M là điểm trên đường chéo BD.. Hạ ME góc với AB và MF vuông góc với AD.. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui.. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhấ
Trang 1UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán - Lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1: ( 2,5 điểm)
a Cho:
2 2
A
- Thực hiện rút gọn A
- Tìm x nguyên để A nguyên
b Chứng minh: a + b = c thì a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2
Bài 2: ( 1,5 điểm)
a Chứng minh: a2 + b2 + c2≥ ab + ac + bc với mọi số a, b, c
c
ab b
ac a
bc+ + ≥ + + với mọi số dương a, b, c
Bài 3: (1,5 điểm)
Giải phương trình:
6
42 12 4
20 8 8
72 16 2
6
2
+
+ + + +
+ +
= +
+ + + +
+ +
x
x x
x
x x x
x x
x
x x
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD M là điểm trên đường chéo BD Hạ ME góc với AB
và MF vuông góc với AD
a Chứng minh DE ⊥ CF; EF = CM
b Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui
c Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác Đường thẳng qua trung
điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F
Chứng minh BF = CE
Trang 2UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010 Môn: Toán - Lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: ( 2,5 điểm)
5
4 2 ) 2 )(
5 (
2 2
1 2
−
−
−
−
−
−
− +
−
=
x
x x
x
x x x
A
Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2
0,25
) 2 )(
5 (
15 8 )
2 )(
5 (
2 )(
4 2 ( 2
−
−
− +
−
=
−
−
−
−
−
−
− +
−
=
x x
x x x
x
x x x
x x
2
3 2
)(
5 (
) 3 )(
5 (
−
+
−
=
−
−
−
−
−
=
x
x x
x
x x
1
x A
− − +
A nguyên khi và chỉ khi 1
2
x − nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1
⇒ x=3, hoặc x=1
0,25
Đặt P = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 -2 b2c2 - 2a2c2
= (a2 + b2 + c2 )2 - 4a2b2 - 4b2c2 - 4a2c2 0,25
Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
= (2a2 + 2b2 + 2ab )2 - 4(a2b2 + b2c2 + a2c2) 0,25
= 4[(a2 + b2 + ab)2 - a2b2 - c2(a2+b2)] 0,25
Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab + a2b2 - a2b2 -(a+b)2 (a2+b2)]
= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab -(a+b)2(a2+b2)]
0,25
= 4(a2+b2)[ (a2+b2) +2ab -(a+b)2]
= 0 ⇒ a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 0,25
Bài 2: ( 1,5 điểm)
⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 -2ab -2ac - 2bc ≥ 0 0,25
⇔ (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2≥ 0
Bất đẳng thức cuối luôn đúng (Do (a-b)2≥ 0 …) nên có đpcm
0,25 Câu b
abc
ab abc
ac abc
bc)2 +( )2 +( )2 ≥ + +
Nhân hai vế với số dương abc được:
⇔ (bc) 2 + (ac) 2 + (ab) 2 ≥a2bc+b2ac+c2ab
0,25
Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có: (bc) 2 + (ac) 2 + (ab) 2 ≥
ab c ac b
bc
a2 + 2 + 2 ⇒ đpcm
0,25
Trang 3Bài 3: (1,5 điểm)
⇔
6
6 ) 6 ( 4
4 ) 4 ( 8
8 ) 8 ( 2
2
)
2
+
+ + + +
+ +
= +
+ + + +
+
+
x
x x
x x
x x
x
0,25
4
4 4 8
8 8 2
2
2
+ + + + + + +
= + + + + +
+
+
x
x x
x x
x x
+
= +
+
x ⇔ 12 48 24+ +36
+
= +
+
x
⇔( 52)(16 8) = ( +54)(+24+6)
+
+
+
x x
x x
x
⇔ (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)
⇔ (5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)( x2 +10x + 16) 0,25
⇔ 5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24
= 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16
⇔ 8x2 + 40x = 0
0,25
⇔ 8x(x + 5) = 0
x = 0; x = -5
Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm
0,25
Bài 4: (3,0 điểm)
Câu a: 1,25 điểm
⇒ ADE = DCF
⇒ EDC + DCF = EDC + ADE
0,25
EDC + ADE = 900 nên DE ⊥ CF 0,25
MC = MA (BD là trung trực của AC) 0,25
MA = FE nên EF = CM
0,25
Câu b: 1,0 điểm
ED, FB và CM trùng với ba đường cao của ∆FEC nên chúng đồng qui 0,25
Câu c: 0,75 điểm
C D
M
E F
Trang 4Bài 5: (1,5 điểm)
Trong ∆BMF có AD//MF nên:
BD
BM BA
Trong ∆CAD có AD//ME nên:
CD
CM CA
Chia vế theo vế được:
CM
CD BD
BM CE
CA BA
BF
.
BD
CD CE
CA BA
BF =
AD là phân giác nên:
AB
AC BD
Thay vào trên được:
AB
AC CE
CA BA
BF =
BF CE
CE
BF = ⇒ =
0,25
A
E F