BÀI TẬP PHẦN DẦM sức bền vật liệu

 Chỉ có một mcn nguy hiểm có maxQy  Ứng suất tiếp nguy hiểm nhất tại những điểm trên đường trung hòa: max.. TTƯS phẳng đặc biệt: Mặt cắt ngang nguy hiểm là mặt cắt ngang có Q My, x cù

I ĐKB CỦA ĐOẠN DẦM CÓ MCN KHÔNG ĐỔI, LĂM TỪ 1 LOẠI VẬT LIÍU.

Trín đoạn năy, ta phải chỉ ra được điểm năo trín dầm có:

TTƯS đơn nguy hiểm nhất

TTƯS trượt thuần túy nguy hiểm nhất

TTƯS phẳng đặc biệt nguy hiểm nhất

Điều kiện bền của đoạn dầm lă câc điểm thuộc ba TTƯS trín đồng thời phải bền

1 TTƯS đơn:

 Nếu vật liệu dẻo:

 Chỉ có một mcn nguy hiểm lă mcn có max Mx

 Ứng suất nguy hiểm nhất lă

max

max

z

x

M y J

maxk n max maxk , maxn

)

 ĐK bền: maxσz ≤   σ

 Nếu vật liệu dòn:

 Trường hợp 1: x lă trục đối xứng của mcn.

 Chỉ có một mcn nguy hiểm có max Mx

 Ứng suất nguy hiểm nhất lă

σ( ) + = max = max

x x

W W

 ĐK bền: maxσ( )z+ ≤   σ k

 Trường hợp 2: x không lă trục đối xứng của mcn.

 Nói chung lă có 2 mcn nguy hiểm:

Mcn (1) có maxM x( )+

Mcn (2) có

( )

x

M

 Ứng suất nguy hiểm:

( ) ( )

( ) ( )

(1)

(2)

Ứng với mcn co ï max ƯnÏg vơiï mcn co ï max

max

max

x x

x k

n

x

x

M M

M M

− +

− +







= +



σ( ) + = σ(1) σ(2)

max max

, σ( ) − = { σ(1) σ(2) }

min min

 ĐK bền:

[ ] [ ]

( ) ( )

max max

+

−





≤



2 TTƯS trượt thuần túy:

 Điều kiện bền:

Gọi max τzy

là độ lớn của ứng suất tiếp nguy hiểm nhất trên dầm thì diều kiện bền là:

 Nếu vật liệu dẻo:

 Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

σ

τ ≤  

max

2 zy

σ

τ ≤  

max

3 zy

 Nếu vật liệu dòn:

 Theo thuyết bền Mohr:

σ τ

α

 

≤ +

max

1 k zy

 Cách tìm maxτ

:

 Trường hợp 1: Mcn có bề rộng không đổi hoặc bề rộng nhỏ nhất nằm trên

đường trung hòa

 Chỉ có một mcn nguy hiểm có maxQy

 Ứng suất tiếp nguy hiểm nhất tại những điểm trên đường trung hòa:

max

c

y x

x

Q S

J b

Lưu ý trong trường hợp này:

c

b : là bề rộng của mcn thuộc đường trung hòa.

c x

S : tính cho phần phía trên, hoặc phía dưới đường trung đều như nhau

 Trường hợp 2: Mcn không có đặc điểm như ở trường hợp 1: nói chung có 2

mcn nguy hiểm

 Trong những mcn có cả Q My, x, chọn mcn có Qy

là lớn nhất - gọi là mặt cắt thứ nhất Lực cắt tương ứng có độ lớn

(1) max Qy

Điểm có TTƯS

trượt thuần túy nguy hiểm thuộc đường trung hòa:

(1) (1) (1)

(1)

max

c

y x

x

Q S

J b

 Trong những mcn chỉ có Qy, chọn mcn có Qy

là lớn nhất - gọi là mặt cắt thứ hai Lực cắt tương ứng có độ lớn

(2) maxQy

Điểm có TTƯS trượt thuần túy nguy hiểm là điểm có độ lớn ứng suất tiếp lớn nhất:

τ ==

(2) (2) (2)

(2)

max

c

y x

x

J b

Để có được giá trị này, ta cần phải khảo sát, kết hợp nhận xét

Do đó: maxτzy =max max{ τ(1)zy ,max τ(2)zy }

3 TTƯS phẳng đặc biệt:

 Mặt cắt ngang nguy hiểm là mặt cắt ngang có Q My, x cùng lớn.

 Điểm cần kiểm tra bền trên mcn là những điểm nằm giữa mép và đường

trung hòa Lưu ý ưu tiên kiểm tra điểm mà bề rộng mặt cắt qua đó nhỏ bất thường

 Điều kiện bền:

 Nếu vật liệu dẻo:

 Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất: σz2+4τ2zy ≤   σ

(*)

 Theo thuyết bền TNBĐHD: σ2z +3τ2zy ≤   σ

(**)

Lưu ý:

ax z 4 ax zy

thì (*) thỏa mãn.

ax z 3 ax zy

thì (**) thỏa mãn.

 Nếu vật liệu dòn:

4

(với

[ ] [ ]k n

σ α σ

=

)

II BA DẠNG BÀI TOÁN CƠ BẢN

1 Kiểm tra bền

2 Chọn kích thước của mặt cắt

3 Xác định tải trọng cho phép.

CÁCH GIẢI

1 Sơ đồ thực hành bài toán KIỂM TRA BỀN

Thỏa mãn

Thỏa mãn

Kiểm tra TTƯS Đơn

Không thỏa

KẾT LUẬN

Hệ Không Bền Kiểm tra TTƯS Trượt Thuần Túy

Bắt Đầu Không thỏa

KẾT LUẬN

Hệ Không Bền

Không thỏa

KẾT LUẬN

Hệ Không Bền

Thỏa mãn

KẾT LUẬN

Hệ Bền Kiểm tra TTƯS Phẳng Đặc Biệt

2 Sơ đồ thực hành TÌM GIÁ TRỊ THÔNG SỐ KÍCH THƯỚC CHO PHÉP

(Biết trước hình dạng, kích thước cho bởi thông số a)

KẾT LUẬN

[ ] a = asb 1

Thỏa mãn

Tính asb1 Từ Điều Kiện Bền TTƯS ĐƠN

Thỏa mãn

Kiểm tra TTƯS Trươt thuần túy với

1 sb

a

Không thỏa Tính asb3 Từ Điều Kiện Bền TTƯS Trượt Thuần Túy

KẾT LUẬN

[ ] a = asb 3

Thỏa mãn Kiểm tra TTƯS Phẳng đặc biệt với

3 sb

a

KẾT LUẬN

[ ] a = asb 4

Không thỏa

Kiểm tra TTƯS Phẳng đặc biệt với

1 sb

a

KẾT LUẬN

[ ] a = asb 2

Không thỏa

Bắt Đầu

3 Sơ đồ thực hành TÌM GIÁ TRỊ TẢI TRỌNG CHO PHÉP

KẾT LUẬN

[ ] q q = sb 1

Thỏa mãn

Tính qsb1 Từ Điều Kiện Bền TTƯS ĐƠN

Thỏa mãn

Kiểm tra TTƯS Trươt thuần túy với

1 sb

q

Không thỏa Tính qsb3 Từ Điều Kiện Bền TTƯS Trượt Thuần Túy

KẾT LUẬN

[ ] q q = sb 3

Thỏa mãn Kiểm tra TTƯS Phẳng đặc biệt với

3 sb

q

KẾT LUẬN

[ ] q q = sb 4

Không thỏa

Kiểm tra TTƯS Phẳng đặc biệt với

1 sb

q

KẾT LUẬN

[ ] q q = sb 2

Không thỏa

Bắt Đầu

(Biết trước dạng, tải trọng cho bởi thông số q)

Dạng 1: Kiểm tra bền.

Cho hệ chịu lực như hình có mặt cắt ngang tương ứng

l

A

B

q

l l

M= ql 2

1,5a

a 1,5a

y

(H5.1a)

(H5.1b)

1.1: Tính các phản lực liên kết theo q l,

1.2: Vẽ các biểu đồ nội lực ( )Q y

, ( )M theo x q l,

1.3: Tính mômen quán tính chính trung tâm J x của mặt cắt ngang theo kích thước a.

1.4: Tính mômen tĩnh S của phần hình bị cắt bởi đường trung hòa theo kích thước a x c

1.5: Tìm ứng suất pháp lớn nhất maxσ trên dầm.

1.6: Tìm ứng suất tiếp lớn nhất maxτ trên dầm

1.7: Kiểm tra bền của dầm.

Bài giải:

1.1 : Tính các phản lực liên kết theo q l,

2 ( )

1,75

0

C C

A

m



∑

∑

1.2: Vẽ các biểu đồ nội lực ( )Q y

, ( )M theo x q l,

l

A

B

q

l l

P=2 ql M= ql 2

Qy

Mx

ql

ql 2

1 1,25

0,25

0,5

+

-0,75 1

1.3: Tính mômen quán tính chính trung tâm J x của mặt cắt ngang theo kích thước a.

 Xác định tâm mặt cắt ngang: Chọn hệ trục tính Ox y0 :

0

2 2

1 2

37

8 3 3,5

22

y

C

x x C

C

x x

y

F

+



1,5a

a 1,5a

y

x0

x1

x2

O

x

37 22 a

73 22 a

C

 Hệ trục quán tính chính trung tâm là Cxy

18,553 296,848 ( ) 132

x x x

1

3

1

x x

2

3

2

x x

a a

1.4: Tính mômen tĩnh S của phần hình bị cắt bởi đường trung hòa theo kích thước a x c

c

x

a

1.5: Tìm ứng suất pháp lớn nhất maxσ trên dầm Mặt cắt ngang nguy hiểm tại A có

2 max M x =ql =200 (kN cm )

căng phía trên

max

296,848 22 296,848 22

x k n z

x

M

J

Vậy: maxσ =4,4712 (kN cm/ 2)

1.6: Tìm ứng suất tiếp lớn nhất max τzy

trên dầm

Mặt cắt ngang có ứng suất tiếp lớn nhất là các mặt cắt trong đoạn AB

max Q y =1, 25ql =1, 25.2 2,5 (= kN)

 Trên đường trung hòa:

(1) max 2,5.45, 256 2,5.45,256 2

0,0476 ( / ) 296,848.4 296,848.4.2

c

y x

x

Q S

 Tại vị trí tiếp giáp giữa bụng và cánh mặt cắt ngang:

(2)

(2)

0,1516( / )

c

y x

x

maxτzy =max τ τzy , zy =0,1516(kN cm/ )

1.7: Kiểm tra bền của dầm:

 Kiểm tra bền phân tố đơn: (mép trên mép dưới mcn) maxσz =4,4712(kN cm/ 2)

maxσz =4, 4712(kN cm/ )< σ =16(kN cm/ ) Vậy phân tố bền.

 Kiểm tra bền phân tố trượt thuần túy:

Trên đường trung hòa của mcn đoạn AB: τ(1)zy =0,0476(kN cm/ 2)

Ứng suất tiếp lớn nhất trên mcn có M x =0 trên đoạn AB: (2) 2

0,1516( / )

zy

Vậy điểm có TTƯS trượt thuần túy nguy hiểm nhất có cường độ là

maxτzy =max τ τzy , zy =0,1516(kN cm/ ) Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

[ ]

2

Vậy phân tố bền

 Kiểm tra phân tố phẳng đặc biệt: (mặt đồng thời có M Q x, y: cùng lớn)

Mặt cắt chứa phân tố phẳng đặc biệt là mcn tại A

Gọi K là điểm có TTƯS phẳng đặc biệt trên mcn thì:

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

( )K +4 ( )K ≤

(*)

 Trong bài toán kiểm tra bền, ta có thể kiểm tra như sau:

Trên dầm, ta luôn có:





≤



( ) ( )

max max

max σ z +4 max τ zy ≤ σ

thì (*) thỏa mãn.

2 max σ z +4 max τ zy = 4,4712 +4 0,1516 =4,4814(kN cm/ ) Nhận thấy: 4, 4814(kN cmσ/ 2)<[ ]kN cm=16( / 2) nên (*) thỏa mãn.

 Nếu bất phương trình ( )2 ( )2 [ ]

max σ z +4 max τ zy ≤ σ

không thỏa mãn thì tiến hành như sau:

Tại mcn A: M x =200(kN cm. ), Q y =2,5(kN Ta chỉ cần khảo sát điểm K phía )

dưới trục x cách trục x một đoạn là t

t∈ cm cm ( )

200

296,848

K

x

M

J

( )

( ) 296,848.2 121

−

c

y x

x

Q S t

J b t

+ b t c( )= =a 2 (cm)

+

2

5329

( )

c x

Xét hàm :

2

( ) ( )

( ) ( ) 4 ( ) (0,6737 ) 4 4,21.10 40,041

(0,6737 ) 4 4,21.10 40,041 7,0896.10 0,4482 0,1137

−

Đặt

2, ( 49 2,5329 2)

Ta có: f X( ) 7,0896.10= −5X2+0, 4482X +0,1137

Ta nhận thấy:

5329

121

[ ]

( ) ( )

( ) ( )

max ( ) ( ) 4 ( ) 20

max ( ) 4 ( ) 4, 47( / ) 16( / )

Kết luận: Hệ trên bền.

Dạng 2: Tìm kích thước mặt cắt ngang

Cho hệ chịu lực như hình có mặt cắt ngang tương ứng

Biết l =1 ,m q=2kN mσ/ ,[ ] =16kN cm/ 2

1.1: Tính các phản lực liên kết theo q l,

1.2: Vẽ các biểu đồ nội lực ( )Q y

, ( )M theo x q l,

1.3: Tính mômen quán tính chính trung tâm J x của mặt cắt ngang theo kích thước a.

1.4: Tính mômen tĩnh S của phần hình bị cắt bởi đường trung hòa theo kích thước a x c

1.5: Tìm kích thước cho phép [ ]a cm để dầm bền.( )

1.6: Với giá trị [ ]a vừa tìm được, tìm ứng suất tiếp lớn nhất maxτ trên dầm

Bài giải:

1.1 : Tính các phản lực liên kết theo q l,

2 ( )

2, 25

0



∑

m

1.2: Vẽ các biểu đồ nội lực ( )Q y

, ( )M theo x q l,

l

D B

q

l l

Qy

Mx

ql

ql 2 0,75

0,75

1

+

D B

q

1,5a

a 1,5a

y

(H5.2a)

(H5.2b)

l l

l

1.3: Tính mômen quán tính chính trung tâm J x của mặt cắt ngang theo kích thước a.

 Xác định tâm mặt cắt ngang: Chọn hệ trục tính Ox y0 :

0

0

2 2

1 2

0

y

C

C

x x

C

F

+





1,5a

a 1,5a

y

x0 O

x1

x2

x

 Hệ trục quán tính chính trung tâm là Cxy

(1) (2) 109 4 4

18,167 6

x x x

1

3

1

1, 25 1, 25 4

x x

a a

2

3

2

x x

1.4: Tính mômen tĩnh S của phần hình bị cắt bởi đường trung hòa theo kích thước a x c

c

x

a

1.5: Tìm kích thước cho phép [ ]a cm để dầm bền:( )

Tính sơ bộ kích thước theo điều kiện bền TTƯS đơn:

Mặt cắt ngang nguy hiểm thuộc đoạn CD:

Tại B:

2 2 max M x =ql =2.1 =2 (kN m ) 200 (= kN cm )

: căng trên ,

18,167

x k n z

x

M

3

16

z

a

Chọn a sb =1,308 (cm)

Kiểm tra kích thước theo điều kiện bền TTƯS trượt thuần túy:

Mặt cắt ngang nguy hiểm bên trái C Nhận thấy đường trung hòa đi qua điểm có bề rộng mặt cắt nhỏ nhất Vì vậy trên mặt cắt này, những điểm trên đường trung hòa có ứng suất tiếp lớn nhất, những điểm này có TTƯS trượt thuần túy nguy hiểm nhất

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

c

y x

x

J b

, Trong đó:

max Q y =2,25ql=2,25.2.1 4,5 (= kN)

c

1,308 ( )

c

sb

Do đó:

4,5.11,8184

53,1758.1,308

zy

: thỏa mãn

Kiểm tra theo điều kiện bền TTƯS phẳng đặc biệt:

* Kiểm tra công thức: ( )2 ( )2 [ ]

maxσ +4 maxτ ≤ σ

16 +4 0,7646 (kN cm/ ) 16 (≤ kN cm/ ) không thỏa nên phải kiểm tra như sau:

Mcn nguy hiểm tại C : tr 2

2,25 4,5 ( )

200 ( )

y x







Ta chỉ cần khảo sát điểm K phía dưới trục x cách trục x một đoạn là t t∈(0;4,251 )cm

( )

200

53,1758

K

x

M

J

( )

( ) 53,1758.1,308

−

c

y x

x

Q S t

J b t

+ ( )c = =1,3 (cm)

sb

+

1,308 4,251 4, 251

2

c x

( ) ( ) ( )= K ( ) 4+ K ( ) (3,7611 )= +4 42,31.10 18,071 − − 

(3,7611 ) 4 42,31.10 18,071 (3,7611 ) 7,1605.10 326,561 36,142 7,1605.10 13,887 2,3383

−

−

−

Đặt X t= 2, X∈(0;18,071cm2)

Ta có: f X( ) 7,1605.10= −3X2+13,887X +2,3383

Nhận thấy: max ( )f X < f(18,071) 255,62=

[ ]

( ) ( )

( ) ( )

max ( ) ( ) 4 ( ) 255,62

Thỏa mãn điều kiện bền

Kích thước cần chọn [ ]a =a sb =1,308 (cm)

1.6: Với giá trị [ ]a vừa tìm được thì: maxτ =0,7646(kN cm/ 2)

Dạng 3: Tìm tải trọng cho phép

Cho hệ chịu lực như hình có mặt cắt ngang tương ứng

Biết l =1 ,mσ[ ]=16kN cm a/ 2, =cm2

1.1: Tính các phản lực liên kết theo q l,

1.2: Vẽ các biểu đồ nội lực ( )Q y

, ( )M theo x q l,

1.3: Tính mômen quán tính chính trung tâm J x của mặt cắt ngang theo kích thước a.

1.4: Tính mômen tĩnh S của phần hình bị cắt bởi đường trung hòa theo kích thước a x c

1.5: Tìm tải trọng cho phép [ ]q kN m để dầm bền.( / )

1.6: Với giá trị [ ]q vừa tìm được, tìm ứng suất tiếp lớn nhất maxτ trên dầm

Bài giải:

1.1 : Tính các phản lực liên kết theo q l,

2 ( )

5

0

C C

A

m



∑

∑

1.2: Vẽ các biểu đồ nội lực ( )Q y

, ( )M theo x q l,

A

B

2q

l l

Qy

Mx

ql

ql2

1

2

-1

3

2

+

1.3: Tính mômen quán tính chính trung tâm J x của mặt cắt ngang theo kích thước a.

 Xác định tâm mặt cắt ngang:

Chọn hệ trục tính Ox y0 :

0

2 2

1 2

y

C

x x

C

x x

F

=



x0 O

x1

x2

x

C 10 a 7

a

y

 Hệ trục quán tính chính trung tâm là Cxy

42

.8

x

2 3

.3

x

a a

1.4: Tính mômen tĩnh S của phần hình bị cắt bởi đường trung hòa theo kích thước a x c

c

x

a

1.5: Tìm tải trọng cho phép [ ]q kN m để dầm bền.( / )

Tìm tải trọng sơ bộ theo điều kiện bền ứng suất đơn:

Mặt cắt nguy hiểm: tại C

max = C =2 =2 1 =2 ( ) 200 (= )

, căng trên

Đơn vị [ ]q : ( / kN m )

max

457,52 7

x k n z

x

J

Điều kiện bền:

[ ]

max σ z ≤ σ ⇒2,5603.q≤16⇒q sb =6, 24 (kN m/ )

Kiểm tra tải trọng sơ bộ với điều kiện bền TTƯS trượt thuần túy:

Mặt cắt nguy hiểm ngay bên trái gối C: maxQ y =3q l sb =3.6, 24.1 18,72 (= kN)

Kiểm tra những điểm nằm trên đường trung hòa:

c

y x

x

J b

18,72.68,61224

457,52.4

zy

: thỏa mãn

Kiểm tra điều kiện bền TTƯS phẳng đặc biệt: không cần kiểm tra vì ta đã kiểm tra

trên mặt cắt bên trái C cho 2 đk bền trên, mà mcn bên trái C là mcn có mômen và lực cắt cùng lớn Đồng thời đường trung hòa nằm trên bề rộng hẹp nhất, do đó điều kiện bền

nhất định sẽ thỏa mãn.

Có thể kiểm tra lại như sau:

Mcn nguy hiểm tại C : tr 2

3 3.6,24.1 18,72 ( )

2.6,24.1 2.6,24( ) 1248 ( )

y sb

x sb







Ta chỉ cần khảo sát điểm K phía dưới trục x cách trục x một đoạn là t

41

7

t∈ cm ( )

1248

457,52

K

x

M

J

( )

( ) 18,72

( ) 457,52.4

−

c

y x

x

Q S t

J b t

+ b t c( ) 2= a=4 (cm)

+ ( 2)

2

c x

( ) ( ) ( )= K ( ) 4+ K ( ) (2,7277 )= +4 20, 45.10 − 34,306− 

(2,7277 ) 4 20,45.10 34,306 (2,7277 ) 1,6728.10 1176,9 68,612 1,6728.10 7,3258 1,9687

−

−

−

Đặt X t= 2, X∈(0;34,306cm2)

Ta có: f X( ) 1,6728.10= −3X2+7,3258X +1,9687

Nhận thấy: max ( )f X < f (34,306) 255,55=

[ ]

( ) ( )

( ) ( )

max ( ) ( ) 4 ( ) 255,55

Thỏa mãn điều kiện bền

Tải trọng cần chọn [ ]q =q sb =6,24 (kN m )

Vậy: [ ]q =6, 24 (kN m/ )

1.6: Với giá trị [ ]q vừa tìm được, tìm ứng suất tiếp lớn nhất maxτ trên dầm

Ta có: maxτ =0,701 (kN cm/ 2)