BÀI TẬP LÝ THUYẾT SAI SỐ

Hãy tính sai số trung phương giá trị trung bình cộng khoảng cách.. Hãy tính sai số trung phương tương đối của trị trung bình cộng khoảng cách 100m.. Hãy xác định sai số trung phương và k

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

BÀI TẬP LÝ THUYẾT SAI SỐ.

Giáo viên: Đoàn Thị Bích Ngọc.

Sinh viên: Nguyễn Văn Nhựt MSSV: 0250030258

Biên Hòa, ngày 7 tháng 5 năm 2015

CHƯƠNG I: Khái quát các thành phần lý thuyết xác suất và thống kê

3 (

!10(3

!103

0128

15)

5.0()5.0(

k

82.23)

18 1 )

(t2 =F − =

F

3434.0005.0345.0)()()(x1 ≤x ≤x2 =F t2 −F t1 = − = =

Với

1

1 2

n

n

k t

σ σ

λ

.

.1

Sai số thực (mm) khoảng cách đo bằng thước thép 10 lần đo là:

-1, 3, -2, 0, 2, -2, 1, -3, 4, -1 (mm) Hãy tính sai số trung phương một lần đo

Bài tập 3:

Sai số thực (mm) khoảng cách đo bằng thước thép 10 lần đo là: -1, 3, -2, 0,

2, -2, 1, -3, 4, -1 (mm) Hãy tính sai số trung phương giá trị trung bình cộng khoảng cách

Bài tập 4:

Sai số thực (mm) khoảng cách đo bằng thước thép 10 lần đo là: -1, 3, -2, 0,

2, -2, 1, -3, 4, -1 (mm) Hãy tính sai số trung phương tương đối của trị trung bình cộng khoảng cách 100m

Trị trung bình cộng đo từ 14 lần đo góc A là 90 0 30 ' 12 '', sai số trung phương

đo góc mỗi lần đo là 3" Hãy xác định sai số trung phương và khoảng tin cậy của trị trung bình cộng với xác suất 95%

Bài tập 8:

Biết điểm A có tọa độ xA = 500.00m; yA = 500.00m, khoảng cách AB là

SAB = 500.00m, sai số trung phương đo cạnh AB là m S AB = ± 2mm; phương vị

cạnh AB là αAB =300và sai số trung phương phương vị mαAB =±3" Đo

khoảng cách BC được SBC = 1000.00m và sai số trung phương đo cạnh SBC là

mm

m S BC = ± 7 , góc β = 125 0và sai số trung phương đo góc mβ =5"Tính:+ Tọa độ điểm B và C

+ Tính sai số trung phương vị trí điểm B và C

Giả sử điểm A không có sai số

Bài tập 9:

Trong tam giác ABC người ta đo:

+ Góc A = với sai số trung phương 20"

+ Góc B= với sai số trung phương 20"

+ Cạnh BC = 135.45 m với sai số trung phương tương đối 1/2000

a Tính sai số trung phương góc B

b.Tính sai số trung phương tương đối độ dài cạnh AC

"

'

0304950

"

'

0502960

 Trị trung bình cộng không tính đến cực đại: x1= 80030’46.04”

 Trị trung bình cộng không tính đến cực tiểu: x2= 80030’46.4”

 Hiệu chênh giữa cực đại và trị trung bình cộng:

"

96.1

"

04.46'3080

"

48'30

1 max

"

4.46'3080

"

8.44'30

min 2

1 = =σ

Vậy không có cơ sở để nói rằng trong dãy trị đo βmax, βmin có tồn tại sai số thô

=> Không có cơ sở để loại bỏ dãy trị đo

(9.

2 2

10 2

mm n

m

Vậy sai số trung phương giá trị trung bình cộng khoảng cách là

) ( 7

mS = ±

107

β

 Công thức:

2 2

2

3 2

2

1

3 2

2 1

β β

"

5 ( )

β β

DH AB h

a

S = × = × = ×sinβ×

)(72.1593350

sin160

Vậy diện tích lô đất là 15933.72 m2

Theo đề bài ta có sai số trung phương tương đối đo cạnh:

13010000

10000

1

mm m

S m

S

AB AB

⇒

Sai số trung phương cạnh AB: m AB =±13 mm( )

)(16)(016.010000

16010000

10000

1

mm m

S m

S

AD AD

 Sai số trung phương diện tích:

2 2

2 2

β

S m

AD

S m

AB

S

∂+

0

2 3 2

0 2

3 2

0 2

206265

650

cos160

130

101650

sin13010

1350

sin160

S

m

)(29

Vậy sai số trung phương xác địnhdiện tíchlà :m S =2.28(m2)

 Sai số trung phương tương đối xác định diện tích:

47.6988

172

.15933

28.21

1

1 =

T

BC

m

mm m

m

S

m y

m

x

BC AB

S AB

A A

AB AB

Giải:

Tính tọa độ điểm B và C

Ta có:

)(013.93330

cos500500

=

×+

=

×+

)(75030

sin500500

=

×+

=

×+

Vậy tọa độ điểm B(933.013m; 750m)

Theo cách tính góc phương vị ta có:

0 0

0 0

0

0 0

335360

180125

30

360180

=+

−+

=

+

−+

α

Suy ra:

)(321.1839335

cos1000013

=

×+

=

×+

)(38.327335

sin1000750

=

×+

=

×+

Vậy tọa độ điểm C (1839.321m; 327.38m)

Tính sai số trung phương vị trí điểm:

2 2

Ta có:

AB

AB A

2 2

AB AB

S

x m

AB

B S

AB

B

x   ∂ α   × α

∂ +

) ( 22 16

206265

3 10

500 30

sin 2

) 30 (cos

2

2 2

3 0

2 2 0 2

mm m

mm m

2 2

AB AB

S

y m

AB

B S

AB

B

y   ∂ α   × α

∂ +

) ( 66

.

40

206265

3 10

500 30

cos 2

) 30 (sin

2

2 2

3 0

2 2 0 2

mm m

mm m

2 2

β α

α α

( )

"

83.5

"

34

"

5)

"

3(

2

2 2

2 2

BC BC

S

x m

BC

C S

BC

C

x   ∂ α   × α

∂ +

) ( 93 182

206265

83 5 10

1000 335

sin 7

) 335 (cos

2

2 2

3 0

2 2 0 2

mm m

mm m

2 2

BC BC

S

y m

BC

C S

BC

C

y   ∂ α   × α

∂ +

)(95.664

206265

83.510

1000335

cos7

)335(sin

2

2 2

3 0

2 2 0 2

mm m

mm m

.66493

.182

2

m

0 3

0 3

ββ

2

3 1

2

1

3 2

2 1

β β

1045.135

mm T

S m

S

m

T

BC S

"

29'5060sin45.135sin

sin

0 0



1

2sin

sinβ

β β

2 2

cossin

β

β

β β

1 2

2

2 2

2 2

S m

S

S

S BC

2 0

0

"

49'3050

sin

"

29'5060

0

0 3

206265

20

"

49'3050sin

"

29'5060cos1045.135

0

0 3

206265

20

"

49'3050sin

"

29'5060sin1045

mm m

09.6091

26 153

04 78 1

Chương 3: Xử lí số liệu đo lặp đo kép

Bài 1: Cho kết quả đo chênh cao giữa các điểm theo phương pháp thay đổi

chiều cao máy như trong bảng Hãy tính sai số của một lần đo chênh cao và sai số trung phương của trị trung bình cộng của hai lần đo

Trạm đo Chênh cao

Bài 2: Để xác định chênh cao giữa hai điểm A và B, người ta tiến hành đo

chênh cao giữa hai điểm này với kết quả và các lần đo có số trạm máy tương ứng như trong bảng Hãy tính chênh cao gần đúng nhất và sai số trung

phương tương đối của nó

Chênh cao (m) Trạm đo

Bài 3: Để xác định chênh cao giữa hai điểm A và B, người ta tiến hành đo

chênh cao giữa hai điểm này với kết quả và các lần đo có số trạm máy tương ứng như trong bảng

a Hãy tính chênh cao gần đúng nhất và sai số trung phương tương đối của

Ta thấy: [ ]d =1〈0.25×27=6.75=[ ]d

Hay: [ ]d 〈0.25×[ ]d Vậy không tồn tại sai số thô còn dư

=> Sai số trung phương của một lần đo chênh cao là:

P

TĐ

TĐ i

i

10 10

2 1

2 1

 Tính chênh cao gần đúng nhất:

[ ]

246 88 350

P

P h h

i

i i

= +

 Tính hiệu chỉnh: vi= hAB - hi

 Tính sai số trung phương trọng số đơn vị :

8

635 188

mm P

1356

.1

10304.1

AB

Vậy chênh cao gần đúng nhất: hAB= 1.356(m)

Sai số trung phương tương đối của chênh cao gần đúng nhất:

1000

11

P

TĐ

TĐ i

i

10 10

2 1

2 1

i i

= +

mm P

1355

.1

10208.2

Chương 4: Cơ sở lý thuyết bình sai trị đo lưới trắc địa

Bài 1:

Viết hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh ( phương pháp bình sai điều kiện) và hệ phương trình số hiệu chỉnh ( theo phương pháp bình sai tham số) cho lưới độ cao sau:

Bài 2:

Viết hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh ( phương pháp bình sai điều kiện) và hệ phương trình số hiệu chỉnh ( theo phương pháp bình sai tham số) cho lưới độ cao sau:

2 1

Số liệu gốc: Số liệu đo:

HA= 1.000 (m) ; HB= 3.000 (m)

Bài giải:

Bài 1:

 Phương pháp bình sai tham số:

Gọi H1, H2 là độ cao sau bình sai của các điểm 1, 2

0

2

0

1, H

H là giá trị gần đúng của các điểm 1, 2

dH1, dH2 là gia số độ cao các điểm 1, 2

1 1

1 1

0 1 1

1

1 1 1 1

1

530 53

0 3 53

.

H dH H

v

h

H H v h H

H

h

mm A

đo

A

đo A

bs

+

= +

=

− +

=

− +

= +

⇔

−

= +

⇔

−

=

1 1

1 1

2

1 2

1

0 1 1

.0

535.1253

3

dH dH

v

dH v

H dH H

H H v

h

H H

h

mm

B B

đo

B bs

+

−

=+

=

⇒

−+

=

−

=+

3

1 2

3

1

0 1 2

0 2 1

2 3

3

1 2

3

43.253

.396

5

dH dH

v

dH dH

v

dH H

dH H

H H v

h

H H

=

⇒

−

−+

=

−

=+

4

2 4

2

0 2 4

4

2 4

5005

.0

955.196

.54

dH dH

v

dH v

dH H

H v

h

H H

h

mm

C đo

2 5

2

0 2 5

5

2 5

96.096

.55

dH

v

dH v

dH H

H v

h

H H

h

D đo

2 4

1 2

3

1 2

1 1

55

dH v

dH v

dH dH

v

dH v

dH v

mm mm

 Phương pháp bình sai điều kiện:

 Số trị đo cần thiết: t = 2

 Tổng số phương trình điều kiện: r = 5 - 2 = 3

=> Lưới có 3 phương trình điều kiện hiệu độ cao 2 điểm gốc.Gọi h là chênh cao sau bình sai các điểm độ cao i bs

vi là số hiệu chỉnh vào độ cao sau bình sai

i

h là chênh cao đo

=> Hệ phương trình điều kiện:

+

000

5 4

2 1

4 3 1

D bs

bs

C

B bs bs

A

C bs bs bs

A

H h

h

H

H h

h

H

H h

h h

−+

−

=

−

−+

−+

=+++

−+++

00

0

5 4 5 4

2 1 2 1

4 3 1 4

3 1

D đo

đo C

B đo

đo A

C đo

đo đo A

H v v h h

H

H v v h h

H

v v v H h

h h

+

−

=+

−

=++

+

000

3 5

4

2 2

1

1 4

3

1

ω ω

−

=

−

−+

=

−+++

=

D đo đo C

B đo đo A

C đo đo đo A

H h h H

H h h H

H h h h H

5 4 3

2 1 2

4 3 1 1

ωωω

+

=

)(5)(005.05960.0955.14

)(5)(005.02535.153.03

)(5)(005.04955.143.253.03

3

2

1

mm m

mm m

mm m

ω

ω

ω

(3*)Thay (2*) vào (3*) ta có:

Hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh là:

−

=

−+

−

=+

++

05

05

05

5 4

2 1

4 3 1

mm mm mm

v v

v v

v v v

Bài 2:

 Phương pháp bình sai tham số:

Gọi H1, H2, H3 là độ cao sau bình sai của các điểm I, II, III

H là độ cao gần đúng của các điểm I, II, III.

dH1, dH2, dH3 là gia số độ cao các điểm I, II, III

=

=+

=+

=

=+

=+

=

74.3740.21

815.4815.13

47.347.21

đo B

đo A

h H

H

h H

H

h H

1

0 1 1 1

1 1 1 1

1

47 2 1 47

.

H dH H

v h

H H v h H

H h

A đo

A

đo A

bs

+

=

− +

=

− +

= +

⇔

−

= +

⇔

−

=

1 1

1

1 1 1

47.247

v

h dH

=

−+

=

⇔

−+

2

2 1

2

1 2

2

1

0 1 2

0 2 2

2

1 2

2

)(5

)(005.0

35.147

.3815

4

dH dH

mm v

dH dH

m v

dH dH

v

dH H

dH H

v

h

H H

=

⇒

−

−+

=+

3

3 2

3

3

0 3 2

0 2 3

3

3 2

3

075.174

.3815

4

dH dH

v

dH dH

v

dH H

dH H

v

h

H H

=

⇒

−

−+

=+

3 1

4

3 1

4

3

0 3 1

0 1 4

4

3 1

4

5005

0

275.074

.347

3

dH dH

dH dH

v

dH dH

v

dH H

dH H

v

h

H H

=

−

−+

=

⇒

−

−+

=+

⇔

−

=

(4)

3 5

3 5

3

0 3 5

5

3

5

74.2174

H dH H

v

h

H H

h

A đo

A bs

=

⇔

−

−+

=

⇒

−+

=+

6

3 6

3

0 3 6

6

3 6

)(5005

0

745.074

.33

dH mm

dH v

dH v

dH H

H v

h

H H

h

B đo

2 7

2

0 2 7

7

2

7

815.13815

H dH

H v

h

H H

h

B đo

B bs

=

⇔

−

−+

=

⇒

−+

=+

3 6

3 5

3 1

4

3 2

3

1 2

2

1 1

555

dH v

dH v

dH v

dH dH

v

dH dH

v

dH dH

v

dH v

mm mm mm

 Phương pháp bình sai điều kiện:

 Số trị đo cần thiết: t = 3

 Tổng số phương trình điều kiện: r = 7 - 3 = 4

=> Lưới có 4 phương trình điều kiện trong đó có 3 phương trình điều kiện vòng khép kín và 1 phương trình hiệu độ cao giữa 2 điểm gốc

 Gọi h là chênh cao sau bình sai các điểm độ cao i bs

 vi là số hiệu chỉnh vào độ cao sau bình sai

 h i đo là chênh cao đo

=> Hệ phương trình điều kiện:

00

6 5

7 6

3

4 3

2

5 4

1

B bs bs

A

bs bs

bs

bs bs

bs

bs bs

bs

H h

h

H

h h

h

h h

h

h h

−++

=

−

−+

−

−

=+

−++

−

=

−

−+

−

−

⇔

0000

6 5 6

5

7 6 3 7 6 3

4 3 2 4 3 2

5 4 1 5 4 1

v v H h

h H

v v v h h h

v v v h h h

v v v h h h

B đo đo A

đo đo đo

đo đo đo

đo đo đo

Vậy hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh là:

+

=+

−

−

=++

−

=+

−

−

0000

4 6

5

3 7 6

3

2 4 3

2

1 5

4

1

ω

ω ω ω

=

−++

=

=

=

−+

)(5)(005.0815.1745.0075.1

0275.0075.135.1

)(5)(005.074.2275.0470.2

6 5 4

7 6 3

3

4 3 2

2

5 4 1

1

mm m

H h h H

mm m

h h h

h h h

mm m

h h h

B đo đo A

đo đo đo

đo đo đo

đo đo đo

=+

−

−

=+

−

=+

−

−

05

05

0

05

6 5

7 6 3

4 3 2

5 4 1

mm mm mm

v v

v v v

v v v

v v v