phương pháp số trong cơ học

Giới thiệu chung 1.1.Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn  Trong phân tích kết cấu, thường gặp bài toán yêu cầu xác định trường giá trị của một hay nhiều đại lượng nào đó chuyển

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG

PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG CƠ HỌC

LÊ CÔNG LẬP

Chương 1: Cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn

1 Giới thiệu chung

1.1.Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn

 Trong phân tích kết cấu, thường gặp bài toán yêu cầu xác định trường giá trị của một hay nhiều đại lượng nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng ) trong một miền xác định

 Khi xây dựng mô hình toán học cho kết cấu thực, thường nhận được một hay hệ phương

trình vi phân

o Ví dụ:

 Nếu như miền tính, điều kiện biên hay tải đặt lên kết cấu phức tạp  không thể giải bài

toán theo phương pháp giải tích mà phải sử dụng các phương pháp số như phương pháp sai phân hữu hạn, phần tử hữu hạn, phần tử biên…

 Trong các phương pháp số kể trên, phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH) là một phương pháp mạnh trong phân tích kết cấu

 Khi áp dụng PPPTHH trong phân tích kết cấu tùy thuộc chuyển vị hay ứng suất được lựa

chọn là ẩn số chính, ta có PPPTHH dựa trên chuyển vị hay dựa trên ứng suất

 Trên thực tế, PPPTHH dựa trên ứng suất ít được sử dụng, nên chỉ nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên chuyển vị

 Theo PPPTHH dựa trên chuyển vị:

 Kết cấu liên tục được rời rạc hóa hay được coi như gồm các bộ phận kết cấu có dạng hình học đơn giản ghép lại, gọi là phần tử (hình 1.1)

 Các phần tử được nối với nhau tại một số điểm nhất định nằm trên biên phần tử

gọi là điểm nút hay nút

 Vì trường chuyển vị thực bên trong kết cấu là chưa biết, giả thiết nó được xấp xỉ bằng các hàm đơn giản trong phạm vi từng phần tử

 Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn theo các giá trị chuyển vị tại các nút của phần

tử - gọi là bậc tự do của phần tử

 Sau khi “lắp ghép” các phần tử lại, được hệ phương trình đại số tuyến tính trong

đó ẩn số là chuyển vị tại các nút của kết cấu

 Bằng cách giải hệ phương trình này, các giá trị chuyển vị tại nút được xác định và

từ đó có thể tìm được biến dạng, ứng suất… tại bất cứ điểm nào trong kết cấu

Hình 1.1: Rời rạc hóa miền phẳng

 Trong khuôn khổ của học phần Phương pháp phần tử hữu hạn, nghiên cứu các nét cơ bản

của phương pháp phần tử hữu hạn và áp dụng nó trong phân tích (tính toán) kết cấu

 Các giả thiết nghiên cứu tương tự như Sức bền vật liệu - vật liệu đồng nhất, đẳng hướng,

đàn hồi tuyến tính; biến dạng và chuyển vị của kết cấu đủ nhỏ

1.2.Sơ lược về sự ra đời của phương pháp

 Năm 1943, nhà toán học Courant sử dụng lời giải dạng đa thức piecewise cho bài toán xoắn thanh mà về sau được thừa nhận là đã đưa ra những ý tưởng cơ bản của PPPTHH

 Năm 1956, Turner và ctv sử dụng phương pháp độ cứng để giải quyết bài toán phẳng sử dụng các phần tử tam giác ba nút

 Năm 1960, Clough lần đầu tiên đưa ra khái niệm phần tử hữu hạn Sau đó, phương pháp

phần tử hữu hạn đã được thừa nhận về mặt toán học và được áp dụng rộng rãi cho các bài toán trường như truyền nhiệt, nước ngầm, trường điện từ và các lĩnh vực khác

 Các phần mềm PTHH cỡ lớn có mục đích chung đã xuất hiện trong những năm 1970

 Vào cuối những năm 1980, đã có những chương trình cho máy tính cá nhân

 Cho đến giữa những năm 1990, trên toàn thế giới có khoảng 40.000 bài báo và đầu sách

về PPPTHH và các ứng dụng của nó

1.3.Các loại phần tử

Theo hình học của phần tử, có các kiểu phần tử thông dụng (hình 1.2)

a) Các phần tử đường

b) Các phần tử phẳng

c) Các phần tử khối Hình 1.2: Các kiểu phần tử cơ bản

1.4.Các chương trình tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn

- Cho nghiên cứu và giáo dục: trong các trường đại học để nghiên cứu và học tập:

+ RDM (Résistance des Materiaux) – Viện Đại học Công nghệ Le Mans – Pháp

+ CALFEM (Computer Aided Learning of the Finite Element Method) - Đại học Lund -

Thụy Điển

+ FEAP – Đại học California – Mỹ

- Cho thương mại: tại các công ty, xí nghiệp:

+ SAP (Structural Analysis Programs) - Computers  Structures.Inc (CSI) - Mỹ

+ STAAD (Structural Analysis And Design) - Mỹ

+ ANSYS - Ansys.Inc - Mỹ

+ SAMCEF – SAMTECH - Bỉ

+ CASA (Computer Aided Stuctural Analysis) - Công ty tin học Hài hoà - Việt Nam

2 Bài toán phân tích tĩnh kết cấu

2.1 Khái niệm về bài toán phân tích tĩnh kết cấu

Tìm nội lực, ứng suất, biến dạng, chuyển vị của kết cấu dưới tác dụng của tải tĩnh đã biết

2.2 Các phương pháp cơ bản trong phân tích tĩnh kết cấu

Có rất nhiều phương pháp đã được xây dựng, tạm thời phân loại như sau:

2.2.1 Theo kết quả nhận được

 Phương pháp giải tích: lời giải là một hàm phụ thuộc vào biến số tọa độ không gian

 Phương pháp trực tiếp (còn gọi là phương pháp véctơ): giải trực tiếp phương trình vi

phân chủ đạo của bài toán

 Phương pháp năng lượng: dựa vào một nguyên lý năng lượng nào đó như nguyên lý bảo toàn cơ năng, nguyên lý di chuyển khả dĩ, nguyên lý thế năng toàn phần cực tiểu…

 Phương pháp số: lời giải là một tập hợp giá trị số của đại lượng cần tính tại một số hữu

hạn điểm trên miền tính Cụ thể, có các phương pháp sau:

 Phương pháp sai phân hữu hạn

 Phương pháp phần tử hữu hạn

 Phương pháp phần tử biên…

2.2.2 Theo ẩn số chính

 Phương pháp lực: lực được coi là ẩn số chính (được tìm trước), là phương pháp được sử

dụng phổ biến trong Sức bền vật liệu

 Phương pháp chuyển vị: lấy chuyển vị làm ẩn số chính, là khởi nguồn của phương pháp

phần tử hữu hạn dựa trên chuyển vị

 Phương pháp hỗn hợp: coi lực và chuyển vị là độc lập nhau và tìm đồng thời

2.3 Nhắc lại Lý thuyết về thanh chịu lực dọc trục

 Xét 1 thanh thẳng có tiết diện không đổi chịu lực dọc trục như trên hình 1.3

 Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị:

dx

du

x 

u = chuyển vị dọc trục của mặt cắt ngang có tọa độ x,

x = biến dạng dài tỉ đối tại đó

E = mô-đun đàn hồi của vật liệu,

x = ứng suất pháp trên mặt cắt ngang,

x = biến dạng dài tỉ đối

 Thay (1.1) vào (1.2)  mối quan hệ giữa ứng suất và chuyển vị:

dx

du E

u d

2 2

2

12

12

1

x x

2 q

dx

u d

Và các điều kiện biên:

0)0(x 

0)

L x

dx

du EA L x

Tích phân 2 vế của phương trình (a) 2 lần:

C qx dx

du

D Cx

q x

3 Các phương pháp năng lượng

3.1 Nguyên lý di chuyển khả dĩ

 Di chuyển khả dĩ của hệ = di chuyển tưởng tượng, vô cùng bé từ vị trí cân bằng của hệ

(khi tất cả các tải đã đặt lên hệ) và phù hợp với liên kết của hệ

 Ngoại lực và nội lực không thay đổi khi hệ thực hiện di chuyển khả dĩ

 Công khả dĩ = công được thực hiện bởi tất cả các lực đặt lên hệ, bao gồm cả ngoại lực và

nội lực, trên di chuyển khả dĩ

 Năng lượng biến dạng khả dĩ = lượng thay đổi năng lượng biến dạng trong hệ do thực

hiện di chuyển khả dĩ

 Năng lượng biến dạng khả dĩ bằng về cường độ nhưng ngược dấu công khả dĩ của nội

lực

 Nguyên lý di chuyển khả dĩ: “Hệ ở trạng thái cân bằng nếu và chỉ nếu công khả dĩ của

hệ lực đặt lên hệ trên di chuyển khả dĩ bất kỳ triệt tiêu”

 Nói cách khác, hệ ở trạng thái cân bằng khi:

W = công khả dĩ của ngoại lực,

U = năng lượng biến dạng khả dĩ

Ví dụ 1.2

Xác định chuyển vị của điểm đặt lực Biết E,A và 2A

Hình 1.5

Lời giải

Gọi u là di chuyển khả dĩ tại điểm đặt lực, có chiều đi từ trái sang phải

Công khả dĩ của ngoại lực:

P

NLBD tích luỹ trong hệ bằng tổng năng lượng trong các đoạn:

2 2

2 2

1 2

1

4

52

2

12

2

1

u L

EA L

EA L

EA U

U

Năng lượng biến dạng khả dĩ:

u u L

EA u

u L

PL u

5

2

3.2 Nguyên lý thế năng toàn phần cực tiểu

 Được suy ra từ NLDCKD và được sử dụng rộng rãi trong PPPTHH

 Nội dung:“Hệ đàn hồi ở trạng thái cân bằng nếu và chỉ nếu thế năng toàn phần đạt giá trị cực tiểu”

U = năng lượng biến dạng của hệ,

W = công của ngoại lực đặt lên hệ

 Theo nguyên lý thế năng toàn phần cực tiểu:

Hệ đàn hồi cân bằng  min UW 0 (1.10)

Ví dụ 1.3

Tìm chuyển vị của điểm đặt lực, biết E, P

Thế năng toàn phần của hệ:

Pu u L

EA W

PL u

3

3.3 Phương pháp Rayleigh – Ritz

 Được đề xuất bởi Lord Rayleigh trong những năm 1880 và được tổng quát hóa bởi Walter Ritz khoảng 35 năm sau

 Một cách áp dụng NLTNTPCT và cho phép tìm lời giải gần đúng

 Giả thiết một trường chuyển vị thoả mãn ĐKB động học của bài toán Thường thì trường chuyển vị được chọn dưới dạng:

    



 N

i i

i f x x

u

1

i = các hệ số chưa biết, được gọi là các tọa độ tổng quát,

fi(x) = các hàm liên tục phụ thuộc tọa độ x, thỏa mãn các điều kiện biên động học (về chuyển vị) và độc lập tuyến tính

 Áp dụng NLTNTPCT để xác định các tọa độ tổng quát Tức cho:

để nhận được 1 hệ phương trình đại số tuyến tính

 Giải hệ phương trình trên, ta nhận được các hệ số i cần tìm

dx

du EA U

2

12

1 2

1 1

du EA x

 So sánh lời giải gần đúng với lời giải chính xác (ví dụ 1.1):

 Lời giải xấp xỉ chuyển vị khá gần với lời giải chính xác và nó cho kết quả chính xác tại đầu tự do của thanh

 Lực dọc khác khá xa kết quả chính xác Điều kiện biên về lực cũng không được thỏa mãn tại 2 đầu thanh

 Có thể cải thiện lời giải xấp xỉ bằng cách chọn hàm chuyển vị gần với chuyển vị thật trong thanh Chẳng hạn, nếu lấy   2

2

x

u   , sẽ nhận được lời giải chính xác

theo phương pháp trực tiếp (chính xác)

_ _ _ _ theo phương pháp Rayleigh - Ritz Hình 1.8: So sánh lời giải gần đúng với lời giải chính xác

Ví dụ 1.5

Tìm u của thanh chịu lực như hình 1.9 theo phương pháp Rayleigh-Ritz

Hình 1.9

Lời giải

Gọi chuyển vị dọc trục của A, B và C lần lượt là uA, uB và uC

Do thanh chỉ chịu lực tập trung, chuyển vị dọc trục trong thanh là tuyến tính Chọn hàm chuyển

Với thanh AB:

x x

x x

NLBD tích luỹ trong thanh:

 2 2

2

0

2 2

0

1 2

1

2

2

12

21

B C B

L L

u u L

EA u

L EA

dx dx

du EA dx

dx

du EA U

U U

EA W

C

B u

u

(j)

thực hiện các đạo hàm, ta có:

P u u L EA

u u L

EA u

L EA

B C

B C B

EA u

L EA

u L

EA u

L EA

C B

2

4 Phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên chuyển vị

 Kết cấu liên tục được rời rạc hóa hay được coi như gồm các bộ phận kết cấu có dạng hình học đơn giản ghép lại gọi là phần tử

 Các phần tử được nối với nhau tại một số điểm nhất định nằm trên biên phần tử gọi là

 Sau khi “lắp ghép” các phần tử, ta sẽ nhận được hệ phương trình đại số tuyến tính trong

đó ẩn số là chuyển vị tại các nút của kết cấu

 Giải hệ phương trình này, các giá trị chuyển vị tại nút sẽ được xác định và từ đó, ta có thể tìm được biến dạng, ứng suất… tại bất cứ điểm nào trong kết cấu

4.1 Rời rạc hóa kết cấu

 Xét thanh hình bậc chịu lực như trên hình 1.10a

 Thông thường và một cách tự nhiên, có thể coi thanh được ghép bởi 2 đoạn hay 2 phần tử tương ứng với 3 điểm nút hay 3 nút như trên hình 1.10b

 Do thanh chịu lực dọc trục, tại mọi điểm trong phần tử chỉ có chuyển vị dọc trục và tại 3 nút, có các chuyển vị là u1, u2 và u3, là các ẩn số chính của bài toán

(c) Hình 1.10

4.2 Xấp xỉ chuyển vị trong phần tử

 Xét phần tử thứ e bất kỳ trong 2 phần tử trên Phần tử có chiều dài là Le, diện tích tiết diện không đổi Ae và mô-đun đàn hồi Ee

 Trong hệ tọa độ địa phương xy gắn liền với phần tử, phần tử chỉ có 2 bậc tự do là chuyển

vị dọc trục của 2 đầu phần tử: ui, uj Tương ứng với 2 chuyển vị này là 2 lực fi và fj

Hình 1.11

 Nếu phần tử không chịu lực phân bố thì chuyển vị trong phần tử có dạng tuyến tính:

x x

1, 2 = các hệ số chưa biết

 Thực hiện đồng nhất chuyển vị tại 2 nút của phần tử:

 

j

i i

i

x x

u u

x x

u u

2 1

2 1

i j

e

i j j i i

j

i j j i

L

u u x x

u u

L

x u x u x

x

x u x u

i i

e j e

i j e

i j j i

u x N u x N

u L

x x u L

x x x

L

u u L

x u x u x u

L

x x x

L

x x x

có tính chất:

j i x

N i j

0

1)

e e

dx

du A E dx

du U

21

 u u  E A  u u dx L

j

i

x x

j i e

e j i e

21

x

Ni(x) Nj(x)

1

    dx

u

u A

E L

e e

1-uu12

1

e j

e e j i e

u

u L

A E u u U

11

112

1

 Dạng tổng quát của NLBD trong phần tử:

   e  e T

11

e

e e e

L

A E

 Với phần tử đang xét, chỉ có lực tập trung đặt tại các nút, công gây ra bởi các lực này:

     T e

e j

i j i j j i i

f

f u u u f u f

e e j i e

e e

f

f u u u

u L

A E u u W

U

11

112

i e

e e

f

f u

u L

A E

11

11

 Chú ý rằng, ngoài cách thành lập phương trình phần tử theo phương pháp chính tắc như trên, chúng ta còn có thể sử dụng phương pháp trực tiếp Mặc dù phương pháp này đơn

giản và dễ hiểu hơn nhưng chỉ áp dụng được cho một số phần tử đơn giản như phần tử lò

xo hay thanh chịu lực dọc trục

4.4 Thiết lập phương trình kết cấu

 Sau đây, ta tìm hiểu cách thành lập phương trình kết cấu từ các phương trình phần tử cũng như việc thành lập ma trận độ cứng kết cấu từ các ma trận độ cứng phần tử

112

1 ( 2

) 1 ( 1 1

d

u

u u

2 ( 3

) 2 ( 2 2

d

u

u u

u

3 2 1

2

1 1

010

001

u

3 2 1

3

2 2

100

010

 NLBD của toàn bộ kết cấu:

d L k L L k L d

d L k L d d L k L d

d k d d

k d U

U U

T T

T T

T

T T T

T

T T

21

''2

12121

2

12

1

2 1

2 2 2 1 1 1

2 2 2 1

1 1

2 2 2 1

1 1 2

02

2

022

'1 1 1 1

L

EA L

EA

L

EA L

EA L

k L

L

EA L

EA L

k L

00

00

0'2 2 2 2

EA L

EA L

EA L

EA k

k K

0

32

02

2

''1 2

 Công của ngoại lực:

d

f L f L d

f L d f L d

f d f d

T T

T T

T

T T T

T

T T

2 2 1 1

2 2 1

1

2 2 1 1 2 1

''

WWW

f' 21

1 1 1

2 2 2

ff

0'

f

ff

f'

'

1

2 3

2 2 1 2

1 1 2

f F

Đây chính là tập hợp các ngoại lực đặt tại các nút của kết cấu (hình 1.10c)

e k L L

e f L F

1

(1.29)

[Le], [ke], và {fe}= ma trận định vị, ma trận độ cứng và véc-tơ tải của phần tử thứ e

 Chú ý rằng, để đi đến phương trình (1.27), chúng ta cũng có thể sử dụng phương pháp trực tiếp trên cơ sở xét cân bằng của từng nút Tuy nhiên, cách này không mang tính tổng quát nên khó áp dụng cho các phần tử phức tạp hơn

4.5 Giải phương trình kết cấu

 (1.27) là hệ phương trình đại số tuyến tính bình thường Sử dụng các phương pháp đã biết, ta sẽ tìm được {d}, tức chuyển vị tại các điểm nút của kết cấu Từ đó, ta có thể tìm được các đại lượng khác như chuyển vị, biến dạng, ứng suất trong kết cấu

 Cần chú ý rằng phương trình (1.27) có vô số nghiệm do ma trận độ cứng kết cấu [K] suy biến Lý do là chúng ta chưa kể đến các điều kiện biên động học của bài toán Cho nên,

trước khi giải phương trình (1.27), cần áp dụng điều kiện biên hay áp đặt điều kiện biên

5 Thực hành tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn

5.1 Trình tự tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn

 Bước 1: Rời rạc hóa kết cấu

 Bước 2: Tính ma trận độ cứng kết cấu

 Bước 3: Thiết lập véc-tơ tải kết cấu

 Bước 4: Giải hệ phương trình kết cấu

 Bước 5: Tính nội lực, ứng suất và biến dạng theo yêu cầu đề bài

Ví dụ 1.6

Xác định chuyển vị của điểm đặt lực và nội lực trong thanh trên hình 1.14 theo PPPTHH

Hình 1.14a

Lời giải

Bước 1: Rời rạc hoá kết cấu

Chia thanh làm 2 phần tử như hình 1.14b:

2A

A

P

Hình 1.14b Bước 2: Tính ma trận độ cứng kết cấu

221

1

112

1

L

EA L

EA k

11

2

L

EA k

Ma trận độ cứng của kết cấu được hình thành từ các ma trận độ cứng phần tử theo cách sau:

Mở rộng ma trận độ cứng phần tử 1 về phía chuyển vị bị khuyết u3:

0 -1 1 u3

0 -1 1 u3

Bước 3: Tính véc-tơ tải kết cấu

Gọi R1, R3 là các phản lực tại 2 ngàm Véc-tơ tải kết cấu là tập hợp các ngoại lực đặt tại các nút:

R F

Bước 4: Giải phương trình kết cấu

ĐKB của bài toán: u1 = u3 = 0

R P

R u

L EA

Giải phương trình thứ hai:

P u L

u u EA

Tương tự, lực dọc trong phần tử 2:

3

2 3 2

P L

u u EA

3

13