Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn AB.. Lập phương trình đường thẳng D là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên P.. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hypebol H có phương trì
Trang 1ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC (Thời gian 180 phút)
I PHẦN CHUNG :
Câu 1:
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 2
1
x x
−
−
2 Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m, đường thẳng (d) y = - x + m luôn cắt đò thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn AB
Câu 2
1 Giải phương trình: 2
2 1
x
x x− =
Câu 3:
Câu 4:
Tính tích phân
2
3 0
sinxdx sinx + 3 osxc
π
∫
Câu 5:
log x+ +1 log y+ +1 l go z+4 trong đó x, y, z là các số dương thoả mãn đièu kiện xyz = 8
II PHẦN RIÊNG:
1) Theo cương trình chuẩn:
Câu 6a:
1 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng
(d1): x + y + 1 = 0, (d2): 2x – y – 1 = 0 Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;-1) cắt (d1) và (d2) tương ứng tại A và B sao cho 2MA MBuuur uuur r+ =0
2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai điểm A(1;7; - 1), B(4;2;0) Lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên (P)
Câu 6b: Ký hiệu x1 và x2 là hai nghiệm phức của phương trình 2x2 – 2x + 1 = 0 Tính giá trị các số phức: 2
1
1
x và 2
2
1
x
2) Theo chương trình nâng cao:
Câu 7a:
1 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hypebol (H) có phương trình
2 2
1
sử (d) là một tiếp tuyến thay đổi và F là một trong hai tiêu điểm của (H), kẽ FM ⊥(D) Chứng minh rằng M luôn nằm trên một đường tròn cố định, viết phương trình đường tròn đó
2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , ch ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) Tìm toạ
độ trưc tâm của tam giác ABC
Câu 7b: Người ta sử dụng 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn Vật lý, & cuốn Hoá học ( các cuốn sách cùng loại
giống nhau) để làm giải thưởng cho 9 học sinh, mỗi học sinh được 2 cuốn sách khác loại Trong 9 học sinh trên có hai bạn Ngọc và Thảo Tìm sác xuất để hai bạn Ngọc và Thảo có phần thưởng giống nhau
Trang 2-Hết -HƯỚNG DẪN GIẢI:
I PHẦN CHUNG:
Câu 1:
1 Tự giải
2 Phương hoành độ giao điểm của (d) và (C) là: 2
1
x x
−
− = - x + m
2 1
2 0 (1)
x
≠
Ta có A(x1; -x1 +m), B(x2; - x2 + m)
2(x −x ) = 2 ( x +x ) −4x x = 2(m2−4m+8) ≥ 8 Vậy gtnn của AB = 8 khi và chỉ khi m = 2
Câu 2:
x x x
−
Đưa phương trình về dạng: (x – 1)(2x2 + x – 1 - log2
3) = 0
4
=
c π ÷c π ≠÷
x
− +
⇒ - sin3x = sinx + sin2x
⇔ sin2x(2cosx + 1) = 0
2
osx =
-2
k
c
π
2 2 3
k x
π
=
= − +
Câu 3:
Trang 3Trên SB, SC lấy các điểm B’, C’ sao cho SB’ = SC’ = a
Ta có AB’ = a, B’C’ = a 2 , AC’ = a 3 , vậy tam giác AB’C’ vuông tại B’
Gọi H là trung điểm của AC’, thì tam giác SHB’ vuông tại H Vậy SH là đường cao của hình chop S.AB’C’
Vậy: VS.AB’C’ =
3 2 12
a
' '
S ABC
S AB C
V = a =a ⇒ VS.ABC = 2
Câu 4:
Ta có sinx + 3 cosx = 2cos
6
x π
−
− +
I =
sin
dx
dx
6
Câu 5:
Theo bất đẳng thức Minkowski:
1 1 2 2 3 3 ( 1 2 3) ( 1 2 3)
a +b + a +b + a +b ≥ a + +a a + b b+ +b
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 3
a
a a
b =b =b
2
log (xyz) 4
x = y = z = xyz = ⇒ = =x y 48;z=2 2
II PHẦN RIÊNG:
1) Phần theo chương trình chuẩn:
Câu 6a:
1 A(a;-a-1), B(b;2b – 1)
Từ điều kiện 2MA MBuuur uuur r+ =0 tìm được A(1; - 2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0
2 Gọi (Q) là mặt phẳng qua A,B và vuông góc với (P) ta suy ra (Q): 8x + 7x + 11z – 46 = 0 (D) = (P)∩(Q) suy ra phương trình (D)
Câu 7a:
2 ,
2
i
= −
2) Phần theo chương trình nâng cao:
Câu 7a:
1 (H) có một tiêu điểm F( ( 13;0)
Gọi phương trình tiếp thuyến (d): ax + by + c = 0
Khi đó: 9a2 – 4b2 = c2 (*)
Trang 4Phương trình đường thẳng qua F vuông góc với (d) là (D): b(x− 13) - a y = 0
Toạ độ của M là nghiệm của hệ: ax + by = - c
bx - ay = 13b
Bình phương hai vế của từng phương trình rồi cộng là và kết hợp với (*) ta được x2 + y2 = 9
2 Lập phương trình mp(ABC)- ptmp(P) qua A và (P) ⊥ BC – pt mp(Q) qua B và (Q) ⊥ AC Giải hệ gồm ba phương trình ba mặt phẳng trên ta được trực tâm H 36 18 12; ;
49 49 49
Câu 7b:
Gọi A là biến cố “ Ngọc và Thảo có phần thưởng giống nhau”
Ta có n(Ω) = C C C = 12092 73 44
+ ) Ngọc và Thảo nhận sách(Toán, Lý) khả năng xáy ra: 3 4
7 4
C C = 35
+) Ngọc và Thảo nhận sách(Toán, Hoá) khả năng xáy ra: 7C C = 10562 44
7 5 2
C C C = 210
Vậy n(A) = 350 Ta có: p(A) = ( ) 5
( ) 18
n A