ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học 2010 – 2011 Môn: Toán Khối : 10 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề )
(Đề thi gồm có 1 trang )
Câu I: ( 2 điểm )
Cho hàm số y x = 2 + (2 m + 1) x m + 2 − 1
1)Khảo sát vẽ đồ thị hàm số khi m=1
2)Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng d: y=x tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm đó không phụ thuộc vào m
Câu II: ( 2 điểm )
1) Giải phương trình : 2 x + + 3 x + = 1 3 x + 2 2 x2 + 5 x + − 3 16
2) Tìm m để phương trình :3 x m − = 2 x − 4 có hai nghiệm phân biệt
Câu III: ( 2 điểm)
1) Cho phương trình (m +2) x2 -2( m-1)x + m – 2 = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x1 − x2 = 2
2) Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có một nghiệm (x,y) đều nguyên:
1
x y m
+ = +
Câu IV: ( 3 điểm )
1) Cho 1 0 0
3
α = < < α Tính giá trị của biểu thức:
3sin(180 ) 9sin cos(180 ) cot(180 )
2)Chứng minh rằng với a là số thực bất kỳ luôn tồn tại một tam giác có số đo ba cạnh là:
2 1; 2 1; 4 2 3
3)Cho tam giác ABC I, J là hai điểm định bởi :
IA + IC = JA + JB + JC =
uur uur r uur uur uur r
Chứng minh I,J,B thẳng hàng
Câu 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta có a4 + + ≥ b4 c4 abc a b c ( + + )
Hết
Trang 2ĐÁP ÁN I) Câu I:
1)Khảo sát vẽ đồ thị hàm số khi m=1
+) y = x2 +3x
+) tìm TXĐ
0,25
+) Tọa độ đỉnh, Khoảng đồng biến,nghịch biến, trục đối xứng 0,25
+) Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ, cho đủ 5 điểm thuộc dồ thị (vẽ
đúng)
0,25
2)Giải phương trình : 2 x + + 3 x + = 1 3 x + 2 2 x2 + 5 x + − 3 16
+) Pt hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: x2 + 2 mx m + 2 − = 1 0
+) có ∆ = > ∀ ⇒' 1 0 m luôn có hai giao điểm A,B
0,25
+) Giả sử A x x B x x ( ; ); ( ; )1 1 2 2 (x x1; 2 là nghiệm phương trình trên)
+) Có x1 + x2 = − 2 ; m x x1 2 = m2 − 1
0,25
AB = 2 x − x = 2 x + x − 4 x x 0,25
+) Thay vào được AB = 2 2 0,25
II) CÂU II:
1) Giải phương trình : 2 x + + 3 x + = 1 3 x + 2 2 x2 + 5 x + − 3 16
+) đk: x > -1
+) Đặt t = 2 x + + 3 x + 1 (t >0 ) ta được pt:
0,25
2
2 x 3 x 1 5 2 2 x 5 x 3 21 3 x
2
7
21 3 0
3
143
146 492 0
3
x x
x
x
x
≤
0,25
Trang 32) Tìm m để phương trình :3 x m − = 2 x − 4 có hai nghiệm phân biệt.
Pt 22
x
≥
⇔
Xét hàm số f(x) = 4x2 -25x+16 trên [2; +∞) 0,25
0,5
Từ BBT thấy để PT có hai nghiệm phân biệt thì:
− < − ≤ − ⇔ ≤ <
0,25
CÂU III:
1)Cho phương trình (m +2) x2 -2( m-1)x + m – 2 = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn
1 2 2
x − x =
Đ để pt có hai nghiệm phân biệt 1 2 ' 2 0 5
,
2
2 5 0
m
m
+ ≠
∆ = − + >
0,25
2 1 2 2 1 4 1 2 4 1 2 4 *
Có 1 2 2( 1) 1 2 2
;
+ + Thay vào (*)được pt:
0,25
2 6 1 0
m + m − = Giải kết hợp điều kiện được m = 10 3 − 0,25
x 2 25
8 +∞
-18 +∞
f(x)
369
16
−
Trang 42) D=2m+3; Dx = 2 m − 3; Dy = 2 m2 + m 0,25
0
D m
D
=
hệ vô nghiệm
Nếu 3
2
m ≠ ⇒ hệ có nghiệm duy nhất
6 1
2 3
6 2
2 3
x
m
y m
m
= − −
= + +
0,25
0,25
KL : m = 0; m=1; m = 2; m = 3 0,25 CÂU IV:
3
α = < < α Tính giá trị của biểu thức:
3sin(180 ) 9sin cos(180 ) cot(180 )
T ính 2 2
3
0
cot 180 cot 2 2
0,5
2)Chứng minh rằng với a là số thực bất kỳ luôn tồn tại một tam giác có số đo
Để x nguyên, y nguyên thì 2m-3 phải là ước của 6
2m -3 -6 -3 -2 -1 1 2 3 6
m 3
2
− 0 1
2 1 2
5
2 3
9 2
Trang 5ba cạnh là: a2 − + a 1; a2 + + a 1; 4 a2 + 3
Trong hệ trục Oxy chọn 1 ; 3 ; 1 ; 3 ; ( ) 0;0
0,5
OA uuur và OB uuur không cùng phương vì nếu cùng phương thì
1
2
a
a
− +
= − ⇒ − + = − − ⇒ = −
+
(vô lý )
Vậy O;A; B không thẳng hàng ; OAB là tam giác có:
0,25
3)Cho tam giác ABC I, J là hai điểm định bởi
IA + IC = JA + JB + JC =
uur uur r uur uur uur r
Chứng minh I,J,B thẳng hàng
Từ (1) ⇒ IJ JA uur uur + + 3 ( uur uur IJ JC + ) = ⇔ 0 r uur JA + 3 uur JC + 4 uur r IJ = 0( )3 0,5 lấy (2) – (3) được 4 uur IJ − 2 uur r JB = ⇔ 0 2 IJ uur uur = JB 0,25
CÂU V:
Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta có a4 + + ≥ b4 c4 abc a b c ( + + )
Có
4 4 2 2
4 4 2 2
4 4 2 2
2 2 2
+ ≥
0,25
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2( a b c ) a b b c b c c a c a a b
Có
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
( a b2 2 b c2 2) ( b c2 2 c a2 2) ( c a2 2 a b2 2) 2 abc a b c ( )
Trang 6Đẳng thức xảy ra khi a =b = c 0,25 (Cách giải khác nhau mà đúng cho điểm tương ứng với đáp án )