Giáo trình Động lực

Hoàn thành đầy đủ thông tin giúp tài liệu của bạn có thứ hạng cao trên kết quả tìm kiếmHoàn thành đầy đủ thông tin giúp tài liệu của bạn có thứ hạng cao trên kết quả tìm kiếmHoàn thành đầy đủ thông tin giúp tài liệu của bạn có thứ hạng cao trên kết quả tìm kiếmHoàn thành đầy đủ thông tin giúp tài liệu của bạn có thứ hạng cao trên kết quả tìm kiếm

1 Mô hình v t th c a đ ng h c là đ ng h c đi m và v t r n chuy n đ ng

ng h c đi m là đi m hình h c chuy n đ ng trong không gian, qua th i gian V t r n chuy n đ ng là t p h p nhi u đ ng đi m mà kho ng cách gi a m i c p đi m đ u không đ i trong chuy n đ ng

2 Chuy n đ ng x y ra trong không gian và theo th i gian Không gian trong c

h c là không gian Euclide ba chi u T t c các phép đo l ng trong không gian này

đ c xác đ nh theo ph ng pháp hình h c Euclide n v chi u dài đ đo kho ng cách là mét (m) Th i gian trong c h c đ c coi là th i gian trôi đ u không ph thu c vào h quy chi u kh o sát n v đo th i gian là giây (s) Th i gian đ c xem là đ i

4 Kh o sát v m t chuy n đ ng c a m t đi m hay c a m t v t r n là tìm cách xác đ nh v trí c a đi m y đ i v i h quy chi u đã ch n m i th i đi m, đ ng th i tìm cách mô t chuy n đ ng y theo th i gian Mu n v y, ng i ta dùng nh ng khía

ni m sau đây:

a) Thông s xác đ nh v trí c a đi m hay c a m t v t r n trong h quy chi u đã

ch n

b) Ph ng trình chuy n đ ng c a đi m hay v t r n chuy n đ ng là nh ng bi u

th c liên h gi a thông s đ nh v nói trên v i th i gian mà ta xem là đ i s đ c l p

Ch ng I ng h c đi m Trang 1

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T PH N NG H C

c) V n t c chuy n đ ng là đ i l ng bi u th h ng và t c đ chuy n đ ng c a

đi m hay v t r n th i đi m đang xét Nói chung, v n t c chuy n đ ng c ng là đ i

l ng bi n thiên theo th i gian

d) Gia t c chuy n đ ng là đ i l ng bi u th t c đ thay đ i c a v n t c chuy n

đ ng (ph ng chi u, đ l n) theo th i gian Gia t c chuy n đ ng c ng là hàm c a th i gian

Xét chuy n đ ng c a đi m M trong

h quy chi u Oyxz Rõ ràng là v

trí c a M đ c xác đ nh duy nh t

b ng véct đ nh v rr= M O r , ta g i

là véct bán kính c a đ ng đi m

trong h quy chi u y

Khi đ ng đi m chuy n đ ng, véct

s bi n thiên liên t c theo th i gian

c v h ng l n đ dài do đó ta

vi t :

rr

=rr(t) (1.1)

Ph ng trình (1.1) c ng chính là ph ng trình qu đ o d i d ng thông s

Ch ng I ng h c đi m Trang 2

= - = mô t g n đúng h ng đi và quãng đ ng đi

đ c c a đ ng đi m trong th i gian

r

V n t c t c th i th i đi m t c a đ ng đi m là véct Vr

đ c xác đ nh nh sau:

ngh a là : V n t c t c th i c a đ ng đi m là đ o hàm c p m t theo th i gian c a véct

đ nh v c a đ ng đi m (Ký hi u (t)-t nay v sau ta hi u là đ o hàm theo th i gian) rr&

V

Vr

Ch ng I ng h c đi m Trang 3

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T PH N NG H C

đ c tr ng cho t c đ đ i h ng và đ i h ng và đôi đ nhanh c a chuy n đ ng c a

đi m Vì v y, ng i ta đ nh ngh a:

Gia t c t c th i c a đ ng đi m là đ i l ng véct b ng đ o hàm c p m t theo th i gian c a v n t c:

a) N u Vr∧Wr đ ng nh t tri t tiêu thì Vr và Wr luôn luôn cùng ph ng Do đó

có ph ng không đ i nên chuy n đ ng c a đi m là chuy n đ ng th ng

+ V Wr r < 0 : Ch m d n

Ch ng I ng h c đi m Trang 4

),,(V x V y V z

VrM(x,y,z)

Ch ng I ng h c đi m Trang 5

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T PH N NG H C 3.Gia t c chuy n đ ng c a đi m :

Cu i cùng d a vào hình chi u c a v n t c Vr

và gia t c Wr ta có th mô t các đ c đi m

th ng hay cong, đ u hay bi n đ i đ u c a chuy n đ ng đi m

C- Kh o sát chuy n đ ng c a đi m b ng to đ t nhiên

G i OM=s là to đ cong c a đ ng đi m trên qu đ o Rõ ràng s chính là thông

s đ nh v c a đi m M trên qu đ o V y ph ng trình chuy n đ ng c a M có d ng :

O

MHình 1.5

(+) (-)

( )

s = s t

Ch ng I ng h c đi m Trang 6

ds V

y s t ng theo th i gian có ngh a là s&>0 v y V và s& cùng d u

- Khi M chuy n đ ng theo chi u âm thì Vr

và τr trái chi u, nên V <0 khi y s

gi m theo th i gian ngh a là s&<0 V y V và s&cùng d u

Vì v y ta vi t đ c τ τ τ τ

r

&

rr

V = = =

Giá tr V = V = s& cho t c đ chuy n đ ng, còn d u c a V cho bi t chi u chuy n

đ ng c a đi m thu n hay ng c v i chi u d ng đã ch n trên qu đ o

b) Xác đ nh gia t c W c a M:

Ta vi t : r r W n nr W b br trong h to đ M nb, c n ph i tìm các giá tr W

.W

Wn, Wb theo s

T (1.3) và (1.7) ta có:

ττ

dV

W= = V =V +V

Ch ng I ng h c đi m Trang 8

rr

&r = =

Do đó ta có : r & r V nr V& r V nr

.)(.VW

2 2

ρ

τρ

=

T đó suy ra : Wτ =V& =τ s&,

ρρ

)(W

2 2

s V

0 + V0.t, trong đó s0 là to đ t nhiên ban đ u c a đ ng đi m

- Chuy n đ ng bi n đ i đ u là chuy n đ ng trong đó gia t c ti p W = a = const T đó suy ra : V = V0 + at, V0 là v n t c đ u c a chuy n đ ng, ph ng trình chuy n đ ng có

d ng : s = s0 + V0t +

2

at2, s0 là to đ t nhiên ban đ u

- Chuy n đ ng bi n đ i khi:

0.)

).(

.(.W = Vττ Wττ +W n =VτWτ ≠

x

x= ϕ = ϕ ϕ =ϕtrong đó x, y là t a đ c a M Ta có : x M =OP−HP

nh ng vì vòng tròn l n không tr t nên : OP = PM = R

V y :

)cos1(cos

)sin(sin

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

R KI PI

y

R R

R HP OP

t V OP

R y

R x

0)

(1

)cos1(

)sin(

ϕ

ϕ

ϕϕ

Qu đ o c a đi m M g m nh ng đ ng cong xyclôít tu n hoàn v i chu k là 2 cho nên ta ch xét chuy n đ ng c a nó trong 0 ≤ ≤ 2

Ch ng I ng h c đi m Trang 10

sin

) cos 1 (

R x V V

y x

=

=

ϕϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

sincos

)cos1(sin

2 2

y W

R R

x W W

y x

0

y

x V

W W

y x

R 0 0 0

1 1

ϕ v y ϕ& = 0 , ϕ& = 0

R V

0

0

V V

V V V

y x

sin2 0

2 0

R

V W

R

V W W y

x

r

2 0 2

0

R

V R

V W V W V W

Vr r trong kho ng 0< < chuy n đ ng nhanh d n

trong kho ng < <2 chuy n đ ng ch m d n

Ch ng I ng h c đi m Trang 11

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T PH N NG H C

Chuy n đ ng c b n c a v t r n : chuy n đ ng t nh ti n và chuy n đ ng quay

Sau này chúng ta s th y r ng m i chuy n đ ng c a v t r n đ u đ a v hai chuy n đ ng trên

1 nh ngh a : Chuy n đ ng t nh ti n c a v t r n là chuy n đ ng trong đó m i đ ng

th ng thu c v t r n đ u luôn luôn không đ i ph ng

ti n nên MN không đ i h ng Ngoài

ra MN=const V y vect MN không

t

t

NN t

'lim

0

0 , ngh a là : VrM VrN

=

Ch ng II Chuy n đ ng c b n c a v t r n Trang 12

V n t c góc t c th i :

ϕϕϕω

t 0 lim0

Nh v y: V n t c góc c a v t r n quay quanh m t tr c c đ nh là đ o hàm c p

m t theo th i gian c a góc đ nh v c a v t y

D u c a ω cho bi t chi u quay c a v t quay quanh tr c, vì n u ω >0 ngh a là

ϕ t ng theo th i gian và v t quay theo chi u d ng

Ng c l i n u ω <0 thì v t quay theo chi u âm

Giá tr ω =ω g i là t c đ góc c a v t, nó ph n ánh t c đ quay quanh tr c

n v c a nó là rad/s hay s-1

Trong k thu t ng i ta th ng dùng t c đ góc b ng đ n v vòng/phút Do đó

có m i quan h gi a hai đ n v này là:

n s

rad

30/

π

ω = vòng/phút

Ch ng II Chuy n đ ng c b n c a v t r n Trang 14

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T PH N NG H C

b) Gia t c góc c a v t:

Vì v n t c góc c a v t cho bi t chi u quay và t c đ quay c a v t nên s bi n thiên c a nó theo th i gian ph n ánh tính bi n đ i c a chuy n đ ng đó vì v y ta đ nh ngh a:

Gia t c góc c a v t, kí hi u ε là đ o hàm c p m t theo th i gian c a v n t c góc hay b ng đ o hàm c p hai c a m t góc quay ε =ω& =ϕ&

ωr n m trên tr c quay c a v t, sao cho nhìn t ng n

đ n g c véct ωr s th y v t quay ng c chi u kim

ε = = (2.4)

4 Phán đoán tính ch t c a chuy n đ ng quay quanh tr c c đ nh:

- Chuy n đ ng quay đ c g i là đ u n u t c đ góc là không đ i theo th i gian,

dt

d(ωr)2

Ta có : (ωr)2 =2.ωr.ω&r =2.ωr.εr

dt d

Ch ng II Chuy n đ ng c b n c a v t r n Trang 15

2 0

0

t

t εωϕ

G i A là giao đi m c a m t ph ng 0 v i đ ng tròn qu đ o ( ) c a M, ta có góc AÔM = ϕ L y AM= s là thông s c đ nh v c a M trên qu đ o và ch n chi u

V = & = =

Nh v y, v n t c c a các đi m thu c v t

r n quay quanh tr c c đ nh đ c phân b

quanh tr c quay theo quy t c tam giác vuông

đ ng d ng T k t lu n trên ta có th vi t :

ω

=

V OM

b) Gia t c c a đi m thu c v t :

Ta c n bi t đi m M chuy n đ ng tròn và nói chung là không đ u, nên

n

W W

2 2

R V

- Gia t c ti p tuy n W h ng cùng hay ng c ci u v i v n t c tu theo v t

quay nhanh hay ch m d n, có giá tr :

W = & = = & =

Ch ng II Chuy n đ ng c b n c a v t r n Trang 17

ετ

R

R W

W tg

n

có giá tr :

4 2 2

chuy n đ ng quay quanh tr c c đ nh đ c

phân b theo quy t c tam giác đ ng d ng v i

h s t l là : ε2 +ω4 ta có th vi t đ c :

4 2 = ε +ω

W OM

n

Wr

M I

d t

dt

d

16

27,

2.,

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T PH N NG H C

2 1

32

2716

64

1 3

Thay t1 vào bi u th c và ta có :

)/(4

9)

/(2

đây b c đ u ta làm quen v i m t vài c c u truy n đ ng đ n gi n nh m

bi n chuy n đ ng quay quanh m t tr c c đ nh thành chuy n đ ng quay quanh m t

tr c c đ nh khác; bi n chuy n đ ng t nh ti n thành chuy n đ ng t nh ti n; bi n chuy n đ ng t nh ti n thành chuy n đ ng quay

1 Truy n đ ng b ng c c u bánh r ng, đai truy n, xích :

Truy n các chuy n đ ng quay gi a hai tr c c đ nh song song nhau, ng i ta dùng c c u bánh r ng, đai truy n, xích

Hình 2.11a

1ω

2ωHình 2.12a

Ch ng II Chuy n đ ng c b n c a v t r n Trang 19

r2

r1O

1 O2

1ω

2ωHình 2.12b

Hình 2.12a

ω

Vr

R O

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T PH N NG H C

CH NG III

Trên đây ta đã xét chuy n đ ng c a đi m hay v t r n đ i v i h quy chi u c

đ nh ch ng này ta xét chuy n đ ng c a đi m so v i h quy chi u đang chuy n

đ ng trong h quy chi u khác đã ch n làm h quy chi u c đ nh Nhi u bài toán trong

th c t k thu t đã đ c gi i quy t v i cách đ t v n đ nh v y Ch ng h n, trong bài toán b n con tàu v tr lên m t tr ng, có th ch n m t tr ng làm h quy chi u đ ng so

v i trái đ t đ c ch n làm h quy chi u c đ nh, ho c gi i thích hi n t ng : trong

đi u ki n l ng gió, h t m a r i xiên đ i v i ng i đang đi tàu xe, ta ph i l y chính tàu,

O1

2 Các đ nh ngh a :

- H quy chi u O1x1y1z1 g i là h quy chi u c đ nh hay h quy chi u tuy t đ i

H quy chi u Oxyz là h quy chi u đ ng hay h quy chi u t ng đ i

- Chuy n đ ng c a M đ i v i h quy chi u c đ nh g i là chuy n đ ng tuy t

đ i V n t c và gia t c c a đi m M trong chuy n đ ng này g i là v n t c tuy t đ i và gia t c tuy t đ i ký hi u ,Vra trong đó :

dt

=

r r

,

2 1 2

a

d r W

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T PH N NG H C

- Chuy n đ ng c a đi m M đ i v i h quy chi u đ ng g i là chuy n đ ng

t ng đ i V n t c và gia t c c a m t đi m M trong chuy n đ ng này g i là v n t c

t ng đ i và gia t c t ng đ i ký hi u Vrr

, Wrr trong đó:

r

dr V

r

d r W

dt

=

rr

- Chuy n đ ng c a h quy chi u đ ng so v i h quy chi u c đ nh g i là chuy n

đ ng kéo theo

Trùng đi m c a đ ng đi m M th i đi m kh o sát là đi m M*

c a h đ ng trùng v i đi m M lúc y

Khi đó ta s có đ nh ngh a v n t c và gia t c c a M trong chuy n đ ng kéo theo chính là v n t c và gia t c c a trùng đi m M*:

* M e

* M

T các đ nh ngh a trên ta th ng g p hai lo i bài toán sau đây:

a) Bài toán t ng h p chuy n đ ng : Bi t chuy n đ ng t ng đ i và kéo theo c a đi m

hay v t r n, tìm chuy n đ ng tuy t đ i c a đi m hay c a v t r n

b) Bài toán phân tích chuy n đ ng: Bi t chuy n đ ng tuy t đ i c a đi m hay v t r n,

dz j dt

dy i dt

++

B n h ng th c đ u c a v ph i là v n t c theo c a đi m vì nó là đ o hàm theo th i gian c a véct đ nh v c a trùng đi m M*

Ví d : M t con thuy n sang ngang dòng n c ch y V n t c c a dòng n c là V , v n

t c c a con thuy n trên m t n c là U

r r

h ng vuông góc v i Vr Tìm v n t c tuy t đ i

c a con thuy n đ i v i b sông

Bài gi i:

Ta xem con thuy n là đ ng đi m, chon h quy chi u đ ng

là dòng n c ch y, h quy chi u c đ nh là b sông

chuy n đ ng c a con thuy n đ i v i dòng n c là chuy n

đ ng t ng đ i, v n t c t ng đ ic a con thuy n Vrr

= Urchuy n đ ng c a dòng n c đ i v i b là chuy n đ ng là chuy n đ ng theo, v n t c theo c a con thuy n là V = V vì h chuy n đ ng t nh ti n, v n t c c a trùng đi m

c a con thuy n b ng v n t c dòng n c V y v n t c tuy t đ i c a con thuy n :

Vra re rr r r

+

= +

=

2 2

U V

V a = +

Ch ng III Chuy n đ ng t ng h p c a đi m Trang 23

Ch ng minh : L y đ o hàm b c nh t theo th i gian c a v n t c tuy t đ i c a đi m ta

có gia t c tuy t đ i:

a a

dV W

dt

=

rr

vì nó là đ o hàm c p hai theo th i gian c a to đ c a đi m trong h tr c đ ng, bi u

th c cu i cùng đ c g i là gia t c Côriôlit, ký hi u Wrk

Ch ng III Chuy n đ ng t ng h p c a đi m Trang 24

l ng không đ i theo th i gian, vì v y :

V M

rr

=

i

rM

Hình 3.3

Ch ng III Chuy n đ ng t ng h p c a đi m Trang 25

m t góc 900 theo chi u quay c a ωre ta s đ c

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T PH N NG H C

Ví d 1: (Bài toán t ng h p)

Tam giác vuông ABC có c nh huy n AB = 2a =20cm và góc CBA = =600quay quanh tr c Cz1 theo quy lu t = 10t –2t2 Trên AB có đi m M dao đ ng xung quanh trung đi m O theo quy lu t nh sau: = a.cos( t/3) (Tr c O h ng d c theo OA) Hãy xác đ nh gia t c tuy t đ i c a đi m M t i th i đi m t = 2s

V y M là trung đi m OB

B

OM

536

V s t r

ππ

cos(

9

2

t a

−

=

=

)/(9

518

2 2

2

W s t

r = =π = π5) Xác đ nh Wre

r

Vì chuy n đ ng c a tam giác là chuy n đ ng kéo theo c a đi m M Gia t c W c a M đúng b ng gia t c đi m tam giác mà đi m M trùng v i nó i m này chuy n đ ng theo vòng tròn bán kính MD = h mà t i th i đi m t = 2s có:

e

Ch ng III Chuy n đ ng t ng h p c a đi m Trang 27

GIÁO TRÌNH C H C LÝ THUY T PH N NG H C

)/(310)

/(310

2

)(2

35sin2

2 2

s cm gh

W

s t W W W

cm

a h

n e e

n e e e

τ rrr

Véct có h ng vuông góc v i m t ph ng ABC và có chi u nh hình v

k r e

Wr r r r

+ +

=

T i th i đi m t = 2s ta d ng h tr c Oxyz (xem hình) r i tìm hình chi u các véct trên các tr c đó :

) / ( 7 , 2 18

5 cos

) / ( 6 , 12 3 10 3 18

5 sin

) / ( 7 , 48 3 10 10

2 2

2 2

2

s cm W

W

s cm W

W

s cm W

W W

r az

r ay

e k ax

= +

=

πα

πα

πτ

V y:

)/(4,

50 cm s2W

W W

W a = ax + ay + az =

ta có th d ng véct Wra theo các véct thành ph n c a nó trên h tr c Oxyz

Ví d 2: (Bài toán phân tích)

Kh o sát chuy n đ ng c a các c c u culít (xem hình) Gi thuy t r ng tay quay quay

đ u quanh tr c O v i v n t c góc 0 Thông qua con ch y A chuy n đ ng đ c truy n sang c n l c O1B Cho bi t OA = a th i đi m kh o sát tay quay OA vuông góc v i

đ ng n i hai tr c quay OO1 và góc OÂO1 = 600 Tìm v n t c, gia t c t ng đ ng

đ i v i con ch y so v i c n l c O1B, gia t c góc c a O1B

Bài gi i: Ta kh o sát chuy n đ ng con ch y A xem nh đ ng đi m có chuy n đ ng

ph c h p i m A chuy n đ ng trên c n l c đó là chuy n đ ng t ng đ i C n l c chuy n đ ng xung quanh O1 đó là chuy n đ ng kéo theo L y giá máy làm h quy

Ch ng III Chuy n đ ng t ng h p c a đi m Trang 28

(a)

Chuy n đ ng tuy t đ i đã bi t chuy n đ ng t ng đ i c a A là chuy n đ ng

th ng d c theo c n l c quay quanh O1 nên trùng đi m c a A trên c n l c chuy n đ ng tròn, do đó có h ng vuông góc v i OVre

1B

D a vào h th c (a) ta d ng đ c hình ch nh t v n t c (xem hình) T đó xác

đ nh v n t c t ng đ i v i v n t c theo c a A

260cos

2

360

sin

0 0

0 0

ω

ω

a V

V

a V

V

a r

a r

1 = = nên :

1 0 0

1 1

4 2 2

ωchi u quay 1 bi u di n nh hình v

Ch ng III Chuy n đ ng t ng h p c a đi m Trang 29

Wr r r r

+ +

2 0 2

=2

121

ω

A O

W e n = =

n e

h ng vuông góc v i O1B nh ng ch a bi t chi u và giá tr

(chi u trên hình v là chi u gi đ nh) Wrk

là gia t c đ c xác đ nh ph ng chi u theo quy t c đã nêu trên, có giá tr :

34

22

2

2 0 2

0 0 1

ωω

ωω

Nh v y h th c (b) có th vi t :

k r n e e

+ + +

)(60

cos

30cos

0

0

d W

W W

W W W

r n e a

k e a