PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN LỤC YÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THCS NĂM HỌC 2008 – 2009
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4 điểm)
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:
ì
í
î Chứng minh rằng:
Bài 2 (4 điểm)
Giải các phương trình:
a) x2 +8x 15+ =3 x+3+2 x+5- 6 b) x2 -2x+2=2 2x- 3
Bài 3 (4 điểm)
Cho điểm M thuộc miền trong tam giác ABC. Các tia AM, BM, CM cắt các cạnh của tam giác ABC theo thứ tự ở P, Q, R. Chứng minh rằng:
Bài 4 (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH để được hình vuông
Bài 5 (4 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên a, b khác 0 sao cho:
+
= +
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN LỤC YÊN
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP THCS NĂM HỌC 2008 – 2009
MÔN TOÁN
Bài 1 (4 điểm)
Từ (1) suy ra:
Từ (2) và (3) suy ra:
Xét:
Do đó:
Bài 2 (4 điểm)
ê
(0,5 điểm)
2
2
- =
ì
ï
(0,5 điểm)
Trang 3a) Kẻ AH và MK vuông góc với BC
ABC
Mặt khác: MK // AH (cùng vuông góc với BC)
(0,5 điểm)
ABC
ABC
AMB ABC
1
b)
(1 điểm)
Bài 4 (4 điểm)
Gọi diện tích của EFGH là S Theo giả thiết:
AE = BF = CG = DH Þ BE = CF = CG = AH Suy ra: AE + AH = a và ∆AEH = ∆BEF = ∆CGF = ∆DGH
(0,5 điểm)
Ta có: S = SABCD – 4.SAEH Û S = a 2 – 2.AE.AH
Ta có với mọi x, y Î R: (x – y) 2 ≥ 0 Û x 2 + y 2 ≥ 2xy
Û x 2 + y 2 + 2xy ≥ 4xy Û (x + y) 2 ≥ 4xy Û
2
xy
4
+
£
Suy ra: S = a 2 – 2.AE.AH ≤
+
Vậy:
2
H K
R
P
Q
A
M
H
G
F
B
A
E
Trang 4Thật vậy, giả sử (a + b, a 2 + b 2 ) = d (d ≠ 1). Suy ra:
M
+ Nếu a M d thì từ (1) suy ra b M d (vô lí vì a, b nguyên tố cùng nhau)
+ Nếu b M d thì từ (1) suy ra a M d (vô lí vì a, b nguyên tố cùng nhau)
Vì (a + b, a 2 + b 2 ) = 1. Kết hợp giả thiết suy ra:
=
ì
í
=
î (1 điểm) Vậy: Có hai cặp số thỏa mãn điều kiện đầu bài là a = 4; b = 5 hoặc a = 5; b = 4
(0,5 điểm)
Chú ý: Nếu học sinh có cách giải khác với đáp án mà vẫn cho kết quả hợp lý, chính xác thì vẫn cho điểm theo thang điểm trên