a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. b Xác định tâm và tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.. b Lập phương trình mặt cầu S có tâm là gốc tọa độ và
Trang 1SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP - NĂM HỌC 2010-2011
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 4 Thời gian làm bài : 120 phút
I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu 1: (3,0 điểm) Cho hàm số y = 2
1
x x
+
− có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C), biết tiếp tuyến d có hệ số góc k = -3
Câu 2: (3,0 điểm)
a) Giải phương trình sau :
2
2 3
x− x
÷
b) Tính tích phân sau : I = 4 tan
2
0cos
π
x
c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( ) 3= x x trên đoạn [-2 ; 3]− 3
Câu 3 : (1,0 điểm ) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 2
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
b) Xác định tâm và tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được chọn một trong 2 phần (phần cho chương trình chuẩn 4a, 5a; phần cho chương trình nâng cao 4b, 5b)
1 Theo chương trình chuẩn
Câu 4.a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ oxyz cho điểm M(1; –2;–1) và đường thẳng
(d):
2 2
1 2
= −
=
= +
a) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d) b) Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Câu 5.a (1,0 điểm) Giải phương trình : x2 – 2x +3 = 0 trên tập số phức và tính môđun các nghiệm của phương trình
2 Theo chương trình nâng cao
Câu 4.b (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ oxyz , cho các điểm A( -1; 1; 0), B(0 ; 0 ;-2), C(1 ; 1; 1)
a) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (p) bằng 3
b) Viết phương trình mặt cầu (S), biết mặt cầu đi qua 4 điểm : A, B, C, O (với O là gốc toạ độ)
Câu 5.b (1,0 điểm) Tìm nghiệm phức của phương trình sau : z2 + z = 0
………… Hết………
Trang 2SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP - NĂM HỌC 2010-2011
HƯỚNG DẪN CHẤM
1.a
2 Sự biến thiên
3
( 1)
x
−
− ; Nên hàm số luôn luôn nghịch biến trên từng khoảng
(−∞;1) và (1;+∞)
+ Hàm số không có cực trị
+ Giới hạn :
• xlim→±∞y=1, nên hàm số có tiệm cận ngang là y = 2
• limx→1− y= −∞; limx→1+ = +∞, nên hàm số có tiệm cận đứng là : x = 1
+ Bảng biến thiên
3 Đồ thị
+ Giao điểm của đồ với trục hoành tại điểm ( 0 ; - 2)
+ Giao điểm của đồ thị với trực tung tại điểm (- 2 ; 0)
+ Đồ thị đi qua điểm (2 ; 4)
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25
0,25
0,5
1.b
(1,0)
Gọi (x0 ; y0) là toạ độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị (C), theo bài ra ta có
0 2
0
3
( 1)
x
x
Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là
• y = -3x-2
• y = -3(x - 2) +4 ⇔y = -3x +10
0,5
0,5
a) Ta có
2
2 3
x−x
÷
2
⇔2x2 - 3x = -1 ⇔2x2 - 3x +1 = 0 0,5
x - ∞ 1 +∞
y’
-y
-
1
-2 -2
y
x
1
1 2 4
0
Trang 3c)
⇔
1 1 2
x x
=
=
Vậy phương trình có 2 nghiệm : x = 1 ; x = 1
2 Đặt tanx = t⇒ 12 dx dt
cos x =
Đổi cận
• x = 0 ⇒t = 0
• x =
4
π ⇒t = 1
Ta có
1
0
1 1 0
e dt e= = −e
∫
Tập xác định D = R
Ta có : y' = 3 - 3x2, y' = 0⇔3 - 3x2 = 0⇔ 1 [ 2;3]
1
x x
=
= −
f(-2) = 2 , f(-1) = -2, f(1) = 2 , f(2) = - 36
Vậy max ( )[−2;3f x] = − =f( 2) f(1) 2, min ( )= [−2;3f x] = f(3)= −36
0,5
0,25
0,25 0,5 0,5
0,25 0,25
a) Hình chiếu của đỉnh S xuống mặt đáy làtâm H của hình vuông ABCD, nên SH = h
là chiều cao hình chóp
2
2
Thể tích của hình chóp đều S.ABCD là:
3
a
V = S × =h (đvtt)
0,25
0,25
b) SH là trục đường tròn ngoại tiếp đáy Trong mặt phẳng (SAH), trung trực của SA
cắt SH tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính của
mặt cầu là R OS OA OB OC OD= = = = =
Hai tam giác vuông SMO và SHA có chung góc S nên chúng đồng dạng Suy ra:
R SO
SH = SA ⇒ = = SH = a =
0,25
0,25
a) VTCP của đường thẳng d là ( 1; 2; 2)
d
Vuur= − , vì mặt phẳng (P) vuông góc đường thẳng d nên (P) nhận vtcp của d làm vtpt.Vậy phương trình mặt phẳng (P)là
-(x - 1) + 2(y + 2) + 2(z +1) = 0⇔-x + 2y + 2z + 7 = 0
0,5 0,5 b)
Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên d(O,d) = R⇔R = 7
3 Vậy phương trình mặt cầu (S) là : x2 + y2 + z2 = 49
9
0,5 0,5
câu 5.a Ta có ∆ = − <' 2 0, nên phương trình có 2 nghiệm phức
= −
= +
0,25 0,25
Trang 42 2
z z
⇒
0,25 0,25
a Gọi ( ; ; ) 0n a b cr ≠rlà véc tơ pháp tuyến của (P)
+ Vì (P) đi qua A(-1;1;0) nên phương trình (P) : a(x+1)+b(y-1)+cz = 0
+ Vì (P) đi qua B(0;0;-2) nên ta có a-b-2c = 0 ⇒b = a 2c khi đó (P) : ax +(a
-2c)y +cz + 2c = 0
Theo bài ra d(C,(P)) = 3 2 2 2 2 3
( 2 )
a c
+
+ − + 2a2- 16ac +14c2 = 0
7
a c
a c
=
⇔ =
TH1 : a = c chọn a = b = 1 , phương trình (P) là x - y +z +2 = 0
THP : a = 7c ta chọn a = 7, c = 1, phương trình (p) là 7x + 5y + z +2 = 0
0,25
0,25
0,25 0,25
b Giả sử phương trình (S) có dạng : x2 + y2 + z2 +2ax + 2by + 2cz + d = 0, Vì mặt
cầu (S) đi qua 4 điểm A,B,C,O nên ta có hệ phương trình
3
4
1 0
0
a
a b d
c d
b
a b c d
c d
d
= −
− + = −
=
=
Ta có bán kính mặt cầu là : R = 37
8 Vậy phương trình mặt cầu (S) là : ( 3)2 ( 7)2 ( 1)2 37
x+ + +y + −x =
0,25
0,25
0,25 0,25
Đặt z = x + iy( x, y R∈ ) khi đó phương trình có dạng
(x + iy)2 + x - iy = 0 ⇔x2 - y2 + 2xyi +x - yi = 0
⇔x2 - y2 + x + (2xy - y)i = 0⇔ 2 2
0 0 1 0
3
2 1 2
y x x
x y x
x
=
=
= −
=
Vậy phương trình có 4 nghiệm : z = 0, z = -1, z = 1 3 , 1 3
2+ 2 i z= −2 2 i
0,25
0,5
0,25
