ÔN THI HSG 8,9 CUC HAY

Chứng minh rằng => các số hạng của tổng S chứa trong khai triển của tích :... Ba người cuối bảng đã đấu với nhau 3 trận và cos tổng số điểm bằng 3 và bằng ½ toàn bộ số điểm mà họ đạt đượ

CHUYÊN ĐỀ I: PHÂN TÍCH BIỂU THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Bài 1: Phân tích thành nhân tử:

( )

2 2

Cách 4: Khi cho x = y, y = z hoặc z = x thì D = 0

Điều này chứng tỏ D chia hết cho tích số ( x – y)(y – z)(z – x)

Căn bằng hệ số của số hạng x2, ta suy ra: D = 3(x – y)(y – z)(z – x)

Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử:

2(2)2(3)2(4)

CHUYÊN ĐỀ II: RÚT GỌN BIỂUTHỨC

12,

2

y≠ y≠ − ta có 1

2

Q y

=+

A B C rồi cộng lại vế theo vế ta có:

Giải:

n P

Bài 11: Tìm tổng của tất cả các số có hai chữ số thỏa tính chất: mỗi số chia cho 4 dư 1

Giải: Theo giả thiết, các số đã cho có dạng 4k + 1, k ∈ N và 3≤ ≤k 24

Do đó tổng tất cả các số đã cho là:

13 97

22 12102

Bài 12: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số mà tất cả các chữ số đều là số chẵn ?

Giải: Số gồm 5 chữ số chẵn được viết từ 5 chữ số:

Để chọn chữ số hàng chục ngàn, ta chỉ có 4 cách chọn

Để chọn chữ số cho 4 vị trí khác, ta có 5.5.5.5 = 625 cách

Vậy: có tất cả 2500 số gồm 5 chữ số chẵn

Bài 13: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số lẻ khác nhau

ĐS: 120

Bài 14: Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số mà tổng của hai chữ số đầu bằng tổng của hai chữ số cuối?

( Đề thi HSG toàn quốc 1983 – 1984 )

Giải:

Giả sử abcd là một trong số phải tìm Với a, b, c,d ∈N và 1≤ ≤a 9;0≤b c d, , ≤9

Theo giả thiết, ta có: a + b = c + d = n => n N∈ và 1≤ ≤n 18

Cho n lần lượt các giá trị tự nhiên từ 1 đến 18

b

3

22

HD: a.Nên rút gọn rồi thay giá trị của x

b Thay giá trị của x trước

2 2 2

16

216

a b

ab

a b P

Giải: Tổng S các hệ số của một đa thức bằng trị số của đa thức đókhi đối số lấy giá trị bằng 1.( ) ( ) (1993 )1994

Vậy tổng các hệ số của đa thức bằng 0

Bài 19: Tìm tổng S các hệ số của đa thức: ( ) ( 2 ) (2000 2 )1001

1

31,

1 3

n n

x x

Bài 27: Số sau đây là số hữu tỉ hay số vô tỉ

Hệ thức (*) chứng tỏ k là số vô tỉ Vậy: số k đã cho là một số vô tỉ

Bài 30: Số sau đây là số hữu tỉ hay vô tỉ

CHUYÊN ĐỀ IV: CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC

Bài 1: Chứng minh rằng nếu a+ b + c = abc và 1 1 1 2

+ + + + Vậy p không phải là một số nguyên

Bài 6: a Biết rằng ax + by + cz = 0, hãy tính gí trị của biểu thức

a a

a Ta có thể viết:

Bài 4: Trong hai số sau đây:

1993 1995

a= + và b=2 1994 số nào lớn hơn?

Bài 5: Cho 1 < a < b + c < a + 1 và b < c Chứng minh rằng b < a

HD: Sử dụng tính chất bắc cầu của quan hệ “ < “

1 3,

2 14

2 14

2 14

Dấu “=” xảy ra khi nào?

b b

Dấu “=” xảy ra khi ?

Bài 30: Chứng minh bất đẳng thức sau:

Bài 31: Cho 2 số thực x,y thỏa: xy=1,x> y Chứng minh rằng

=> các số hạng của tổng S chứa trong khai triển của tích :

10 1

310

a + b < c + d (1)(a + b)(c + d) < ab + cd (2)(a + b)cd < (c + d)ab (3)Giải:

Phương trình P(x) = 0 có các hệ số dương do đó không thể có nghiệm dương

Mặt khác, phương trình P(x) = 0 lại có 2 nghiệm dương là a và b, mâu thuẫn => đpcm

Vậy: Trong biểu diễn thập phân, phần nguyên của x là: [ ]x =1998

CHUYÊN ĐỀ VI: PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: Giải và biện luận theo a, b phương trình:

a Nếu b = 0 : Phương trình vô định

b Nếu b≠0: Phương trình vô nghiệm

(x−1)m2−(5x−1)m+2 3( x+ =1) 0Đáp số: m≠ ∧ ≠2 m 3: PT có nghiệm 1

3

m x m

3

Giải: Điều kiện: abc≠0

Phương trình đã cho có thể viết:

(ab bc ca x ab a b+ + ) = ( + +) bc b c( + +) ca c a( + +) 3abc⇔(ab bc ca x+ + ) = + +(a b c ab bc ca) ( + + )

*Nếu ab + bc + ca ≠0: PT có nghiệm duy nhất x = a+ b + c

*Nếu ab + bc + ca = 0: PT có vô số nghiệm

Bài 4: Xác định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

Để PT đã cho có nghiệm duy nhất thì ta phải có m≠0

Bài 5: Giải và biện luận theo a và b, phương trình

2

Điều kiện để (1) có 2 nghiệm phân biệt ?

Giải: Điều kiện x a x b≠ , ≠ (*)

x

a b

=+

:

a b

=+

a. Với b = 0 thì (1) có nghiệm 1

1

x a

=+

b. Với b≠0(1) có nghiệm 1

1

x a

=+ nếu

1

b a

b

±

≠ −(1)vô nghiệm nếu a b 1

b

±

= −

2 Nếu a = 1: (3) => 0x = 0 PT vô số nghiệm Do đó (1) thỏa ∀ ≠ ±x b

3 Nếu a = - 1: (3) => 0x = 2 PT vô nghiệm Do đó (1) vô nghiệm

Bài 9: Giải phương trình

2

2

4 05

Vậy phương trình có 4 nghiệm

Bài 10: Giải phương trình

Vậy: Nghiệm của (*) là : x= ±7

Bài 12: Giải phương trình

1.Chứng minh rằng phương trình (*) có một nghiệm không phụ thuộc a và b , a≠1

2 Biện luận theo a và b số nghiệm của phương trình đã cho

*Nếu b < 0  (**) vô nghiệm => (*) có nghiệm duy nhất x = 1

*Nếu b = 0  (**) có nghiệm kép x = a => (*) có 2 nghiệm x = 1 và x = a

*Nếu b > 0  (**) có 2 nghiệm phân biệt => (*) có 3 nghiệm phân biệt

Mỗi người đấu 7 trận => x1≤7 Do đó x2 ≤6,5

Bốn người cuối bảng đấu với nhau 6 trận nên ta có

Ba người cuối bảng đã đấu với nhau 3 trận và cos tổng số điểm bằng 3 và bằng ½ toàn bộ số điểm

mà họ đạt được trong toàn giải nghĩa là tổng số điểm của họ bằng 6

Số ( x- 3) kì thủ kia đấu với nhau ( 3) ( 4)

Phương trình đã cho có thể viết:

Bài 17: Chứng minh rằng số : x= 3+ 2 là nghiệm của một đa thức có các hệ số nguyên

Vậy : x= 3+ 2 là nghiệm của đa thức P x( )=x4−10x2+1 với các hệ số nguyên

Bài 18 : Chứng minh rằng số x=3 3+ 2 la nghiệm của một đa thức có các hệ số nguyên

Do đó : nếu x, y , z nguyên thì P x y z nguyên n( , , )

1

x x

1

x x

1

x x

+ nguyênBài 21: Xem dãy số:

1 2 3 4

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

A A A A

Vậy:

3 1 3 2 3 3 3 4

3

1234

Do đó a không phải là một số chính phương

Bài 23: Chứng minh rằng tích bốn số tự nhiên liên tiếp thêm 1 luôn là một số chính phương

Bài 24: 1 Cho hệ phương trình

12Tìm một hệ thức giữa x và y độc lập với z

2 Cùng câu hỏi với hệ

12Giải:

1 Nhân cả hai vế của (1) với 4 rồi cộng với (2) vế theo vế, ta có hệ thức phảo tìm

+ −

So sánh với giả thiết => a = - 2 , b = 3

Bài 26: Xác định các số thực a, b, c, A, B, C sao cho ta có:

12

CHUYÊN ĐỀ VII: HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: Tổng bình phương các chữ số của một số gồm hai chữ số bằng 10 Tích của số phải tìm với số viết ngược lại của nó bằng 403 Tìm số đó

Có hai số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 13 và 31

Bài 2: Xét một phân số có mẫu số nhỏ hơn bình phương của tử số một đơn vị Nếu ta thêm đồng thời 2 đơn vị vào tử số và mẫu số thì ta được một phân số mới lớn hơn 1/3 nếu ta bớt đồng thời tử số và mẫu số

3 đơn vị thì phân số vẫn dương và nhỏ hơn 1/10 hãy tìm phân số đó

2 2

Bài 4: Cho một số có hai chữ số Nếu nhân số đã cho với tổng các chữ số của nó thì ta được 405 viết số

đã cho theo thứ tự ngược lại rồi nhân với tổng các chữ số của nó thì được 486 Tìm số đã cho

12

Bài 6: Xem một số có hai chữ số Tổng các chữ số của số đó bằng 7 người ta hoán vị các chữ số cho nhau

và đem số mới nhân với số ban đầthì tích sẽ lớn hơn số ban đầu 1428 đơn vị Hãy tìm số đó

Giải:

Gọi số phài tìm là ab , với , a b N∈ và 1≤ ≤a 9,0≤ ≤b 9

Theo giả thiết, ta có hệ:

b Cách 2: Ta có

(2) ⇔ab ba( − =1) 1428

ab và ba−1là các ước của số có 2 chữ số của 1428 có 3 cặp số như vậy:

1428 = 21.68 = 28.51 = 34.42Chỉ có cặp 34 và 42 thỏa:

Vậy: ab=34

* Giải cách này thì không cần giả thiết a + b = 7

Bài 7: Một tích số gồm hai thừa số tăng thêm 444 đơn vị khi đồng thời ta thêm vào thừa số thứ nhất 4 đơn

vị và bớt thừa số thứ hai 6 đơn vị

1 Tích sẽ tăng hay giảm nếu ta bớt thừa số thứ nhất 4 đơn vị và thêm vào thừa số thứ hai 6 đơn vị và

tăng giảm bao nhiêu?

2 Tìm 2 thừa số của tích đó biết rằng tích không thay đổi nếu cùng một lúc ta bớt thừa số thứ nhất 2

đơn vị và thêm vào thừa số thứ hai 13 đơn vị

Vậy: Tích mới sẽ giảm đi 492 đơn vị

2 Theo giả thiết ,ta có:

Vậy: Hai thừa số phải tìm theo thứ rự là 26 và 156

Bài 8: Giải hệ phương trình:

x

a b y

a b

=

−

=+

Các hệ còn lại giải tương tự

Bài 9: Giải hệ phương trình

1815125

1

2(*)

1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

a Cách 1: Hệ đã cho tương đương với

1 0

2 03212

x y

x y

( ) ( )

33

123Giải:

Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta có:

Nhân hai vế của (2) với (4) rồi cộng với (3) vế theo vế , ta có:

9a – 9b = 27  a – b = 3 (5)Trừ (4) và (5), vế theo vế, ta có: 3a = 6  a = 2

Thay a = 2 vào (5), ta có: 2 – b = 3  b = -1

Ta có: (2)  c = 7 – a + 2b = 3

Vậy: Nghiệm của hệ đã cho là: a = 2 ; b = - 1; c = 3

Bài 12: Xác định đa thức f x( ) =ax2+ +bx c biết f(1) = 3 ; f(2) = 4 ; f(-1) = - 5

123

Vậy đa thức phải tìm là : f x( ) = − +x2 4x

Bài 13: Tìm một ta thức bậc hai theo x sao cho tam thức có giá trị bằng số là – 1; - 3 ; 5 khi x lần lượt có trị số – 3; - 1 ; 3

Bài 14: Giải hệ phương trình

1234(*)

Giải:

Cộng các phương trình của hệ (*) vế theo vế ta có:

4 x y z u+ + + =40⇔ + + + =x y z u 10 (5)Cộng (5) với (1) vế theo vế, ta có:

Trừ (5) cho (3) vế theo vế, ta có:

từ (6) và (4) => 6x – 2y = 10 (8)

từ (7) và (4) => - 2x + 14y = 10  - 6x + 42y = 30 (9)

Từ (8) và (9), ta có: x = 2; y = 1

Thay vào (4) => u = 4

(1) => z = 3Vậy nghiệm của hệ là:(x y z u, , , ) (= 2,1,3, 4)

Bài 15: Giải hệ phương trình

12Giải:

12Tìm a nguyên để hệ có nghiệm duy nhất ( x,y) với x, y nguyên

Vậy: các giá trị nguyên của a phải tìm là: a = 1, 3, 5, 7

Bài 17: Giải hệ phương trình

( ) ( )

112515751350

123Giải:

598

123Giải:

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế, ta có:

2 xy z zx+ + =22⇔xy yz zx+ + =11 (4)Ghép (4) với các phương trình (1), (2), (3), ta có:

623

zx xy yz

567

101

123Giải:

Phương trình (1) có thể viết:

x y z+ + − xy yz zx+ + = ⇔ x y z+ + = ⇔ + + = ±x y z

123Giải:

Nhân các phương trình (1) và (2) vế theo vế, ta có:

(x y z, , ) (= 2, 5, 4 , 2, 1, 0− − ) (− − )Bài 22: Giải hệ phương trình

016

123Giải:

xy a

x y yz b

y z zx c

Từ giả thiết, ta suy ra : x, y, z ≠0

Hệ phương trình đã cho có thể viết:



( ) ( ) ( )

1

2

3Cộng (1), (2), (3) vế theo vế , ta có:

12

3Giải:

z z

22

10 2

x b y

10 4

x c y

10 10

x d y

x y

x y

x y

Hãy giải bài toán bằng hai cách khác nhau

( Đề thi HS toàn quốc 1975 – 1976)Giải:

P(x) là một đa thức bậc 4 và hệ số của x4 là 1 nên P(x) chỉ có thể là bình phương đúng của một tam thức bậc 2 có dạng: Q x( ) =x2+ px q+

Giải:

Theo giả thiết, đa thức x4 + 1 có bậc 4 và hệ số của x4 bằng 1 mà f(x) bậc 2 và có hệ số của x2 là 1

do đó thương số phải là một tam thức bậc 2 có dạng:

g x =x +mx n+ ⇒x + = x +ax b x+ +mx n+

10

0

20

Bài 34: Tìm tất các số nguyên a, b, c để cho đa thức

x − x+ và dư đa thức bậc hai:

Để cho P(x) chia hết cho Q(x) thì f(x) phải la đa thức đồng nhất không:

Bài 35: Tìm một đa thức P(x) bậc 3 triệt tiêu khi x = -1 và khi chia cho các nhị thức x – 1, x + 2 , x + 3 thì

số dư luôn luôn bằng 8

ĐS: P x( ) =2x3+8x2+2x−4Bài 36: Một đa thức P(x) chia cho 2

1

x + +x thì dư 1 – x và chia cho 2

1

x − +x thì dư 3x + 5Tìm số dư của phép chia P(x) cho 4 2

( ) ( ) ( )

2 2

Đa thức dư R(x) phảo tìm là R x( ) = −2x3+2x2+ +x 5

Bài 37: Một đa thức P(x) chia cho x + 1 thì có số dư là 4; chia cho x2 + 1 thì dư 2x + 3

Hãy tìm số dư của phép chia P(x) cho (x + 1)(x2 + 1)

3 4

00

( Đề thi HSG Toàn quốc 1979)Giải:

12345Giải: Cộng tất cả các phương trình của hệ vế theo vế, ta có:

y z x

⇒ =

⇒ = −

⇒ =

Vậy nghiệm của hệ là: (x y z u v, , , , ) (= 4, 2, 2, 3,5− − )

Bài 42: Giải hệ phương trình

2

3