Interaction between nonlinear parametric and forced oscillations

Sự tương tác giữa dao động cưỡng bức và dao động thông số “tuyến tín h ” , hi hệ :số của hàm điều hòa của thời gian là tuyến tính đối với thông số định vị iã đu’Ợ'c nghiên cứu trong các

Vietnam Journal of Mechanics, NCN ST of Vietnam T XX, 1998, No 3 (16 - 23)

T h e interaction between the forced and “linear” parametric oscillations when the coefficient of the harmonic function of time is linear relative to the position has been studied in [l, 4], In this paper this kind of interaction is considered for “nonlinear” parametric oscillation with cubic nonlinearity of the modulation depth Th e asymptotic method of nonlinear mechanics [ 1 ] is used Our attention

is focused on the stationary oscillations and their stability Different resonance curves are obtained

1 E q u a t i o n o f m o t i o n a n d a p p r o x i m a t e s o l u t i o n

Let us consider a nonlinear system governed by the differential equation

where e > 0 is the sm all parameter; h > 0 is the damping coefficient; 7 > 0 , p > 0 ,

r > 0, u; > 0 are the constant parameters; eA = u 2 — 1 is the detuning parameter, where the natural frequency is equal to unity; and 6 > 0 is the phase shift between two excitations The frequency of the forced excitation is nearly equal to the own frequency u , and the frequency of the nonlinear parametric excitation is nearly twice ELS large So, both excitations are in fundamental resonance Th ey will interact one to another

Introducing new variables a and rp instead of X and X as follows,

F = A x — h i — 7 1 3 + 2p x 3COS 2u t + r cos(wi — (5)

ie equations (1.3) belong to the standard form, for which the asymptotic method applied [1] Thus, in the first approximation we can replace the right hand sides(1.3) by their averaged values in time We have the following averaged equations:

/ l = f o COSTCO - <7o sin ĩpo

n 2ĩịjo from (1.6) and (1.7), we use the combinations

/ = ~fo - Pa o /i = rhuao - ịpa^ipaị - E 0)

The condition for equivalence of (1.6) and (1.8) is r 2 Ỷ 4p2flo* As usual, equations(1.8) are considered as two linear algebraic equations relative to two unknowns u

a n (i V : u = sint/>o; V = COS 0 0 T h e e lim in a t io n o f th e p h a s e 0 0 c a n b e d o n e by

using the relationship u 2 + V 2 = 1 Two cases must be identified:

1 T h e “ordinary” case when the determinant D of the coefficients of u and

V in (1.8) is different from zero, where

with lim itatio n: r 2 < p2a 6

T h e curves c [ 2^ and C2 are presented in Fig 1, where the curve C2 is

o n ly the upper p a rt of the curve (2 4 ) ended at point I ( r 2 = p2clq) T he parameters

for F ig 1 are chosen so that 4p > 7

T h e resonance curves have three branches and are presented in Figs 2-3 for the parameters r = 0.01, p = 0.1, 7 = 0.25, and u 2 = 1.1 W ith increasing h j the upper branch 1 moves up and the two lower branches 2 and 3 are tied and thenseparated, as branches 4 and 5, see Fig 2 for h = 0.01 and Fig 3 for h = 0.027.

re the symbol ( )o denotes that a = do, 1p = ĩpQ. The characteristic equation lis system of equations is

(4-) and negative (—) and therefore know the stability branches of the resonance curves In Figures 2 - 3 these branches are presented by heavy lines, while the

in stab ility branches are shown by dotted lines

p a r a m e t r i c c o m p o n e n t is c le a r , a n d a s t h e r e s u lt o f t h e i n t e r a c t io n b e t w e e n tw o

oscillations, the resonance curve has the form of an upward parabola

T h e stability of the stationary oscillations obtained is studied by using the variational equations The stability criterion in the form (4.7) is convenient for

g e o m e t r i c i n t e r p r e t a t i o n T h e ju m p p h e n o m e n o n ta k e s p la c e o n s o m e b r a n c h e s o f

the resonance curve

T h is work was financially supported by the Council for Natural Sciences of Vietnam

R e f e r e n c e s

1 M itropolskii Y u A , Nguyen Van Dao Applied asymptotic methods in non­linear oscillations, Kluwer Publishers, 1997

2 Zavodney L D , Nayfeh A H , Sanchez N E The response of a single - degree

- of - freedom system with quadratic and cubic non - linearities to a principal param etric resonance J of Sound and Vibration, 1989, 129 (3), 417-442

3 Zavodney L D , Nayfeh A H The response of a single - degree - of - freedom system with quadratic and cubic non - linearities to a fundamental parametric resonance J of Sound and Vib ratio n (1988), 120 (1), 63-93

4 Nguyen Van D in h Interaction between parametric and forced oscillations in fundamental resonance Journal of Mechanics, Hanoi, Vietnam T X V I I , 1995,

No 3 (12-19 )

5 M inorski N Nonlinear oscillations New York, 1962

Re c ei ve d O c t ob er 5, 1 9 9 8

22

T Ư Ơ N G T Á C GIỮA DAO Đ Ộ N G C Ư Ỡ N G B Ứ C

VÀ T H Ô N G SỐ PHI T U Y Ế N

Sự tương tác cùa các dao động phi tuyến là một bài toán hay, quan trọng và

ã thu hiít sự chú ý của nhiều nhà nghiên cứu M inorsky N đã phát biểu rằng: Toàn ìbộ lý thuyết dao động phi tuyến có thể được hình thành dựa trên ca sỏr

ủa sự tương tác”

Sự tương tác giữa dao động cưỡng bức và dao động thông số “tuyến tín h ” ,

hi hệ :số của hàm điều hòa của thời gian là tuyến tính đối với thông số định vị

iã đu’Ợ'c nghiên cứu trong các tài liệu ỊlỊ và [4] Trong bài báo này xét sự tưcmg

ác giữ a dao đông thông sổ phi tuyến bậc ba với dao động cưỡng bức Phưcmg iháp ti ệm cận của cơ học phi tuyến [1] đã đươc sứ dụng để nghiên cứu các dao lộng dììmg và sự ổn định của chúng

Cékc đường biên - tần điển h ìn h của dao động dừng được biểu diễn trên hình -3 c a c đường cong trên hình 1-2 có dạng tưcmg tự như trường hợp tương tác

;iữa dsio động cưỡng bức và thông số “tuyến tính” (xem [1], hình 94 và 98 trang

!75) C á c đường cộng hưổrng trên hình 3 rất đặc trưng cho hệ phi tuyến khảo

át V ứ i các giá trị ao nhổ thành phần cưỡng bức đóng vai trò áp đảo và phần lường cộng hường tương ứng có dạng tưcmg tự như trong trường hợp dao động ưỡng bức thuần túy V ớ i những giá trị lớn của ao, ảnh hưởng của thành phần hông ísố khá rõ Kết quả của sự tương tác giữa hai dao động kể trên là đường :ông hitrờng có dạng parabôn

Sụr Ổn định của các dao động đừng được nghiên cứu bằng cách sử dụng ihưcrnig pháp biến phân Tiêu chuẩn ổn định dưới dạng (4.7) rất thuận lợi cho áệc phiân định các nhánh ổn định

Hiiện tượng nhảy biên độ cũng xuất hiện trên một số nhánh của đường cộng ìưổrng

Vietnaim Journal of Mechanics, NCST of Vietnam Vol 21, 1999, No 2, (75 - 88)

Assuming that n = 1 and / is a small quantity of E - order, we can rewrite equation (1.1) in the form

re we o b t ai n :

tgớo

W ( a ị , \ ) = a ị L 2 + [ M - ị i i a ỉ 2 p2 = 0,

(2.9)(2.8)

e resonance curves are presented in Fig 1 for the parameters: p = 0.05, £ —

= 1 5 a n d fo r v a r io u s v a lu e s o f u , t>: u = V = 0.05, A = 0 ( c u r v e 1), u = V =

e 2 ) , u = —V = 0 0 5 a n d A = 0 ( c u r v e 3 ) , A = 0 5 ( c u r v e 4 ) , A = 1 ( c u r v e 5 )

1 corresponds to the case of an ordinary Duffing’s oscillator without friction

2 corresponds to the well-known Duffing’s oscillator without time delay

Talking t he e x p re s si on (2.8) into account we can write this equat ion in the form:

It is easy to identify the stability zone by using the rule stated in [3| In Figure

1 t h e s t a b l e b r a n c h e s a r e r e p r e s e n t e d b y s o lid lin e s , w h ile t h e u n s t a b l e b r a n c h e s -

by broken lines It seems that time delay plays the same role as friction, decreasing t,h*e amplitudes and stabilizing the oscillations

3 S u p e r h a r m o n i c r e s o n a n c e o f th ir d order

Supposing that n — we have the equation (1.1) in the form:

3

d 2 x(t) ' ị -b 9A2 •x(t) = £ [6eơx(t) + F 0j + 2pcos Xt, (3.1)

In the first approximation we can replace the right hand sides of (3.4) by their iragfd values Hence, we have the following averaged equations:

da dt do

Sub stituting expressions (4.2) into (4.1) and solving relative to the derivatives of

u = V = 0 (curve 1), u = 0.01, V = —0.01 and A = 0 (curve 2), A = 0.05 (curve 3),

A = Oi.l (curve 4) Th e abscissa - axis A corresponds to the zero solution a = 0 of equations (4.5) Curve 1 is the resonance curve in the ordinary D ufling’s oscillator withoiut tim e delay W ith the presence of delay elements (u,v) the resonance curve moves up T h e larger the time delay A , the higher the resonance curve (see curves

2, 3, 4 for A = 0, A = 0.05 and A = 0.1 respectively)

onancte curve, we go from the zone where w 2 is negative to the zone where W i is

iitiv ti, t h e n a t t h e i n t e r s e c t io n p o in t o f t h e s t r a ig h t line w i t h t h e r e s o n a n c e c u r v e

-tionar y oscillation In Figure 3a the stable branches are shown by solid lines

d the Uinstable branches - by broken lines Figure 3b shows the dependence of

81

L 2 on A It is seen that for values interested of À(À = 3 -r 3.5) the expression L 2

is positive, and the first stability condition (4.11) is satified

It is easy to see that the zero solution a = 0 of equations (4.5) is stable,

Introducing the amplitude tt and the phase Ớ as new variables, associated with

X and X by the formulae:

the first approxim ation, equations (5.5) can be replaced by the following :d equations:

L3 + p s i n 2 0 0 = 0,

A /3 - - ị i a ị + pCOS 260 — 0

4ilim in siting 0Q we get:

^ ( a g A ) = L l + (m 3 - J / ^ ) 2 - p2 = 0 (5.9)

esonaiace curves are plotted in Figure 3 for the parameters p = 0.42, £ = 0.1, 3.3, u = 1 7 = 0 (curve 1), u = 0.05, V = —0.1 and A = 1, (curve 2), A = (curve 3) B y decreasing the delay parameter, the am plitude of oscillation ases T h e m axim um of the amplitudes is very sensitive to a change in the param eter

F ig u r e 3. R e s o n a n c e cu rve s for p a r a m e t r ic o s c i l l a t i o n s

83

The stab ilility of the stationary oscillations obtained is examined by using the corresponding variational equations:

A the function w 3 (5.9) is positive T h is function vanishes on the resonance curve and changes sign when crossing the resonance curve According to the well-known rule [3] we can see that the upper branch of the resonance curve is stable and the lower branch is unstable

In order to study the stab ilility of the trivial solution a = 0 of the equations (5.6) it is convenient to use the cartesian coordinate (u,v) instead of the polar Coordinates a and 0 as follows:

ler word, on the abscissa - axis A the segments lying outside the interval, which the resonance curve is growing up, are stable and the interval lying the resonance curve is unstable (Figure 3a).

dse

(it

L ỏ a H— - ^M ụ,áị^ so (^M + - Ị i a ị ^ ỏ a — 3 LãQỎO

L and M are of the form (2.6) The amplitude and phase of stationary itions sa tisfy the equations:

The moal inear oscillators under delay control described by differential equa-

s of ty-pes (2 1), (3.1), (4.1), (5.1), (6.1), (7.1) have been examined When the y paraimeter A vanishes we have the corresponding classical nonlinear oscilla- T h e appearance of a delay parameter makes the systems under examination

or the case of increasing time delay The resonance curves lean toward the right the m a x im u m of the amplitudes slightly decreases In Figure 2, by increasing delay param eter the resonance curve moves up The larger the time delay the hilgher the resonance curve In the case of parametric oscillation (Figure

87

3a), by decreasing the delay parameter decreases the amplitude of oscillation Th e

m axim um of the amplitudes is very sensitive to a change in the delay parameter

In general, the dependence of the maximum of the amplitudes of oscillations on the delay parameter A is complicated because this parameter appears under the functions sinus and cosinus in the expressions L , M (2.6), L 1, M l (3.7), L 2, M2 (4.6;), L 3 , M3 (5.7) Increasing A sometimes leads to decreasing the m axim um of the amplitudes of oscillation, but other times leads to increasing this m axim um The author is indebted to Dr Tran K im C h i for mathematical modeling on com puter and for generating the figures

T h is work was supported by the Council for Natural Science of Vietnam

Received J u n e 5, 1 9 9 9

C Á C CHẤN T Ử PHI T U Y Ế N DƯỚI s ự ĐIẾƯ KHIEN TRE

Trong bài báo đã nghiên cứu các chấn tử phi tuyến dưái sự điều khiển trễ

mô tả bời các phương trình vi phân dang (2.1), (3.1), (4.1), (5.1), (6.1) và (7.1)

Sự :xuất hiện yếu tố trễ A đã làm cho các kết quả nghiên cứu cổ diển thay đổi cả

vẽ 1 ưựng và chất Chẳng hạn, quan sát các đường cong 4, 5 trên hình la khi tăng

A 'Các đường cong này ngả về bên phải và biên độ cực đại giảm Còn trên hình

2, v iệc tăng A đã làm cho đường cộng hưởng dịch chuyển lên cao Trong trường hợp> clao động thông số (H 3a), giảm A sẽ làm giảm biên độ cực đại Nói chung,

sự Ịphụ thuộc của biên độ cực đại vào thông số trễ rất phức tap do thông số này nằna dưới các hàm sin, cosin qua các biểu thức L , M (2.6), L 1, M i (3.7), X/2, M2 (4.6;), L 3, M 3 (5.7) Việc tăng A không nhất thiết dẫn tới giảm, mà có khi lại làm tăng biên độ cực đại