Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Câu III 1,0 điểm Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C có tất cả các cạnh đều bằng a.. ' ' ' tích của hình lăng trụ và diện t
Trang 1SỞ GD & ĐT KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Đề số 02 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm) Cho hàm số y= - x3+3x2- có đồ thị (C) 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2 Biện luận số nghiệm phương trình sau theo k : x3−3x2+ =k 0
Câu II (3,0 điểm)
1 Giải phương trình: log0,5x−2log 0,5x( ) + =1 0
2 Tính tích phân: 1 ( 2)
0
x
I =∫ x x e dx+
3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x3+3x2−12x+2 trên [−1; 2]
Câu III (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C có tất cả các cạnh đều bằng a Tính thể ' ' '
tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a
II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm): Cho ( )1
2 2
z t
= −
=
=
và ( )2
:
−
1 CMR ( )d và 1 ( )d vuông góc nhau nhưng không cắt nhau.2
2 Viết phương trình đường vuông góc chung của ( )d và 1 ( )d 2
Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình: 2
3 4 0
B Theo chương trình Nâng cao
Câu IVb (2.0 điểm): Cho mp( )α : 2x y− +2z− =3 0 và 2 đường thẳng
( )1
:
− ; ( )2
:
−
1 CMR ( )d song song mặt phẳng 1 ( )α và ( )d cắt mặt phẳng 2 ( )α
2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ( )d và 1 ( )d 2
3 Viết phương trình đường thẳng ( )∆ song song với mặt phẳng ( )α , cắt đường thẳng ( )d và 1 ( )d 2
lần lượt tại M và N sao cho MN =3
Câu Vb (1.0 điểm) Tìm nghiệm của phương trình z z= 2, trong đó z là số phức liên hợp của số phức z
Trang 2ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
Câu Ý Nội dung Điểm 1 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 3 2 3 1 y= − +x x − 1.5 1) Tập xác định: D=¡ 2) Sự biến thiên của hàm số: a) Giới hạn: lim ; lim x y x →+∞ = −∞ →−∞= +∞ b) Bảng biến thiên: Ta có: y'= −3x2+6x= −3x x( −2) ' 0 0 2 x y x = = ⇔ = x - ¥ 0 2 +¥
y' 0 + 0
-y +∞ 3
-1 −∞
Hàm số đồng biến trên khoảng ( )0; 2 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞;0) và (2;+∞) Hàm số đạt cực đại tại x=2; yCD =3.
Hàm số đạt cực tiểu tại x=0; yCT = −1. 3) Đồ thị:
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
x y
0.25
0,25
0.25
0.5
0,25
2 Biện luận số nghiệm phương trình sau theo k : x3−3x2+ =k 0 1( ) 1.5
3 0
3
⇔ = − +
Đặt ( ) 3 2
3 1
f x = − +x x − và g x( ) = −k 1, số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của f x và ( ) g x ( )
Suy ra:
• Khi k− < − ⇔ <1 1 k 0, phương trình (1) có 1 nghiệm
0.5 0.5
Trang 3• Khi k− = − ⇔ =1 1 k 0, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
• Khi 1− < − < ⇔ < <k 1 3 0 k 4, phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
• Khi k− = ⇔ =1 3 k 4, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
• Khi k− > ⇔ >1 3 k 4, phương trình (1) có 1 nghiệm
0.5
2 1 Giải phương trình: log0,5 x−2log 0,5x( )+ =1 0 1( ) 1.0
Điều kiện: 0
1
x x
>
≠
Khi đó:
0,5
2
log
x
x
Đặt t=log0,5 x, (1) trở thành:
2
0,5 0,5
2
1 0
2 0
1
1 log 1
2
t t
t t
− + =
⇔ + − =
⇔
So điều kiện ban đầu ta suy ra nghiệm của phương trình (1) là 1
2
x= và x=4
0.25
0.25
0.25
0.25
2 Tính tích phân: 1 ( 2)
0
x
0
I x x e dx x dx x e dx x
x e dx x e dx
Tính 1 2
0 x
J =∫ x e dx: Đặt 2 ( )
0 x dt=2xd
2
dt
t=x t≥ ∀ ⇒ x⇒xdx=
Đổi cận
⇒
Suy ra
2
1
0
J =∫ x e dx= ∫ e dt= e = −
Vậy
3 3 2 2 2 6 6
0.25
0.25
0.25
0.25
3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x3+3x2−12x+2 trên [−1; 2] 1.0
Ta có y' 6= x2+6x−12 x∀ ∈ −[ 1; 2]
' 0
1
2 loai
y
x x
=
=
⇔ = −
Mà
0,25
0,25
Trang 4( ) ( ) ( )
1 15
1 5
2 6
f f f
− =
= −
=
Suy ra max của f x : ( ) fmax =15 tại x= −1
min của f x : ( ) fmin = −5 tại x=1
0,25
0,25
3 Tính thể tích hình lăng trụ và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a 1.0
Diện tích tam giác ABC : 2 3
4
ABC
a
S∆ =
Thể tích lăng trụ: ' ' ' ' 2 3 3 3
4
a
∆
Gọi G là trọng tâm ABC∆ , 'G là trọng tâm ∆A B C' ' '
Gọi O là trung điểm GG'
Vì ABC A B C là lăng trụ tam giác đều nên ' ' ' GG là trục của lăng trụ ' ⇒ O là điểm
cách đều các đỉnh của lăng trụ Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
Theo định luật Py-ta-go cho OAG∆ :
Vậy diện tích mặt cầu:
12 3
S = πR = π = π
0.25
0.25
0.25
0.25 4a
CTC
1 CMR ( )d và 1 ( )d vuông góc nhau nhưng không cắt nhau2 1.0
1 2;0;1 2 1; 1; 2
uuur= − uuur= −
Gọi N(2;3;0) ( )∈ d1 và N' 2;1;0( ) ( )∈ d2 ⇒uuuurNN'=(0; 2;0− )
Ta có: u uuur uurd1; d2 = (1;5;2)
; ' 10 0 2 2 0
u u
= − + =
uur uur uuuuur uur uur ( )d và 1 ( )d vuông góc nhưng không cắt nhau2
0.25 0.25
0.5
2 Viết phương trình đường vuông góc chung của ( )d và 1 ( )d2 1.0
Trang 5( )2
2 : 1 2
z t
= +
= −
=
Đặt A(2 2 ;3;− t t) ( ) (∈ d1 ; B t' 2;1+ −t';2 't ) ( )∈ d2
(2 '; ' 2; 2 ' )
uuur
Nếu AB là đường vuông góc chung của ( )d và 1 ( )d thì:2
1
2
0
1 ' 2 2 ' 4 ' 2 0 6 ' 2 0 ' 0
3
d d
t
AB u
=
uuur uur uuur uur
Suy ra A(2;3;0), 5 4; ; 2
3 3 3
Vậy Phương trình AB :
x− = y− = z
0.25
0.25
0.25
0.25
( )2
9 16 7 7i
∆ = − = − =
Vậy 2 nghiệm của phương trình là:
1 2
i
i
− +
−
− −
−
Vậy tập nghiệm của phương trình là 3 7 ; 3 7
0.25
0.5
0.25
4b
CTNC 1 CMR ( )d song song mặt phẳng 1 ( )α và ( )d cắt mặt phẳng 2 ( )α 1.0
(2; 1; 2 ) d1 (2; 2; 1 ) d2 (2;3; 2)
Gọi N(4;1;0) ( )∈ d1 và N' 3; 5;7(− − ) ( )∈ d2
Xét ( )α và ( )d1
1
1
2.2 1.2 1.2 0
/ /
d
n u
d M
α
∉
uur uur
Xét ( )α và ( )d2
2
d 2.2 3 4 3 0
u uuur uurα = − − = − ≠ ⇒ ( )d cắt 2 ( )α
0.5
0.5
2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ( )d và 1 ( )d2 0.5
1 2
' 7; 6;7
; 1; 2; 2
1 4 4
;
NN
u u
d d d
u u
= −
+ +
uuuur
uur uur uuuur uur uur
uur uur uuuur uur uur
0.25
0.25
3 Viết phương trình đường thẳng ( )∆ song song với mặt phẳng ( )α , cắt đường thẳng
( )d và 1 ( )d lần lượt tại M và N sao cho 2 MN=3
0.5
Trang 6Đặt M(2t+4; 2 1;t+ − ∈t) ( )d1 N 2 ' 3;3 ' 5;7 2 '( t − t − − t ) ( )∈ d2
(2 ' 2 7;3 ' 2 6;7 2 ' )
⇒uuuur= − − − − − +
Ta có hệ:
' 2 ( 2 3) ( 2 ) (3 ) 9
3
MN n
t
MN
uuuuruur
Vậy MNuuuur= − −( 5; 2; 4)
Suy ra, đường thẳng cần tìm là:
x− y− z+
0.25
0.25 5b Tìm nghiệm của phương trình z z= 2, trong đó z là số phức liên hợp của số phức z 1.0
Gọi z x yi= + ,(x y∈¡ )
Suy ra
2 2
y=
y=
x
xy y
x
= −
= −
Vậy số thực z cần tìm là 1 3
2 2
2 2
0,25
0.5
0,25