Đáp an HSG Toán 9 Hai Dương 2011

Các đường cao AH, BD, CF cắt nhau tại I.. Gọi E là trung điểm của DH.. Đường thẳng qua C và song song với AH cắt BD tại P; đường thẳng qua C và song song với BD cắt AH tại Q.. Chứng minh

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 – 2011

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 27/03/2011 (Đề thi gồm có 01 trang)

Câu 1 (1,5 điểm)

Phân tích đa thức 4(1+x)(1+ y)(1+ +x y) 3− x y2 2 thành nhân tử

Câu 2 (2,5 điểm)

a) Giải phương trình 2x2 +7x+10+ 2x2+ + =x 4 3(x+1)

b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

 +



 +





=

 +



2

2

2

2

2

2

4

1 4 4

1 4 4

1 4

x

y x y

z y z

x z

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau :

2011 2011

x y

y z

−

− là số hữu tỉ và

2 2 2

x + y +z là số nguyên tố

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 20y2 −6xy =150 15− x

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có trung tuyến CM Các đường cao AH, BD, CF cắt nhau tại I Gọi E là trung điểm của DH Đường thẳng qua C và song song với

AH cắt BD tại P; đường thẳng qua C và song song với BD cắt AH tại Q

a) Chứng minh PI.AB = AC.CI

b) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDH Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) CE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại R (R khác C); CM cắt đường tròn (O) tại K (K khác C) Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR

Câu 5 (1,0 điểm)

a) Chứng minh 11 11 2 , , 0

x + y ≥ xy ∀ >

b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện 1 , , 2

2≤a b c≤ Chứng minh 22

15

a b b c c a+ + ≥

………Hết………

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:……… Chữ kí của giám thị 1:………Chữ kí của giám thị 2:………

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH MÔN TOÁN LỚP 9 – THCS NĂM HỌC 2010 – 2011

+ Đáp án gồm có 05 trang

+ Thí sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho đủ điểm thành phần tương ứng

1

Phân tích đa thức 4(1+x)(1+y)(1+ +x y) 3− x y2 2 thành nhân tử 1,50

A = 4(1 + + +x y xy)(1 + + −x y) 3x y2 2 0,25

4(1 x y) 4(1 x y xy) 3x y

2 a Giải phương trình 2x2+7x+10 + 2x2 + + =x 4 3(x+1) (1) 1,50

x + x+ = x+  + > x + + =x x+  + > ∀ ∈x

Vậy TXĐ: ¡

- Nếu x+ ≤ ⇔ ≤ − 1 0 x 1 thì VP(1) ≤ 0, VT(1) 0 > (không thỏa mãn)

0,5

- Nếu x+ > ⇔ > − 1 0 x 1 thì (1)

Từ (1) và (2) suy ra 2 2x2 + + =x 4 3x+ 1

0,5

2

3

x

Thử lại Với x = 3 thì VT(1) = VP(1) = 12

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 0,25

- Nếu x = 0 thì hệ có nghiệm (x ; y ; z) là (0 ; 0 ; 0) 0,25

- Nếu x≠ ⇒ ≠ 0 y 0;z≠ 0 Ta có :

2

2

2

2 2

4 4

4 4

4

x

y

z

= +

= +

=





0,25

Cộng theo vế các phương trình của hệ ta được 0,25

2 2 2

2

 − + + − + + − + =

⇔ − ÷ + − ÷ + − ÷ =

1 2

⇔ = = = Thử lại ta thấy 1

2

x= = =y z thỏa mãn hệ pt đã cho.

Vậy hệ có 2 nghiệm (x ; y ; z) là (0 ; 0 ; 0), 1 1 1; ;

2 2 2

 .

0,25

3 a Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 1,00

Ta có 2011 (1)

2011

n

y z

− , trong đó m, n là các số nguyên thỏa mãn

n > 0, (m, n) = 1

(1)⇔nx my− = 2011 ny mz− (2)

0,25

Vì 2011 là số vô tỉ và m, n, x, y, z là các số nguyên nên ta có

(2) <=> nx – my = ny – mz = 0 nx my xz y2

ny mz

=



Ta lại có : 2 2 2 ( )2 2

2

x + y +z = +x z − xz y+

x z y x y z x y z

= + − = + + − +

Vì x2 + y2 + z2 là số nguyên tố và x + y + z là số nguyên lớn hơn 1

nên x – y + z = 1 Do đó x2 + y2 +z2 = + +x y z (3)

0,25

Nhưng x, y, z là các số nguyên dương nên x2 ≥x y; 2 ≥ y z; 2 ≥z

Suy ra x2 = x, y2 = y, z2 = z => x = y = z = 1

Khi đó 2011 1

2011

x y

y z

x + y +z = (thỏa mãn) Vậy (x ; y ; z) = (1 ; 1 ; 1) thỏa mãn yêu cầu bài toán

0,25

b Tìm nghiệm nguyên của phương trình 20y2−6xy=150 15− x 1,00

Ta có : 150 – 15x = 20y2 – 6xy <=> 6xy – 15x = 20y2 – 150

<=> 3x(2y – 5) = 5(4y2 – 25) – 25

<=> (2y – 5)(10y + 25 – 3x) = 25

Xét 6 trường hợp sau

0,25

)

)

0,25

70

2

y



+ − = −

0,25

3

x y

= −



− = −

70



+ − =

)

Vậy phương trình có 3 nghiệm (x ; y) là (10 ; 3), (58 ; 15), (10 ; 0)

0,25

Chứng minh ·PCB= 90 0

1 90

ACB C

Ta có :

0

1 90

(1)

P C

ACB P

+ =

1

H Q P

I

M F

E D

C

B A

0,25

Chứng minh tứ giác ADIF nội tiếp ⇒CAB PIC· =· (2) 0,25

Từ (1) và (2)⇒ ∆PIC: ∆CAB g g( ) 0,25

b Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn (O) 1,00

Chứng minh tứ giác CDIH nội tiếp đường tròn (O)

·DCI

ADB

∆ có DM là đường trung tuyến

MDB

Ta lại có ⇒ ·MBD DCI= · (cùng phụ với ·CAB) (5) 0,25

Từ (4) và (5) ⇒MDB DCI· = · (6)

Từ (3) và (6) suy ra MD là tiếp tuyến của đường tròn (O) 0,25

c Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR 1,00

c

MD là tiếp tuyến của (O)

2

2

.

( ) (7)

:

R

K

C

I

H

0,25

Chứng minh tứ giác ADHB nội tiếp

( )

:

:

0,25

Ta lại có : ·ACR ABR= · (9)

Từ (7), (8), (9) ⇒MBK· = ·ABR⇒ BA là phân giác của ·KBR 0,25

Chứng minh tương tự ta được AB là phân giác của ·KAR

Từ đó suy ra AB là đường trung trực của KR 0,25

5

x + y ≥ xy ∀ >

0

0,25

2

1

BĐT cuối cùng đúng do xy≥ 1

Đẳng thức xảy ra ⇔ =x y hoặc xy= 1

0,25

15

a b b c c a+ + ≥

(2)

15

Đặt x b, y c, z a

= = = thì 1 , , 4

4 ≤x y z≤ và xyz= 1

BĐT trở thành 1+1x+1+1y+1+1z≥1522

Không giảm tổng quát, giả sử z nhỏ nhất suy ra xy≥ 1 Theo câu a

2

, 1

t

z

0,25

Ta sẽ CM 2

t

t

t +t ≥ ∀ ≤ ≤ + + Bằng biến đổi tương đương

BĐT cuối cùng đúng do 1

2

t≥ và 4t2 − + > ∀ 9t 7 0, t

0,25

- Hết