Hàm số đồng biến trên... Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x2... Nếu học sinh có cách giải khác mà kết quả đúng vẫn tính điểm tối đa.
Trang 1ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA LẦN 12 NĂM 2015
Môn: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC (Đáp án – thang điểm có 5 trang)
1
(2,0đ)
a) (1,0 điểm)
Với m3: 3 5
x y x
Tập xác định: D \{ 1}.
Sự biến thiên: ' 4 2 0, 1
(2 2)
x
- Hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng ( ; 1) và ( 1; )
0,25
- Giới hạn: lim 3 5 lim 3 5 3,
3 2
y
là tiệm cận ngang
- Hàm số không có cực trị
0,25
- Bảng biến thiên:
x -1
'
y
3
2
3 2
0,25
Đồ thị:
0,25
b) (1,0 điểm)
Với m1, hàm số trở thành 1 3
y x , suy ra 1
2
y x Hàm số đồng biến trên
0,25
Với m1.Điều kiện xác định: \ 2
1
x
m
Có
2
2
1 ( 1) 2
m
0,25
Trang 2Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định khi và chỉ khi ' 0, 2
1
m
2
2 2
2
( 1) 2
0,25
1 m 2
2
(1,0đ)
a) (0,5 điểm)
cos 2x5sinx 3 0 2
1 2sin x 5sinx 3 0
2
sin
2
x
x
0,25
2
5 2
2 6
(Do sin x 2 1 (loại))
6
x k
6
x k
(k )
0,25
b) (0,5 điểm)
Điều kiện: xlog38
2 3
log (3x 8) 2 x 3x 8 3 x
2 9
3
x
0,25
x
x
+, 3x 1 (Loại)
+, 3x 9 x 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x2
0,25
3
( sin ) cos cos sin cos
Tính
4
1 0 cos
0,25
4 4
0 sin sin
0
2
1 sin cos sin 2
2
0
Vậy 1 2 ( 4) 2 6
8
4
(1,0đ)
a) (0,5 điểm)
i i i i i
2
Trang 35 12 5 25 31
i
i
Vậy phần thực của z là 25
13
, phần ảo của z là 31
13
0,25
b) (0,5 điểm)
Điều kiện: n ,n3
Ta có: 3 2
n n
(n 3)! (n 2)!
(n 2)(n 1)n 2(n 1)n 100 0
0,25
Với n5, ta có
10
10 0
(1 2 ) n (1 2 ) k2k k
k
Số hạng T k1C10k2k x k trong khai triển chứa x ứng với 6 k 6
Vậy hệ số của 6
x trong khai triển là 26C106 13440
0,25
5
(1,0 đ) Có
2 cos
SC AC AS AC AS SAC
2
(2 ) 2 .2 cos 60
SCA
vuông tại C mà (SCA)(ABC)
nên SC(ABC)
K
C
B
S
H
0,25
ABC
2
ACB
A AB AC a S a
.
1 3
6 a
0,25
ABCDDCABa ADBC AC AB a
2 2
2
2
0,25
ABCD là hình bình hành BC/ /(SAD)d BC SA( ; )d BC SAD( ;( ))d C SAD( ;( )) và
3
3 6
( ;( ))
7
C SAD
C SAD
SAD
d
S
7
BC SA
a
6
(1,0đ)
1 2
3 15 ( ; )
4 8
Cd d C
Nếu có phương trình x2thì cắt d 1
tại A1(2;0) và cắt d tại 2 1(2; )5
2
B suy ra
1 (0; 3), (0; )
2
MA MB khi đó M không
nằm trong đoạn A B nên không thỏa mãn 1 1
3x + 2y - 6 =0
x - 2y + 3 =0 B
A
C
M(2;3)
0,25
Trang 4Do đó đường thẳng qua M(2;3) với hệ số góc m có phương trình ym x( 2) 3cắt
1
d tại ( 4 ; 9 )
m A
m m và cắt d tại 2 (4 3 5; 3)
B
VìM nằm giữa A và B nên
0
m
m m
0,25
( ; ) ( ; )
( )
181
9 10
m , kết hợp với điều kiên
3 1 ( ; )
2 2
0,25
Mà ( ; ) ( ; ) min ( ; ) ( ; ) min
1
2
S MC d d S d d SABCmin tại 3
14
m Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình là : 3x14y360
0,25
7
(1,0đ)
Ta có ( ,( )) 2.2 1.( 1) 2.3 7 4
3
4 1 4
( ) : ( 2) ( 1) ( 3)
9
0,25
Mặt phẳng (P) có một véctơ pháp tuyến n(2; 1;2)
Gọi d là đường thẳng đi qua A(2; 1;3) nhận n(2; 1;2) làm véctơ chỉ phương
x y z
0,25
Tọa độ tiếp điểm của (S) và (P) chính là giao điểm của M ( )d ( ).P
( ) (2 2 ; 1 ;3 2 )
M d M t t t
4 ( ) 2(2 2 ) ( 1 ) 2(3 2 ) 7 0
9
M P t t t t
0,25
Suy ra 10 5 19
; ;
8
(1,0đ)
Điều kiện: 1; 1
x y Xét hàm số ( ) t ln 1 2
f t te t , thì (1) f x( ) f y( )
Ta có '( ) (1 ) 1 ; ''( ) (2 ) 2 2 0, 1
Suy ra f t đồng biến với '( ) 1
2
t
0,25
Trang 5Mà f '(0) 0 f t'( )0 với 1
0
2 t
; f t'( )0 với t 0
Vậy f t( ) nghịch biến trên khoảng 1
;0 2
và f t( ) đồng biến trên khoảng (0;) (*)
0,25
Nếu xy0, thì vế trái của (2) >0 (2) vô nghiệm, suy ra hệ vô nghiệm
Với xy 0, thi x và y cùng dấu, kết hợp với (*) ta được x y 0,25 Với xy thay vào (2) ta được 13 2 1 1
13
x x
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là ( ; ) 1 ; 1 , 1 ; 1
0,25
9
(1,0đ) Cho , , 0
1
a b c
Chứng minh rằng:
3
4 ( 1) ( 1) ( 1)
3
b c a
a b c
3
Ta có:
1 0
0,25
Do đó
1 0
4
dx
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:
2
0,25
1 3
x x
(vì 3(ab bc ca)(a b c )2 1)
3 ln
0,25
(Chú ý Nếu học sinh có cách giải khác mà kết quả đúng vẫn tính điểm tối đa.)
-Hết -