λ λ
0
2 1 2
1
2 1 0
c
c e
c c e c c x
u
c c c c x
u
cl cl
l x x
0
1 2 2
1
2 1
0
c
c c
c c c x
u
c c c c x
u
l x x
0 2
u
x
0 sin
u
l x
l
kπ
l
x k A x
X( )= kcos π
l
at k D l
at k B t
T( )= kcos π + ksin π
( )
l
x k l
at k b l
at k a t x
=
1 0
) , (
k
k k
l
x k l
at k b l
at k a t
b a t x
) ( cos
0 0
l
x k a a
u
k k
0
0 0
x F l
x k l
a k b b
t
u
k
k t
= +
0 0
a k b dx b
0 0
0
( ) ( )
) ( 0 ,
0
0
x F x t u
x f x u
∫
∫l a dx= l f x dx
0 0
0 0 0
D A a
B A b
Trang 4đợc xác định bởi (8) ,(19) , (10) , (11)
Bài 5 : Một thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén cho nên độ dài của nó còn lại là
2l(1-ε) Lúc t = 0, ngời ta buông ra Chứng minh rằng độ lệch của thiết diện có
hoành độ x ở thời điểm t đợc cho bởi:
nếu gốc hoành độ
đặt ở tâm củathanh
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ có gốc trùng với tâm của thanh Trục ox dọc theo thanh
Theo bài ra, thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén
thì độ dài còn lại của nó là 2l(1-ε) Do đó khi trục
dịch chuyển 1 đoạn là x thì thanh bị nén x(1-ε)
⇒ độ lệch u(x,0) = x(1-ε) – x = - εx
Gọi u(x,t) là độ lệch của mặt cắt x ở thời điểm t
Xét tiết diện có hoành độ x, do thanh đồng chất
nên ở thời điểm t nó bị nén đến vị trí x(1 - ε) và
có độ lệch u(x,0) = - ε.x = f(x)
Phơng trình dao động của thanh :
(1)Theo bài ra, tại thời điểm t = 0 ng-
ời ta buông ra tức vận tốc ban đầu = 0 chứng tỏ hai đầu mút của thanh đều tự do
⇒ ta có điều kiện biên : ;(2)
và điều kiện ban đầu : ; (3)
Tìm nghiệm của phơng trình (1) dới dạng u(x,t) = X(x).T(t) (4)
Từ (4) và (1)
ta có :Bây giờ ta đi tìm nghiệm của phơng trình (5) thoả mãn điều kiện :
X’(-l) = 0 ; X’(l) = 0 (7)
∫
∫l =∫l ⇒ = l F x dx
l b dx x F dx b
0 ,
x F x t u
x f x u
k k
∫
x
x k x f dx x
x k a
0 0
a
0
cos ) (
l
x k x F a k b dx l
x k x F dx l
x k l
a k b
π
l
x k l
at k b l
at k a
k
k k
π π
l
x n n
l t x u
) 1 ( 8
) , (
1 2
+ +
2
x
u a t
x u
) (
( ) ( )
= +
= +
) 6 ( 0
) (
"
) 5 ( 0
) (
"
2T t a t T
x X x X
λ λ
Trang 5øng víi trÞ riªng λ = 0 th× (6) cã nghiÖm : T0(t) = B0t + D0
nªn ta cã nghiÖm riªng cña (1) u0(x,t) = a0 + b0t (a0 = A0D0; b0= A0B0) (8)
⇒ (10)
Tõ (8),(9),(10)
ta cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn (2) chÝnh lµ tæng cña c¸c
nghiÖm riªng cña u(x,t) :
Tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu (3) :
(11)
( '
0 )
( '
1
1
c l X
c l X
−
= +
0 sin 0
cos sin
0 cos sin
0 ) cos(
) sin(
0 ) cos(
) sin(
2
1 2
1
2 1
2 1
2 1
cl c
cl c cl
c cl c
cl c cl c cl
cc cl c
cc x
u
cl cc
cl cc
c x
λ
( )
l
at k D l
at k B t
T k = kcos π + ksin π
( )
l
x k l
at k b l
at k a t x
k k k
D A b
B A a
2
) 1 2
2
) 1 2
x
2
) 1 2 (
D l
at n
B t
2
1 2 sin 2
1 2
at n
b l
at n
a t x
2
) 1 2 ( sin 2
) 1 2 ( sin 2
) 1 2 ( cos
n n n
D A b
B A a
l
x n
l
at n
b l
at n
a l
x k l
at k b l
at k a t
k
k k
2
1 2 sin 2
1 2 sin 2
1 2 cos
cos sin
cos )
,
(
0
1 0 0
π π
π
π π
x n a
l
x k a a
0 1
Trang 6v× uk(x,t) lµ 1 nghiÖm riªng cña (1) nªn uk(x,0) = - εx
Nh©n 2 vÕ víi cos vµ lÊy tÝch ph©n 2 vÕ cËn tõ (-l →l)
VT =
0 2
) 1 2 ( sin 2
) 1 2 ( cos
0 1
0 0
= + +
+ +
a n b l
x k b l
a k b
t
u
n n k
k t
π π
π π
dx x dx
l
x n a
dx l
x k a dx a
l
l
l
l n l
l k l
2
) 1 2 ( sin cos
dx x dx
x x
x k x dx
l
x k a
l
l
l
l k
π ε
k k
l x
a dx l
x k a
k l
l k
)
2 cos 1 ( 2
dx l
x k x
x k k
l l
x k x k
π π
Trang 7Tõ (4), (9), (17) ta cã nghiÖm cña (1) :
Bµi 9: T×m nghiÖm cña ph¬ng
tr×nh Víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu ban ®Çub»ng 0 vµ ®iÒu kiÖn biªn ;
Gi¶i :
T¬ng tù bµi 8) ta t×m nghiÖm cña pt (1)
0
3 2
0 0
k
l k shl k
l dx l
x k chx k
l l
x k shx k
π π
x k chx I
l
∫
= 0
2 0
0
k
l dx l
x k shx k
l l
x k chx k
π
π π
π
shl l I
k
l I
k
l shl
k
l I
k
1 )
1 (
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
) 1 (
π
π
k l
k shl l I
1 2
2 2
1 1
2
2 ) 1 ( 2 ) 1 (
) 1 ( ) 1 ( 2
π
π π
π
π
k shl b k
a
shl b k
l
k shl l k
shl l l
a
b a
k k
k k
− +
at k k
l a
k shl b k
a
b t
x W
at k k
l
k a
shl b l
x k l
at k k
a
b shx shl l
π
) 1 ( 2
sin cos
) 1 ( 2 )
,
(
1 2
1 2
− +
2
2 2 2
2
l x bx x
u a t
2
2 2 2
2
l x bx x
u a t
2
2
l x bx t
2
x
W t
Trang 8nÕu k=2nnÕu k=2n+1
Ta cã ®iÒu kiÖn ban ®Çu cña pt (3) : (8)
Mµ ph¬ng tr×nh (5) cã nghiÖm :
(9)
Tõ (2) vµ (8) ⇒ (10)
2
2 3
) ( ' )
(
2 1 3 4
6 12
1
4 4 2
12
0 6
12 ) (
0 )
0 (
l
b c
l c
bl l
b l
V
c V
x
bl x
bl x
b x
V
12 6
12 ) (
3 3
−
=
=
= 0
12 6
12
0
3 3
4 0
t
t
t V
x l
b x
bl x
b V
( )
l
x k l
at k b l
at k a t
x w
π π
cos ,
) 2
( 12
0
3 2 3 0
0
t
t t
t W
l lx x x
b V
sin
) 2
( 12 sin
1
3 2 3 1
k k
k
k k
b l
x k b l
a k
l lx x x
b l
x k a
π π
π
0
3 3 4
6 sin
2
b dx l
x k x l lx x l
0
3 3 4 1
l
x k l
l x x k
l l
x k x l l x x k
3 3 4
+ +
l x x k
3 2 3
k
l l
x k l l x x k
l k
π
π π
2 0
3 2 3
l
x k xl x
k
2 2
−
l
x k l x k
l l
x k xl x k
l k
π
π π
12 cos
12
0 0
2 2
2 2
l
x k l x k
12
0 3 3
l
x k k
l l
x k l x k
l
0 2
2 2 0 3
3
3
cos
2 sin
π
n l
Trang 9⇒ (11)
Thay (11) vào (9) : (12)
động của sợi dây gắn chặt tại 2 mút biết dạng của sợi dây ban
đầu là cung parabol f(x) = và vận tốc ban đầu bằng không , đồng thời g(x,t)
= g với g là hằng số dơng đủ nhỏ
Giải :Ta tìm nghiệm của phơngtrình (1) thoả mãn các điều kiện biên
(2)
và các điều kiện ban đầu
(3)
dới dạng : u(x,t) = V(x,t) + w(x,t) (4) trong đó :
hàm V(x,t) thoả mãn phơng trình : (5)
4
) 1 2 (
8
π +
) 1 2 ( sin ) 1 2 ( cos 8
) , (
l
x n l
at n
bl t x W
π π
π
∑∞
+ +
+ +
2 3
) 1 2 (
) 1 2 ( sin ) 1 2 ( cos 8
) 2
( 12 ) , (
l
x n l
at n
bl l
lx x x
b t
x u
π π
π
( )
M
x l
x −
g x
u a t
0
; 0
x l x u
g x
v a t
0
; 0
Trang 10(7)
còn hàm w(x,t) thoả mãn phơng trình : (8)
Trớc hết ta giải phơng trình (5) thoả mãn điều kiện (6) :
Nghiệm của phơng trình (5) đợc tìm dới dạng :
Giả sử g có thể khai triển đợc thành chuỗi Fourier theo hàm sin trong khoảng
(0,l) :
trong đó(13)
2
x
w a t
x l x w
l
x k t T t
x V
k k
π
sin ) ( )
, (
a k t T
"
l
x k f g
k k
x k k
g f
l k
k
g t T l
a k t
2 2 2
k
a k
gl l
at k B l
at k A t
π π
π
Trang 11§©y lµ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp hai cã hÖ sè lµ h»ng sè , phong tr×nh nµy cã
cã :
(17)
Ta biÕt nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (8) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn (9) lµ :
=
( )0 2 [1 ( )1 ] 0 23 3 2 [ ( )1 1]
2 2
3 3
k
k k
k
a k
gl A
a k
gl A
T
π π
k
a k
gl l
at k a
k
gl t
2 2
3 3
2
−
− +
( )
( )3 2
3
2
1 2
1 2 cos 1 4
at n
a
gl t
T n
π π
x n l
at n
n a
gl t
x V
n
π
π π
1 2 sin 1
2 cos 1 1 2
1 4
) , (
2 3
at k b l
at k a t
x W
k
k k
π π
cos )
, (
x k a w
k k t
0 sin
.
0 0
a k t
w
k k
dx l
x k a
l l
k
π π
sin
1 sin
0
2 2
l
x k x l k
l l
x k x lx k
l M
k
l
x k k
l l
x k x l k
l Ml
a
0 2
2 2 0
cos
2 sin
2
π
π π
(cos 1)
4
3 3
4
3 3
2
−
− π
Trang 12
Nghiệm của phơng trình : (2.1) trong miền ( 0<x<l , 0<t≤T), thoả mãn các
điều kiện biên : (2.2) ( 0≤t≤T )
và các điều kiện ban đầu :
(2.3) ( 0≤x≤l )
dới dạng u(x,t) = V(x,t) +
W(x,t) (2.4)
trong đó , hàm V(x,t) thoả mãn phơng trình : (2.5) trong miền ( 0<x<l , 0<t≤T ) , thoả
mãn các điều kiện biên :
(2.6) ( 0≤t≤T )
và nghiệm của phơng trình (2.5) đợc tìm dới dạng:
V(x,t) = X(x).T(t) (2.7)
còn hàm W(x,t) thoả mãn phơngtrình : (2.8) trong
miền (0<x<l,0<t≤T) , thoả mãn các điều kiện biên :
8
π +
=
⇒
x n l
at n
n M
l
n
π
π π
1 2 sin 1
2 cos 1 2
1 8
at n n
M l l
x n l
at n n
π
π π
1 2 sin 1
2 cos 1 2
1 8
1 2 sin 1
2 cos 1 1 2
1 4
2 3
2
+ +
+ +
g l
at n
a
g M n
l t x u
n
π
π π
1 2 sin 1
2 cos
2 1 2
1 4
) ,
2
x
u a t
u x f u
2
x
v a t
2
x
w a t
v t
u t
w
x f v u w
t t
t
t t t
1 0 0
0
1 0 0 0
Trang 13Việc giải phơng trình (2.8) thoả mãn điều kiện biên (2.9) hoàn toàn giống phơng
pháp của dạng 1 ở phần 1.1
Sau đây là một số bài tập :
Bài 1 : Xác định dao động của 1 dây gắn chặt ở mút x = 0 còn mút x = l chuyển
động theo quy luật Asinωt, biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng 0
Giải :
Gọi u(x,t) là độ lệch của dây ở thời điểm t
⇒ phơng trình dao động :
(1) trong miền
Thoả mãn điều kiện biên : ; (2)
Thoả mãn điều kiện đầu : ;
thỏa mãn điều kiệnbiên : ; (6)
v(x,t) thoả mãn phơng trình thuần nhất (7)
thỏa mãn điều kiệnbiên : (8)
và thỏamãn điềukiện đầu : (9)
Ta tìm nghiệm w(x,t) của phơng trình (5) dới dạng : W(x,t) = X(x).T(t) (10)
Thay (10) vào (5) ta có :
Từ (6) và (10) ta có :
Để có nghiệm không tầm ờng tức T(t) ≠ 0 thì X(0) = 0; X(l) = B (13)
th-Khi đó :
(14)Thay (14) vào
(12) : ⇒λ =
Thay λ =vào (11) :
2
x
u a t
l x
2
2 2 2
2
x
w a t
2
x
v a t
0
0 0
0
l x
x x
x
v
w u
0 0
0 0
t t
t t
t t
t
w t
w t
u t
v
w v
) 12 (
) 11 ( 0 ) ( )
(
"
0 ) ( ) (
= +
t T a t T
x X x X
λ
λ
0 ) ( ).
0 (
= X T t
w x
t A t T l X
w x=l = ( ) ( ) = sin ω
t B
A t
T( ) = sin ω
0 sin
A
ω λ
rx
e x
a
a
r a
a
x c
a
x c
Trang 14⇒⇒ (15)
Tõ (10),(14), (15)
NghiÖm cña ph¬ng tr×nh (7) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn (8) cã d¹ng:
(18)
Tõ (9) vµ (17) ta cã ®iÒu kiÖn ban ®Çu cña (7) : (19)
Tõ (18) vµ (19) ta cã :
(20)
(21)Gi¶i (20) : ak = 0
(22)
Gi¶i (21) :
l c
l X
c X
sin )
(
0 )
0 (
2
1 ω
a l
B c
sin
x a
l
B x
sin
A a x a
l
B t
x
sin
) ,
x a t a
l
A t
x
ω sin .sinsin
) ,
t W W
t
t
sin
sin 0
0
0
ω
ω ω
l
ax k l
at k b l
at k a t
x V
k
k k
π π
cos )
, (
t V V
t
t
sin
sin 0
l
x k l
a k b
k
sin
sin sin
ω ω
x k a x a
l
A dx
l
x k l
a k b
l l
k
π
ω ω
ω π
sin sin
sin
A l
l
a k
sin
.
π
dx x l
k a
x l
k a
dx l
x k a
x I
l l
cos cos
2
1 sin
.
dx x l
k a
x l
k a
l l
cos cos
x l
k a l
k a
x l
k a l
k
sin
1 sin
1 2
π ω
π
ω π
k a l
l
k a
k a l
π ω
π ω π
ω
π
sin 2 1
2 2
sin ) 1 ( 2
sin ) 1 ( 2
sin ) 1 (
l
k a l
l
k a
a l
l
k a
a
k
π ω
π ω π
ω
ω π
ω ω
1 2
2 1
.
2 ) 1 ( sin
) 1 ( sin 2
l
k a
l a
A l
k a
l
a
l k
a l
A a k
k k
π ω
ω π
ω
ω π ω
ω π
Trang 15thay (22), (23) vào (18) ta đợc:
(24)
Từ (4), (16), (24)
ta có nghiệm của bài toán đẵ cho :
chất mà 1 mút cố định, còn mút kia chịu tác dụng của lực Q(lên một đơn vị diện
tích) dọc theo thanh, biết độ lệch và vận tốc ban đầu bằng 0
Giải :
Ta có phơng trình dao động của thanh : (1)
thoả mãn điều kiện đầu : ; (2)
thoả mãn điều kiện biên : - 1 đầu mút
cố định
- 1 đầu mút chịu tác dụng của 1 lực Q lên 1 đơn vị
diện tích : ⇒ (3)
Ta tìm nghiệm dới dạng : u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) (4)
Trong đó hàm v(x,t) thoả mãn
ph-ơng trình thuần nhất : (5) thoả mãn điều kiện
còn hàm w(x,t) thoả mãn phơngtrình : (7)
thoả mãn điều kiện
at k l
k a
l a
A t
x V
k
π ω
.
2 ) , (
at k l
a k l
Aa a
l
t x a
A t x U
k
π ω
ω ω
ω
ω
sin sin
) 1 ( 2
sin
sin sin )
, (
=
2
2 2 2
2
x
u a t
u E
l x
u
l x
2
x
v a t
Q x
v
l x
2
x
w a t
x w
0
= = − t
t v w
w
) 12 (
) 11 ( 0 ) ( )
(
"
0 ) ( ) (
= +
t T a t T
x X x X
λ λ
0 X(0).T(t)
B l
X' ( ) =
E B
Q t T
)
0 c X(0)
1
2 x B x
X( ) = ⋅
x E
Q t x
V( , ) =
Trang 16⇒ Điều kiện ban đầu của phơng trình(5) là : (15)
* Theo lý thuyết ,phơng trình (7) thoả mãn điều kiện biên (8) có nghiệm :
W(x,t) =
Ta có điều kiện ban đầu
Từ (16) và (17) ta có nghiệm của phơng trình (7) thoả mãn điều kiện (8),(9) là:
(18)
Từ (14) và (18) ta có nghiệm của bài toán :
II – Phơng trình sóng 2 chiều :
Dạng 3 : Dao động của màng hình chữ nhật
Ta tìm nghiệm của phơng trình :
(3.1)
trong miền {(x,y)∈G , 0<t≤T}
V
x E Q
l
x k l
at k
b l
at k
a
k
k k
2
) 1 2 ( sin 2
) 1 2 ( sin 2
) 1 2 ( cos
0
π π
) 1 2 ( sin
k k
E
Q l
x k a
=
∂
∂
0 0
0 0
2
) 1 2 ( sin 2
) 1 2 (
k
k k
t
b l
x k l
a k b t
dx l
x k x
E
Q dx l
x k
l k
2
) 1 2 ( sin 2
) 1 2 ( sin
0
2 0
x k k
l x
a dx l
x k
) 1 2 ( cos 1 2
l
x k
k
l k
l l
x k
2)
12(
22
)12(cos)12(
.2
0
ππ
π
ππ
++
++
++
−
( ) ( )2 2
2 2
2
2 2
1 2
4 1 2
) 1 2 ( sin )
1 2 (
4 2
) 1 2 ( cos ) 1 2 (
2
π
π π
+
+ +
−
k
l x
k k
l x
k k
( ) ( )2
1 2
1 2
1 8
Ql a
k
k π
l
x k l
at k
k E
QL t
x W
k
k
2
) 1 2 ( sin 2
) 1 2 ( cos ) 1 2 (
) 1 ( 8
) , (
1 2
π
π π
+ +
at k
k E
QL x E
Q t x U
k
k
2
) 1 2 ( sin 2
) 1 2 ( cos ) 1 2 (
) 1 ( 8
) , (
1 2
π
π π
+ +
+
− +
2 2 2
2
y
u x
u a t u
Trang 17thoả mãn các điều kiện ban đầu :
(3.2)
với xác định trong miền G
và thoả mãn các điều kiện
biên :
(3.3)
dới dạng : u(x,y,t) = V(x,y).T(t) (3.4)
Khi đó ta có các phơng trình:
Từ (3.3) và (3.4) ta có: (3.7)
trong đó hàm V(x,y) có dạng : V(x,y)=X(x).Y(y) (3.8)
Từ (3.6) và (3.8) ta đợc : với
Giải (3.9) ,(3.10) và kết hợp
điều kiện (3.7) ta tìm đợc nghiệm V(x,y)
ứng với trị riêng λ ta hoàn toàn tìm đợc nghiệm của phơng trình (3.5)
Sau đây là một số bài toán cụ thể :
Bài 1: Một màng hình vuông
đồng chất lúc t = 0 có độ lệch
đợc xác định bởi trong đó 0 ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ b, dao động với vận tốc ban đầu bằng
0, mép gắn chặt Hãy xác định dao động của màng
Giải :
Gọi u(x,y,t) là độ lệch của màng tại điểm (x,y) ở thời điểm t TMPT
(1)
thoả mãn điều kiệnban đầu : (2)
và thoả mãn điều kiện biên : (3)
Ta tìm nghiệm riêng của (1) thoả mãn điều kiện biên (3) có dạng :
∂
∂ +
∂
∂
= +
) 6 3 ( 0
) 5 3 ( 0 ) ( )
( '
2
2 2 2
2
v y
v x
v
t T a t T
λ
λ
) , (x y ,y∈G =
= +
) 10 3 ( 0 ) ( ) (
"
) 9 3 ( 0 ) ( ) (
"
y Y y Y
x X x X
β
) )(
2 2 2
2
y
u x
u a t
b y
b x
0 0 0
) (
x b Axy u
, ( ) (
y
v x
v a y x V t T
T a
t T
) (
) (
"
2
0 0
) (
c T t V V
) 6 (
) 5 ( 0
0 ) ( ) (
∆
= +
V V
t T a t T
λ λ
Trang 18víi
⇒ Gi¶i (9) :
⇒ lµ hµmriªng cña (6) øng víi trÞ riªng :
⇒ nghiÖm riªng cña (1) :
Ukn(x,t) = (akn cos cknat + bkn sin cknat) sin sin
nªn ta cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) :
U(x,t) =(akn cos cknat + bkn sin cknat) sin sin (12)
Tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu : NhËn thÊy akn
lµ hÖ sè trong khai triÓn Axy(b - x) thµnh chuçi Fourier Nh©n 2 cña (12) víi sin sin vµ lÊy tÝch
"
) ( ) ( ) (
" x ⋅Y y + X x ⋅Y y + X x ⋅Y y =
) (
) (
"
) (
) (
y Y
y Y x X
x X
) 9 (
) 8 ( 0 ) ( ) (
"
0 ) ( ) (
= +
y Y y Y
x X x
X
β α
0 ) 0 ( 0
) ( ) (
0 ) ( ).
0 (
b X
X y
Y b X
y Y X
0 ) 0 ( 0
) ( ) (
0 ) 0 ( ).
(
b Y
Y b
Y x X
Y x X
cx c cx c x
c cb
c b X
c X
π
1 0
sin )
(
0 )
0 (
2 2
1
b
x k x
X( )=sin .π.
b
y n y
Y( )=sin .π.
b
y n b
x k y
x
V( , )=sin π sin .π.
2 2
2 2 2 2 2
kn
c b
n k b
n b
sin
sin
) 13 ( ) )(
(
sin
sin
1 1 0
1 1 0
kn kn
k k t
k k
kn t
b b
y n b
x k b a t
u
y b x b Axy b
y n b
x k a u
π π
π π
y n b
x k y b x b xy A dxdy
b
y n b
x k
b b
kn
sin
sin ) )(
(
sin
sin
0 0 2
2
0 0
π π
b
x k a
0
4
π π
b b
kn
b
y n n
b y b
x k k
b x a
0 0
2 sin 2
2 sin 2
2
4 b
a kn