Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.. Chứng minh rằng K∈O.. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A I không trù
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN - BẢNG B
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2 + + n 2 không chia hết cho 3
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là một số chính phương
Câu 2 (5,0 điểm)
a) Giải phương trình: x2 + 4x+5 = 2 2x+3
b) Giải hệ phương trình:
2
2
2x+y = x 2y+x = y
Câu 3 (3,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4x+32
A
= +
Câu 4 (4,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H
a) Chứng minh rằng BH.BE + CH.CF = BC2
b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh rằng K∈(O)
Câu 5 (2,5 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C) Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định
Hết
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - Bảng B
1.
a,
(2,5)
*) Nếu n 3 M ⇒ n2 + n 3 M
*) Nếu n 3 M / ⇒ n2 + 2 3 M
2
⇒ + + M (2)
Từ (1) và (2) ⇒ ∀ ∈ n Z thì n2 + + n 2 3 M /
b,
(2,5)
Đặt m2 = n2 + 17 (m N) ∈
Do m + n > m - n
Vậy với n = 8 ta có n2 + 17 64 17 81 9 = + = = 2
2.
a,
(2.5)
Giải phương trình x2 + 4x+5=2 2x+3 (1)
-2
≥ ⇒ ≥
2
x 1 0 2x+3 1 0
+ =
2x+3=1
= −
⇔
⇔ = − thỏa mãn điều kiện
b,
(2.5)
Giải hệ phương trình
2
2
2x+y=x 2y+x=y
Trừ từng vế 2 phương trình ta có: x2 − y2 = − x y
(x y)(x y 1) 0
Ta có:
(1) (2)
Trang 3*) x y x y
Vậy (x; y) = (0;0); (3;3)
Vì phương trình y2 − + = y 1 0 vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3)
3.
Tìmgiá trị nhỏ nhất của 4x+32
A
= +
Ta có:
2
+
2
2
(x 2)
+
+
Dấu "=" xảy ra ⇔ + = ⇔ = − x 2 0 x 2
Vậy Amin = − 1 khi x = -2
4.
a,
(2,5)
H
K
E
I
B
A
C
Gọi I là giao điểm của AH và BC ⇒ AI ⊥ BC
Ta có: ∆BHI ∆BCE (g, g)
BH.BE BC.BI
Ta có: ∆CHI ∆CBF (g, g)
CH.CF BC.CI
Từ (1) và (2) suy ra BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC2
b,
(2,0) Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC suy ra
FAI BCK hay BAK BCK
⇒ tứ giác BACK nội tiếp đường tròn (O) ⇒ K ∈ (O)
5.
+ Khi BAC 90 · = 0 ⇒ BIC 90 · = 0
⇒ F trùng với B, E trùng với C lúc đó EF là đường kính
⇒ EF đi qua điểm O cố định
hoặc x = 3
Trang 4F
E
O
A
B
C
I
+ Khi ·BAC < 900 ⇒ ·BIC > 900
Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF
EIF EAF
⇒ = (cùng bù ·BIC)
EKF EAF
AKFE
⇒ nội tiếp
KAB KEF
⇒ = (cung chắn »KF) (1) (m ∈ N) (Do K và I đối xứng qua EF) (2)
Từ (1), (2), (3) ⇒ KAB BIK · = ·
⇒ AKBI là tứ giác nội tiếp
Mà EF là đường trung trực của KI ⇒ E, O, F thẳng hàng + Khi ·BAC > 900 ⇒ ·BIC < 900 chứng minh tương tự
Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định
Hết