Vẽ đường tròn M tiếp xúc với AB tại H.. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD đến đường tròn M.. Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn O b.. Chứng minh tổng AC + BD không đổi.. P là
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC EAKAR
TRƯỜNG THCS HOÀNG HOA THÁM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010 Môn : TOÁN – LỚP 9
Thời gian làm bài 150 phút
ĐỀ BÀI:
Bài 1: ( 4 điểm) Cho biểu thức P = 2 9 3 2 1
a Rút gọn P
b Tính giá trị của P khi x = 2
3 − 5
c Tìm x để P < 1
Bài 2: (3 điểm)
Biết x= 3 4( 5 1 + −) 3 4( 5 1 − ) Tính giá trị cuả biểu thức C = x3 + 12x
Bài 3: ( 3 điểm) Chứng minh rằng số:
2009 2009 2010 2010
M = + + là một số chính phương
Bài 4: (4 điểm)
Cho đường tròn (O) đường kính AB Một điểm M thay đổi trên đường tròn ( M khác A và B) Vẽ đường tròn (M) tiếp xúc với AB tại H Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD đến đường tròn (M)
a Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b Chứng minh tổng AC + BD không đổi Từ đó tính giá trị lớn nhất của AC.BD
Bài 5 : (4 điểm)
Cho tam giác ABC P là điểm nằm trên đường thẳng BC, trên tia đối cuả tia AP lấy điểm D sao cho
2
BC
AD= . Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm cuả DB và
DC Chứng minh rằng đường tròn đường kính EF luôn đi qua một điểm cố định khi P di động trên BC
Bài 6: ( 2 điểm) Giải phương trình
2 2
x+ −x = y + y+
Trang 2
-Hết -PHÒNG GIÁO DỤC EAKAR
TRƯỜNG THCS HOÀNG HOA THÁM
HƯỚNG DẪN CHẤM
P=2 (9 29 2)( 33) 2 ( 2)( 23) 13
x
− − + + − − = − + − = +
−
b) Khi 2
3 5
x=
− ta có P=
4
1
2
5 1
+
−
−
1đ
c) Để P<1 thì 1 1 4 1 0 9; 4
x
x+ < ⇔ x < ⇔ ≤ < ≠
Bài 2: (3 điểm)
Áp dụng hằng đẳng thức ( )3 3 3 ( )
3
m n− =m − −n mn m n−
Ta có :
3 34 5 1 34 5 1 3 4 5 1 4 5 1 4 5 13 3 3 34 5 1
3
8 3 4 5 1 4 5 1 x 8 12x
Vậy C = x3 + 12x = 8 – 12x + 12x = 8
+ Lập phương hai vế cuả đẳng thức x= 3 4( 5 1 + −) 3 4( 5 1 − ) Biến đổi và đi đến được
Bài 3: ( 3 điểm)
2009 2009 2010 2010
2010 (2009 1) 2009
= 2010 (2009 1) 2 + 2 − 2.2009 + 2009 2 (1đ)
2 2
2010 2.2010 2009 2009
2010 2009
2009 2009 2010 2010
Bài 4: (4 điểm)
Trang 3(hình vẽ , giả thiết , kết luận 0,5 điểm)
a Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có
=> ∠ + ∠ = ∠ + ∠
∆AMB chắn nửa đường tròn (O)
=> ∠AMB= 90 0 mà ∠AMH+ ∠HMB= ∠AMB
=> ∠CMA+ ∠BMD= ∠AMH+ ∠HMB= 90 0
=>∠CAM + ∠BMD+ ∠AMH+ ∠HMB= 180 0
Vậy ACDB là hình thang, MO là đường trung bình => MO⊥CD
Mà M∈( )O nên CD là tiếp tuyến của (O) (1đ)
b Ta có
AC + BD = 2MO = 2R không đổi
AC = AH ; BD = BH => AC BD = AH BH = MH2
AC BD lớn nhất khi MH lớn nhất Vậy AC BD lớn nhất bằng R2
Bài 5 : (4 điểm)
Hình vẽ, GT KL : 0,5 điểm
Gọi M là trung điểm cuả BC
+ Tứ giác DEMF là hình bình hành do EM, FM là hai đường trung bình cuả ∆DBC Suy ra DM và EF cắt nhau tại trung điểm O cuả mỗi đường (0,5đ)
Gọi I là trung điểm cuả AM thì suy ra I là điểm cố định (0,5đ)
+ OI là đường trung bình cuả ∆AMD nên :
OI = 1
2AD = 1
+ EF là đường trung bình cuả ∆ABC nên EF = 1
2 BC (2) (0,5đ)
Từ (1) và (2) suy ra OI = 1
2EF Suy ra I thuộc đường tròn (O; 1
4BC) (1đ)
I
E
D
M
A
P
B
D
H A C
M
O
Trang 4Vậy đường tròn đường kính EF (O; 1
4BC) luôn đi qua điểm cố định I
Bài 6: (2 điểm)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
( )
2 2 2 2 2
Mặt khác: 2 ( )2
4y + 4y+ = 3 2y+ 1 + ≥ 2 2, Dấu “=” xảy ra khi y = -1
Vậy x+ 2 −x2 = 4y2 + 4y+ = 3 2 khi x =1 và y =-1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
1 1 2
x y
=
= −
-Ghi chú :
+ Học sinh làm bằng các cách giải khác nhưng nếu lập luận chặt chẽ và có kết quả đúng thì vẫn cho điểm tối đa tương ứng với điểm của bài đó.
+ Trong quá trình chấm, giám khảo có thể chia nhỏ điểm thành phần cuả từng bài Điểm nhỏ nhất là 0,25.