Tiểu luận môn học phương pháp tính Phương pháp phi tuyến

Số được gọi là số gần đúng của số chính xác , kí hiệu là được gọi là xấp xỉ , nếu kháckhông đáng kể và được dùng thay cho trong tính toán.. Sai số tương đối của số gần đúng a so với A l

GIẢNG VIÊN: NGUYỄN VĂN PHÚ

NHÓM SINH VIÊN THỰC HIỆN: NHÓM 7:

Mục lục:

Lời nói đầu……… 3

Lý thuyết……… 4

Đề các bài tập………

23 Bài giải các bài tập • Chương 1……… 26

• Chương 2……… 26

• Chương 3……… 29

• Chương 4……… 31

• Chương 5……… 36

• Chương 6……… 38

LỜI NÓI ĐẦU

P hương pháp tính là bộ môn toán học có nhiệm vụ giải đến kết quả

bằng số cho các bài toán, nó cung cấp các phương pháp giải cho những bài toán trong thực tế mà không có lời giải chính xác Môn học này là cầu nối giữa toán học lý thuyết và các ứng dụng của nó trong thực tế

Bài tập lớn môn phương pháp tính này được biên soạn theo SGK

bởi nhóm 7 Mục tiêu của bài tập lớn là giúp chúng em nắm thật chắc về

lý thuyết và hiểu sâu về một số bài toán trong kỹ thuật

Giáo trình gồm 6 chương: Số gần đúng và sai số, Phương trình phi

tuyến, Hệ phương trình đại số tuyến tính, Nội suy và xấp xỉ hàm, Đạo hàm và tích phân, Phương trình vi phân Nhóm chúng em đã thống kê lại tất cả 6 chương lý thuyết đó và kèm theo những bài tập của mỗi chương.

Nhóm chúng em chân thành cám ơn thầy Nguyễn Văn Phú đã tận

tình giảng dạy và đóng góp nhiều ý kiến quý báu về bài tập lớn cho chúng em.

Khi làm bài tập lớn này, chúng em đã cố gắng vận dụng những kiến thức mà thầy đã dạy và những kiến thức trong SGK Tuy nhiên, trong quá trình biên soạn chúng em vẫn còn nhiều thiếu sót không thể tránh khỏi Chúng em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy.

Nhóm 7

Nhận xét của GVHD:

Lý thuyết

Chương 1:

SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ

1.1 SAI SỐ:

Độ sai lệch giữa giá trị gần đúng và giá trị chính xác được gọi là sai số

Số được gọi là số gần đúng của số chính xác , kí hiệu là ( được gọi là xấp xỉ ), nếu kháckhông đáng kể và được dùng thay cho trong tính toán Đại lượng được gọi là sai số thật

sự của số gần đúng Trong thực tế, do không biết A, ta ước lượng một đại lượng dương càng bé càng tốt thỏa điều kiện

Được gọi là sai số tuyệt dối của số gần đúng a

Sai số tương đối của số gần đúng a so với A là dại lượng được tính theo công thức:

Nếu không biết A, ta có thể thay bằng:

Sai số tuyệt đối:

Công thức tính sai số tương đối:

1.2 BIỂU DIỄN SỐ THẬP PHÂN

Bất kì một số thập phân a nào cũng có thể viết dưới dạng:

Làm tròn một số thập phân là bỏ một số các chữ số bên phải sau dấu chấm thập phân để được một số ngắn gọn hơn và gần đúng nhất so với Giả sử ta muốn làm tròn dến chữ sốthứ sau dấu chấm thập phân của số a

Ta thấy : và chọn số làm tròn là hoặc theo điều kiện:

Để làm tròn đến chữ số thứ sau dấu thập phân, ta xét chữ số thứ là Nếu ta tăng lên mộtđơn vị; còn nếu , giữ nguyên chữ số Sau đó bỏ phần đuôi từ chữ số trở đi Sai số thực của so với được gọi là sai số làm tròn:

Khi đó sai số tuyệt đối của so với A được đánh giá như sau:

Cho với sai số tuyệt đối Trong cách viết thập phân của số , chữ số được gọi là đáng tin nếu:

Trong trường hợp ngược lại, chữ số được gọi là không đáng tin

Với f(x) là là hàm liên tục trên một khoảng đóng hay mở nào đó

Nghiệm của phương trình (2.1) là giá trị sao cho f() =0

Về mặt hình học.nghiệm của phương trình (2.1) là hoành độ giao điểm của đường công y

= f(x) với trục hoành

Khoảng cách li nghiệm: la khỏang đóng (đôi khi ta cũng xét khoảng mở (a;b)) mà trên

đó tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình (2.1)

Do chỉ xét nghiệm đơn của phương trình:

Nếu f(x) liên tục trên khoảng cách li nghiệm thì f(a).f(b) < 0

Để tìm nghiệm của phương trình 2.1 ta tiến hành theo hai bước:

Bước1: tìm tất cả các khoảng cách li nghiệm của phương trình (2.1).

Bước2: trong tương khoảng cách li nghiệm, tìm nghiệm gần đúng của phương trình bằng một phương pháp nào đó với sai số cho trước

Định lí 2.1 Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn và giá trị của hàm trái dấu tại hai điểm nút

thì phương trình (2.1) có nghiệm trên đoạn Thêm vào đó, nếu hàm f(x) đơn điệu thì nghiệm duy nhất

Định lí 2.2 giả sử f(x) lien tục trên , khả vi trong (a,b) Nếu là nghiệm gần đúng của

nghiệm chính xác trong vàx, m 0 Thế thì ta có công thức đánh giá sai số tổng quát sao đây

2.2 phương pháp chia đôi.

Xét phương trình f(x) = 0 (1) có nghiệm chính xác là trong khoảng cách li nghiệm

Trong đoạn [a,b]

Chọn 1 giá trị [a,b] tuỳ ý

Xây dựng dãy lặp {theo công thức:

=g() , (2.6)

*Lưu ý:

Nghiệm của phương trình (2) còn được gọi là điểm bất động của hàm g(x)

Định nghĩa: Hàm g(x) được gọi là hàm co trong [a,b] nếu một số q [0,1]

(3)

Số q đến bất đẳng thức (3) gọi là hệ số co

Định lí 2.3: Nếu g(x) là hàm co trên [a,b], thì nó liên tục trên đó.

Định lí 2.4: Nếu hàm g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và 0sao cho (a,b), , thì

g(x) là hàm co trên [a,b] với hệ số co là q

Định lý 2.5: (Nguyên lí ánh xạ co) Giả sử g(x) là hàm co trên đoạn [a,b] với hệ số co là

q Đồng thời, x [a,b], g(x) [a,b] Khi đó với mọi giá trị ban đầu trong [a,b], dãy lặp xác định theo công thức (2.6) sẽ hội tụ về nghiệm duy nhất của phương trình (2.5) và ta có công thức đánh giá sai số

Hoặc

2.4.Phương pháp Newton (còn gọi là phương pháp tiếp tuyến)

Định lí: Giả sử hàm f(x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục và các đạo hàm f’(x), f’’(x) không

đổi dấu trên đoạn [a,b] Nếu các đạo hàm cấp 1 và 2 cùng dấu thì chọn =a, khi đó nghiệmgần đúng của phương trình f(x)=0 được xác định theo công thức :

= - n=1,2,3,…

Ta có công thức đánh giá sai số

2.5 Phương pháp dây cung

Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0

Giả sử f(x) liên tục trên khoảng cách li nghiệm [a;b]

Có đạo hàm đến cấp 2 liên tục

f’(x); f’’(x) không đổi dấu và f’’(x) >0

Khi đó nghiệm gần đúng sẽ được tính như sau:

Nếu f(a)>0 ta xây dựng dãy lặp theo công thức

Nếu f(a)<0 ta xây dựng dãy lặp theo công thức

Đánh giá sai số theo công thức:

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

+ Đổi chỗ 2 hàng cho nhau

+ Cộng hàng với một hàng khác sau khi đã nhân một số khác 0

Ma trận bậc thang là 1 ma trận thỏa

Các hàng khác 0 bao giờ cũng nằm trên hàng 0

Trên hai hàng khác 0 phần tử khác 0 đầu tiên ở hàng bên dưới bao giờ cũng nằm bên phảicột chứa phần tử khác 0 đầu trên ở hàng bên trên

L là ma trận tam giác dưới

U là ma trận tam giác trên

a) Phương pháp Doolittle

Trong đó:

L là ma trận tam giác dưới nhưng các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1

U là ma trận tam giác trên

Các phần tử L,U được tính theo công thức:

Ma trận được gọi là xác định dương nếu với mọi vectơ khác không ta luôn có , trong đó.

Định lí kiểm tra A xác định dương

Định lí : Ma trận A là xác định dương khi và chỉ khi tất cả định thức con chính của A đềudương

Định lí: A là ma trận đối xứng và xác định dương khi và chỉ khi tồn tại ma trận B tam giác dưới khả đảo sao cho

Ma trận tam giác dưới B có thể tìm được theo cong thức sau:

Phương pháp Choleski: Xét hệ phương trình đại số tuyến tính , nếu là đối xứng và xác định dương thì ta có:

3.3 Chuẩn vectơ và chuẩn ma trận:

Chuẩn ma trận tương ứng với chuẩn vectơ xác định theo công thức:

Định lý: Ta có chuẩn cùa ma trận A tương ứng với chuẩn vectơ được xác định như sau:

Chương 4:

Đa thức nội suy Lagrange:

Xét hàm được cho dưới dạng:

Xây dựng đa thức nội suy Lagrange thỏa điều kiện sau:

- Bậc của đa thức nhỏ hơn hoặc bằng n

-Trước tiên ta xây dựng đa thức phụ:

Ta có:

Để tính giá trị gần đúng của hàm số ta có thể lặp bảng sau đây:

Khi đó giá trị gần đúng của đa thức nội suy lagrange tại điểm x là:

Còn tại x1 ta cũng có f’(x1)nhưng được gọi là công thức sai phân lùi và thường được viết dưới dạng: f’(

Bây giờ xét bảng với ba điểm nút:

y y0 y1

y2

Với x2 – x1 = x1 – x0 = h và y0 = f(x0), y1 = f(x1) = f(x0 + h), y2 = f(x2) = f(x0 + 2h) Đây là trường hợp thường dùng để sấp xỉ các đạo hàm Đa thức Lagrange có dạng:

Riêng đối với đạo hàm cấp hai, ta thường dùng công thức (5.2) để xấp xỉ tại điểm Do đó

ta cũng có công thức sai phân hướng tâm và thường viết dưới dạng:

f’(

5.2.CÔNG THỨC NEWTON-COTES

Mục đích của phần này là tính gần đúng tích phân xác định

I = (5.5)

Với f(x) là hàm xác định và khả tích trên [a;b] Ý tưởng xuất phát từ việc xấp xỉ hàm f(x) trên đoạn [a;b] bởi đa thức nội suy Lagrange và

Đối với công thức đánh giá sai số của công thức Newton-Cotes, ta có định lí sau

Định lí 5.1 Sai số của công thức Newton-Cotes cho bởi:

= h (5.11)

Công thức (5.11) được gọi là công thức hình thang, dùng xấp xỉ tích phân (5.5)

Cong thức đánh giá sai số là:

CHƯƠNG 6 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

6.1 BÀI TOÁN CAUCHY

Giả sử ta cần giải bài toán Cauchy: ( 6.1 ) a

Với: + y = y(x) là hàm cần tìm, khả vi trên khoảng [ a,b ]

+ y0 là giá trị ban đầu hàm cho trước của hàm tại x = a

6.1.1 Công thức Euler

- Ta chia đoạnn [ a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với bước nhảy h =

- Khi đó các điểm chia là : + x0 = a

+ xk = x0 + kh , k= 0,1,2,3,…, n

+ xn = b

 Giá trị gần đúng cần tìm của hàm tại điểm xk được kí hiệu là yk y( xk)

Giả sử y(x) là nghiệm duy nhất của bài toán ( 6.1 ), có đạo hàm cấp 2 liên tục trênđoạn [ a,b ] Khi đó với mỗi k= 0,1,2,…,n-1 ta có:

Bài 10: Đa thức có nghiệm Sử dụng phương pháp Newton với giá trị lặp ban đầu để tìm

nghiệm này Giải thích điều kiện xảy ra

Bài 11: Trong hệ các phương trình sau đây, hãy tìm theo phương pháp Newton.

Bài 3: Cho các bảng giá trị sau của hàng Sử dụng đa thức nội suy Lagrange tính gần đúng giá trị

của hàm tại So sánh với giá trị chính xác

a)

c)

Bài 4: Đối với hàm , bảng tỉ sai phân được cho bởi:.

Hãy xác định các giá trị còn thiếu trong bảng

Bài 10: Đa thức có nghiệm Sử dụng phương pháp Newton với giá trị lặp ban đầu để tìm

nghiệm này Giải thích điều kiện xảy ra

Bài giải:

Ta có:

Vậy đa thức nội suy p(x) hội tụ về nghiệm khác là 0.27

Hiện tượng mỗi lần lặp đều cho giá trị như nhau

Giải thích do chọn sai điểm Fourier

Bài 11: Trong hệ các phương trình sau đây, hãy tìm theo phương pháp Newton.

a) chọn

Bài giải:

Bài giải:

a)

Chương 4:

3) Cho các bảng giá trị sau của hàng Sử dụng đa thức nội suy Lagrange tính gần đúng giá trị của hàm tại So sánh với giá trị chính xác.

Bài 4: Đối với hàm , bảng tỉ sai phân được cho bởi:

Gọi n là số đoạn chia ta được

Số đoạn chia n được tìm từ bất đẳng thức: (b – a)

0.00000.00910.0143

0.00000.00480.00970.01460.01940.02430.02920.03410.03900.04390.0488

d)

0.00000.01420.02540.03230.03420.03060.02140.00710.01170.03360.0573