Tuyển chọn 100 đề thi thử ĐH môn Toán 2015 tập 9 (91-100)

Tìm m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.. Tính thể tích tứ diện NSDC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳ

LỜI NÓI ĐẦU

Các em học sinh thân mến!

Luyện giải bộ đề trước kỳ thi tuyển sinh Đại học là một quá trình hết sức quan trọng Cuốn sách Tuyển tập “100 ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO ĐẠI HỌC” do thầy tổng hợp

và biên soạn từ nhiều đề thi thử Đại học trong cả nước với nhiều đề thi hay để giúp các

em hệ thống lại kiến thức và chuyên đề đã được học, rèn luyện kĩ năng giải toán tạo nền tảng kiến thức tốt nhất cho kỳ thi Đại học sắp tới

Nội dung sách được viết trên tinh thần đổi mới ,cách giải trình bày chi tiết, rõ ràng phù hợp theo quan điểm ra đề và chấm thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo rất phù hợp để các

em tự ôn luyện.

Toán là môn khoa học trừu tượng với phạm vi ứng dụng rộng rãi trong mọi hoạt động của con người Để học toán tốt trước hết rất cần sự tỉ mỉ, cần cù, nỗ lực phấn đấu Bên cạnh đó phương pháp học cũng rất quan trọng, nên đi từ cái dễ và cơ bản tới cái khó hơn với một tư duy logic Tiếp xúc một bài toán không chỉ dừng lại ở cách giải thông thường

mà nên suy nghĩ, áp dụng nhiều hướng và cách giải khác nhau Sau mỗi bài toán nên rút

ra cho mình những điểm chú ý quan trọng

Cuối cùng thầy chúc tất cả các em luôn có được SỨC KHỎE, NIỀM VUI, SỰ ĐAM

MÊ, và THÀNH CÔNG trong các kỳ thi sắp tới!

Thanh hóa.Tháng 9 năm 2014 Tác giả

ĐỀ SỐ 91

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số: y = x3− 3mx + 22 (1), m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

2 Tìm m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4

!

2013.2014

1

!2010

!

3.4

1

!2011

!

2.3

1

!2012

!

1.2

1

!2013

!

0.1

=

S

Câu 5.(1,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là

M(3,2), trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là G(2 2,

3 3) và I(1,-2) Xác định tọa độ đỉnh C

A (1,4,2) và mặt phẳng (P): 5x – y + 3z – 7 = 0 Viết phương trình đường thẳng∆ đi qua A,

∆nằm trong mp(P) biết rằng khoảng cách giữa d và ∆ bằng 2 3

Câu 7.(1,0 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, SA = a,

SB = a 3, BAD = 60· 0 và mp(SAB) vuông góc với mặt đáy Gọi M, N là trung điểm của AB,

BC Tính thể tích tứ diện NSDC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN

Câu 8.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình: ( )

++

−+

=++

10)

1(4)19(

1

11

913

2 2

3

2

x x

y x

x x

y xy

Câu 9.(1,0 điểm) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

LỜI GIẢI

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số: y = x3− 3mx + 22 (1), m là tham số

1.(1,0 điểm) Với m = 1 ⇒ y = x3− 3x + 22

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3− 3x + 22

a) TXĐ: R

*) Giới hạn: limx→−∞y= −∞; limx→+∞y= +∞ b) Sự biến thiên: *) Chiều biến thiên: 2 x = 0 x = 2 y' = 3x 6x ; y' = 0   − ⇔ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 0) và (2; +∞ ), hàm số nghịch biến trên (0; 2) Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ= 2; hàm số đạt tiểu tại x = 2, yCT= - 2 BBT x -∞ 0 2 +∞

f’(x) + 0 - 0 +

f(x) 2 +∞

-∞ -2

c) Đồ thị:

2.(1,0 điểm) Tìm m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) tạo với các trục

tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4

y = x − 3mx + 2⇒ y' = 3x2 − 6mx ; y' = 0 x = 0x = 2m



⇔

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0

Với m ≠ 0 thì đồ thị hàm số (1) có tọa độ 2 điểm cực trị là: A(0; 2) và B(2m;-4m3+2)

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B là:

2 3

AB cắt Ox tại C 12;0

m

 , cắt Oy tại A(0; 2)

Đường thẳng qua 2 điểm cực trị tạo với các trục tọa độ tam giác OAC vuông tại O ta có:

Yêu cầu bài toán thỏa mãn 12 = 4 m 1

2

= ±

Câu 2.(1,0 điểm)

1.(0,5 điểm) Giải phương trình: 3cot2x+2 2 sin2x= +(2 3 2) cosx

=

−+

02cos3cos2

02coscos

2

2

2

x x

x x

1

1 1

3 1

3

26 3

Để ý rằng OM x yuuuur( , )1 1 ⊥ONuuur(−y x1, )1 và OM = ON nên MN = 2.OM

MN đạt giá trị nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất Đường thẳng OO1 đường tròn (C1) tại M1(0, 2 1

!.

2013 2014

1

1

! 2010

!.

3 4

1

! 2011

!.

2 3

1

! 2012

!.

1 2

+ + +

+ +

=

k k

k k

k S

+) Ta có: 2014.( 1)![2014 ( 1]! 2014

!2014)!

2013)!.(

1(

!20131

1 2014

=+

−+

=

−+

=+

k

k k

k k

k

C C

+) S.2013! = (2 1)

2014

1 2014 −

!2014

1

22014 −

=

⇒S

Câu 5.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh

BC là M(3,2), trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là G(2 2,

3 3) và I(1,-2) Xác định tọa độ đỉnh C

.Gọi A(xA; yA) Có AGuuur=2GMuuur⇒ A(-4; -2)

Đường thẳng BC đi qua M nhận vec tơ uuurIM làm vec tơ pháp tuyến nên có PT:

2(x - 3) + 4(y - 2) = 0 ⇔ x + 2y - 7 = 0 Gọi C(x; y) Có C ∈ BC ⇒ x + 2y - 7 = 0

Mặt khác IC = IA ⇔ 2 2 2 2

(x−1) + +(y 2) = 25⇔ −(x 1) + +(y 2) =25 Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 7 0 2

x y

=



 =

Vậy có 2 điểm C thỏa mãn là C(5; 1) và C(1; 3)

Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

(Q) qua N(1, -1, 1) thuộc d nên có phương trình: a(x-1) + b(y+1) +c(z-1) = 0 (1)

Do (Q) qua N’(1, -1, 1) thuộc d nên 2a + b + c =0 hay c = - 2a – 2b (2)

Câu 7.(1,0 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, SA = a,

SB = a 3, BAD = 60· 0 và mp(SAB) vuông góc với mặt đáy Gọi M, N là trung điểm của AB,

BC Tính thể tích tứ diện NSDC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN

Từ giả thiết có AB = 2a, SA = a,

SB = 3, tam giác ASB vuông tại S suy ra

2

AB

SM = =a do đó tam giác SAM đều

Gọi H là trung điểm AM thì SH⊥AB

Mặt khác (SAB)⊥(ABCD) nên suy ra SH ⊥(ABCD)

Mà SH⊥(ABCD), HK⊥MK suy ra SK⊥MQ suy ra (·SM DN, ) (=·SM QM, )=SMK·

Trong tam giác vuông SMK: ·

Câu 8.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình: ( 2 )

1

3 1 9 1

1(9 1) 4( 1) 10

y y

193

=++

x x x y

+++

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (1;

3

1)

Câu 9.(1,0 điểm) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

ĐỀ SỐ 92

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 2 4

1

x y x

−

= +

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2 Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho A và B

đối xứng nhau qua đường thẳng có phương trình: x + 2y +3= 0

Câu 2.(2,0 điểm)

1 Giải phương trình: sin 2 1 2 os

sin cos 2.tan

5

++ x x x

ngoại tiếp tứ diện FKBE

Câu 8.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 2 22

LỜI GIẢI

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 2 4

1

x y x

−

= +

1.(1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 2 4

1

x y x

−

= +

TXĐ: D = R\{-1} Giới hạn: xlim→±∞y=2, limx→−1− y= +∞, limx→−1+ y= −∞

=> Đồ thị hàm số nhận đường thẳng có phương trình x = -1 làm tiệm cận đứng và y = 2 làm tiệm cận ngang

Chiều biến thiên: 2

6' 0 x D( 1)

y x

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm ( )2;0 , trục tung tại điểm (0;-4)

Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng

2.(1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho

A và B đối xứng nhau qua đường thẳng có phương trình: x + 2y +3= 0

Đường thẳng d cần tìm vuông góc với ∆: x + 2y +3= 0 nên có phương trình

y = 2x +m, D cắt (C) ở 2 điểm A, B phân biệt 2 4 2

1

x

x m x

⇔ + + + = có 2 nghiệm phân biệt khác - 1⇔m2−8m−32 0 (1)>

Gọi I là trung điểm AB có 2 4

1.(0,5điểm) Giải phương trình: sin 2 1 2 os

sin cos 2.tan

Điều kiện: sinx≠0, cosx≠0,sinx+cosx≠0.

cossin

cossin2sin2

+

x x

x x x

24

4 34

n x

x = cũng là nghiệm duy nhất của (*)

Tóm lại: PT có nghiệm duy nhất x=2

Câu 3.(1,0 điểm) T×m hä nguyªn hµm cña hµm sè f(x) =

2

3 2 4

5

++ x x x

Ta cã:

23

232

3 2

4

5

++

x

v× x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 2 ) (x2 + 1)

§Æt

12

23

2

3

2 2

+

=+

+

+

x

D Cx x

b Ax x

x

x x

423

23

2 2

2 4

3

+

−++

=++

+

x

x x

x x

x

x x

A + 2C = 2 A = 4

B + 2D = 0

=> f(x) = x -

12

4

2

2 + + x +

x x

x

=> ∫f(x)dx =

1

)1(2

12

)2(2212

4

2 2

2 2

2 2

2

+

+

∫++

+

∫

−

=+

∫++

∫

−

x

x d x

x d x

x

xdx x

xdx x

VËy ∫ f(x)dx = x − x + + ln(x +1)+k

2

1)2ln(

22

2 2

∆MAB vuông tại M và có diện tích bằng 2

Đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R có phương trình 2 2 2

Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: 2 1

x= y− = z−

− −

và mặt phẳng (P) : ax + by + cz – 1 = 0 2 2

(a +b ≠0) Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P)

đi qua đường thẳng d và tạo với các trục Oy, Oz các góc bằng nhau

Nếu b = c = 1 thì a = 2 suy ra ( )P1 : 2x + y + z - 1 = 0 (loại vì M∉( )P1

Nếu b = - c = - 1 thì a = 0 suy ra ( )P2 : y - z - 1 = 0 (thỏa mãn)

Vậy (P) có phương trình y - z - 1 = 0

Câu 7(1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ nội tiếp trong hình trụ có bán kính đáy r; góc giữa

BC’ và trục của hình trụ bằng 300; đáy ABC là tam giác cân đỉnh B có ·ABC=1200 Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của BC, A’C và AB Tính theo r thể tích khối chóp A’.KEF và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE

Từ giả thiết suy ra · 0

' 30

BC C= , BA = BC = r, CC'=BCcot 300 =r 3

3 0 ' EF EF EC '.

Gọi J là trung điểm KF, trong mp (FKH) đường trung trực của FK cắt FH tại I, I chính là

tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE, FK2 =FH2+KH2 =r2

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE

KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2).

Câu 9.(1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = 3

4 Chứng minh rằng: 3 1 3 1 3 1 3

9z

1y

1x

19xyz

3xyz3z

1y

1x

≥++

9a

3c

1c

3b

1b

a

1P

+++++

≥+

++

++

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y= x4+(3m+1)x2−3 (với m là tham số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -1.

15

2 Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác

cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng

3

2 lần độ dài cạnh bên

=++

422)23

(log

log)7(log1)(log

2

2 2

2

y x y

x

y y

x y

đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng 4

Câu 7.(1,0 điểm)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có · 0

, 2 , 120

AC a BC= = a ACB= và đường thẳng A C'tạo với mặt phẳng (ABB A' ') góc 0

30 Tính thể tích khối lăng trụ đó cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng A B CC' , ' theo a

Câu 8.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình:

Cho các số thực không âm x ,,y z thoả mãn x2 + y2 +z2 =3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

z y x zx yz xy A

+++++

- Tập xác định: D=¡ Giới hạn: y =+∞ ; y = +∞

Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: y'=4x3−4x; y'=0⇔x=0;x=±1

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞;−1) và (0;1); đồng biến trên mỗi khoảng (−1;0) và )

2.(1.0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam

giác cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng

3

2 lần độ dài cạnh bên

2

13,

00

'

;)13

x m

;2

;2

1342

134.93

2

BC

4

m m

1.(0,5 điểm) Giải phương trình: 2cos4x - ( 3 - 2)cos2x = sin2x + 3

Phương trình đó cho tương đương với: 2(cos4x + cos2x) = (cos2x + 1) + sin2x

4 +

y

O

x

2 os3x= 3 osx+sinx cos3x=cos(x- )

0

y

y x

y x

Với điều kiện trên phương trình (1) trở thành: log 2(x y)2 log2(7x y)y

2x −3xy y+ = ⇔ =0 y 2 ,x y= x

Với y= x thế vào phương trình (2) ta được log2(2x−2)=4⇔ x=9.

Suy ra x= y=9,( thoả mãn điều kiện)

Với y 2= x thế vào phương trình (1) ta được log2(x−2)=4−2x⇔log2(x−2)+2x−4=0

Vì hàm số f (x) log (x 2) 2x 4= 2 − + − là hàm số đồng biến trên (2;+∞) và f ( ) 05

,( thoả mãn điều kiện)

Vậy hệ đó cho có hai nghiệm

y x

Câu 3.(1.0 điểm) Tính tích phân : 2

0

1 sin

1 cos

x x

e dx x

=+

0

tan2

x x

x dv

v x

Áp dụng công thức tích phân từng phần : I1=

2 2 0

π

0

tan2

x x

π π

x x

π π

2

x x

2.(0,5 điểm) Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ Tính

xác suất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn?

Câu 5.(1.0 điểm): Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;2) Gọi H là

trực tâm của tam giác ABC Biết đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB,

HC có phương trình là: x2+ − y2 2x 4y 4 0 + + = Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi trung điểm của HA,HB,HC,BC,CA,AB lần lượt là: I,E,F,M,N,P

I

Tương tự ⇒ ·IEM 1v= nên M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF

Tương tự ta có N,P cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF

+ Dễ thấy: ∆ABClà ảnh của ∆MNPqua phép vị tự tâm G tỷ số k =-2

⇒đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là ảnh của đường tròn ngoại tiếp ∆MNP

Ta có đường tròn ngoại tiếp ∆MNP có phương trình: x2 +y2 −2x+4y+4=0

Có tâm K(1;-2) , R =1 Gọi K1,R1 là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC thì:

GKuuuur= − GK Ruuur = R ⇒K1(1;10) , R1=2

19

⇒ Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: (x−1)2 +(y−10)2 =4

Câu 6.(1.0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và có vtpt n a b cr( ; ; ): ax + by + cz + 2b = 0

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một vectơ chỉ phương ur=(1;1; 4)

Mặt phẳng (P) song song với đường thẳng ∆ đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và

mặt phẳng (P) bằng 4 nên ta có :

4 0

(1)

| 5 |

4 (2)( ;( )) 4

Trong (ABC), kẻ CH ⊥AB (H∈AB), suy ra CH ⊥(ABB A' ')

nên A’H là hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABB’A’)

Do đó:·A C ABB A' ,( ' ')=(·A C A H' , ' ) =CA H· ' =300

2 0

11

=+

−

+++

=+

)2(2

11

)1()1()1(

2

3 3

y y

x

x x

y y

Từ(*) ta có [ ]

[ ]

1 0; 20; 2

x y

Hàm số f(t)=t3 +t đồng biến trên đoạn [ ]0;2 nên pt(1)⇔ y=x+1,

thế vào pt(2) ta được: 1−x2 +1= 1+x+ 1−x ⇔ x= 0⇒ y=1 (thỏa mãn (*))

Vậy hệ phương trình đó cho có nghiệm duy nhất ( )x; y là ( )0;1

Câu 9.(1.0 điểm) Cho các số thực không âm x ,,y z thoả mãn x2 +y2 +z2 =3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A xy yz zx x y z

+++++

Đặtt=x+y+z ⇒

2

3)

(23

2

zx yz xy zx

yz xy

= + − ≤ ≤

2

352)(

2

≤

≤

−+

t

t t f

f ,∀ ∈ t  3;3  Suy ra f (t) đồng biến trên [ 3,3]

3

14)3()

ĐỀ SỐ 94

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số : y = x4 – 5x2 + 4

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

21

2) Tìm tất cả các điểm M trên đồ thị (C) của hàm số sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M

Câu 2.(2,0 điểm)

2 Giải phương trình: 2 os6x + 2cos4x - 3 os2x = sin2x + 3c c

3 Giải bất phương trình : log2 2log2

2 2x +x x −20 0≤

Câu 3.(1,0 điểm) Tính tích phân:

/4

2 0

ln(sin cos )cos

dx x

Câu 7.(1,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn

đường kính AD = 2a, SA ^ (ABCD), SA =a 6, H là hình chiếu vuông góc của A trên SB

Tìm thể tích khối chóp H.SCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC

Câu 8.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình: ( )2 2

1

2 (x,y R)∈

Câu 9.(1,0 điểm) Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a3(b+c) +

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số : y = x4 – 5x2 + 4

1.(1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số :y = x4 – 5x2 + 4

+ TXĐ: R

+Giới hạn và tiệm cận: lim

2.(1,0 điểm) Tìm tất cả các điểm M trên đồ thị (C) của hàm số sao cho tiếp tuyến của (C) tại M

cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M

Lấy M(m ; m4 – 5m2 + 4) ∈ (C)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M : y = (4m3 – 10m)(x – m) + m4 – 5m2 + 4 (d)

Hoành độ của (d) & (C) là nghiệm phương trình:

02

5

2

2

m m

Các điểm M(m ;m4 – 5m2 + 4) ∈(C) với hoành độ 10; 10 \ 30

1.(0,5 điểm) Giải phương trình: 2 os6x + 2cos4x - 3 os2x = sin2x + 3c c

Ta có: 2 os6x+2cos4x- 3 os2x = sin2x+ 3c c ⇔4cos5xcosx = 2sinxcosx + 2 3cos2x

os x 2cos5x -sinx- 3 cos 0

2cos5x =sinx+ 3 cos

ln(sin cos )cos

dx x

dv = 12 tan 1 sin cos

cos sin(tan 1) ln(sin cos )

M nằm trên đường tròn (C) tâm I(2,1) bán kính R = 52

A(4, -2) biểu diễn 4 – 2i Ta có AM = z - 4+ 2i

Ta cần tìm M thuộc (C ) để AM nhỏ nhất AI có phương trình ìï = -x y 42 2t3t

ïí

ï = - +ïî

Thay vào phương trình (C ): 4( 1)2 9( 1)2 52 3

2.(0,5 điểm)Cho E là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lấy từ các chữ số

0,1,2,3,4,5 Chọn ngẫu nhiên một phần tử của E Tính xác suất để phần tử được chọn là số có

ba chữ số đều chẵn

Gọi 1 phần tử của E là 1 số tự nhiên dạng abc

Chọn a : có 5 cách (a≠0) Sau khi chọn a còn 5 chữ số xếp vào 2 vị trí b,c có A52cách ⇒số phần tử của E là : 5 A52=100

⇒số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = n(E) = 100

Gọi A là biến cố : Chọn được số có 3 chữ số đều chẵn ⇒ A = { 240;420;204;402 }

Câu 5.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(0, 2) và elip có phương

2 2

04

3

04

m n m n

ìïï + ¹ïïï

íï

ïD= - >

ïïïîXét A(mt1, 2+ nt1), B(mt2, 2+ nt2) , MA mt ntuuur( 1, 1), MB mt ntuuur( 2, 2)

4

n

m n

t t

m n

-ï + =ïï

ïïíï

ï =ïï

ïïïî

Suy ra m2 =n2

25

Cho m = 1 suy ra n = 1 hoặc n = - 1

ï = ïî

-Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (0, 0, 5), điểm B (5, 0, 2)

và mặt phẳng (P) có phương trình z = 2 Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm B, D nằm trong mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng D bằng 5

Gọi H là hình chiếu của A trên D thì H thuộc (P) và mặt cầu tâm A bán kính 5 nên

x y

ìïï =ïïïíï

ï =ïïïî

hoặc

165125

x y

ìïï =ïïï

íï

-ï =ïïïî

-ï =

D í

ïï =ïïî

ï =

D í

ïï =

ïïî

Câu 7.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong

đường tròn đường kính AD = 2a, SA ^ (ABCD), SA =a 6, H là hình chiếu vuông góc của

A trên SB Tìm thể tích khối chóp H.SCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC

77

Câu 9.(1,0 điểm) Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a3(b+c) +

y

a

1,

1,

1 = = Do abc=1 ⇒ xyz=1

+

++

++

=

x y

z z x

y z y

x A

111111

3 3

3

2 2

2

=

≥++

≥+

++

+

z y x y x

z x z

y z y x

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 3

2 đạt khi a = b = c = 1

27

ĐỀ SỐ 95

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y x= 3−3mx 3m 1,+ − có đồ thị (Cm) với m tham số.

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 1=

2 Với giá trị nào của m thì phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần phía trên trục hoành của (Cm) bằng phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và phần phía dưới trục hoành của (Cm)?

dxI

1/ Trong một lớp học có 3 tổ: tổ I có 3 bạn, tổ II có 4 bạn, tổ III có 5 bạn Hỏi có bao

nhiêu cách sắp các bạn của cả 3 tổ đứng thành hàng ngang sao cho các bạn tổ I đứng

cạnh nhau, các bạn tổ III đứng cạnh nhau nhưng không có hai bạn nào của tổ I và III

đứng cạnh nhau

2/Chứng minh rằng số phức 1 z

1 z

−+ là số ảo nếu và chỉ nếu z =1 và z≠ −1.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 0; 1;1 , B 1;2;1( − ) ( ) Viết phương trình mặt cầu (S)

có đường kính là đoạn vuông góc chung của đường thẳng AB và đường thẳng chứa trục Ox

Câu 7.(1,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Mặt phẳng (SAB) vuông góc

với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α Tính thể tích hình chóp S.ABC và khoảng

12

Câu 9.(1,0 điểm) Cho hai số thực dương x , y thỏa x + y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1;1); nghịch biến trên khoảng (−∞ −; 1 ; 1;) ( +∞).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x 1; y= CT =4, đạt cực đại tại x= −1; yCD =0.

2.(1,0 điểm) Xét hình phẳng giới hạn bởi (Cm) và trục hoành.Tìm giá trị của m để phần hình

phẳng phía trên trục hoành và phần hình phía dưới trục hoành có diện tích bằng nhau

y '' 6x= ⇒y '' 0= ⇔ = ⇒x 0 I 0;3m 1− là tâm đối xứng của đồ thị (Cm)

theo điều kiện bài toán I

2 3 sin x cos x (1 2sin x) 1 4sin x 0 2 3 sin x cos x 2sin x 4sin x 0

2sin x 3 cos x sin x 2 0

Vậy nghiệm của hệ là (3;3).

Câu 3.(1,0 điểm) Tính tích phân

3

2 0

dxI

++

++

=++

2

2 3

2

111

111

11

1

x x

dx x

x dx

x x

x

x x

x x

x

dx x x

x

x dt

x x

=

⇒++

=

2

2

111

Sắp 4 bạn tổ II đứng thành hàng ngang có 4!= 24 cách sắp

Giữa 4 bạn tổ II có 5 “vách ngăn”

“Buộc” 3 bạn tổ I thành nhóm I, “buộc” 5 bạn tổ III thành nhóm III

Giả sử z = a + bi, a,b thuộc R

Suy ra N1(-7,4) thuộc d đối xứng với M1(7,4) thuộc (C) qua Oy

Và Suy ra N2(-1,-2) thuộc d đối xứng với M2(1,-2) thuộc (C) qua Oy

Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 0; 1;1 , B 1;2;1( − ) ( ) Viết phương trình

mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của đường thẳng AB và đường thẳng chứa trục Ox

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Mặt phẳng (SAB) vuông góc

với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α Tính thể tích hình chóp S.ABC và khoảng

cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Gọi H là trung điểm AB Ta có SH⊥AB⇒SH⊥(ABC)

31

Kẻ HI AC, HK BC (I AC, K BC) SI AC SIH SIKˆ ˆ HI HK

Do H là trung điểm AB ( B thuộc (SBC)) nên d(A,(SBC)) 2d(H,(SBC))=

Mà (SHK) vuông góc (SBC) nên từ H kẻ HL vuông góc SK thì HL vuông góc (SBC) nên HL

12

Câu 9.(1,0 điểm) Cho x >0 và y >0 thỏa x + y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4