ĐỀ ÔN HỌC KÌ II

2 Tìm các điểm thuộc đồ thị P sao cho các điểm này cĩ tung độ lớn hơn hồnh độ 2 đơn vị.. Bài 4: Hai xe ơ tơ cùng đi từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh, xe thứ hai đến sớm hơn xe

ƠN THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2012-2013

Mơn thi: Tốn

Thời gian làm bài: 90 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Bài 1:

1/ Giải hệ phương trình: 1

x y

x y

− =



 + =



2/ Giải phương trình: 9x2 +8x− =1 0

3/ Cho biểu thức Q = 1 1 : 1 2

1

a)Rút gọn Q.

Bài 2 Cho hàm số : y x= 2 cĩ đồ thị là (P)

1) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên

2) Tìm các điểm thuộc đồ thị (P) sao cho các điểm này cĩ tung độ lớn hơn hồnh độ 2 đơn vị

Bài 3: Cho parapol ( )P :y =x2 và đường thẳng ( )d : y=2x m+ 2 +1 (m là tham số).

1/ Xác định tất cả các giá trị của m để ( )d song song với đường thẳng

( )d' :y=2m x m2 + 2 +m.

2/ Chứng minh rằng với mọi m, ( )d luơn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt A và B

3/ Ký hiệu x x A; B là hồnh độ của điểm A và điểm B Tìm m sao cho x A2 +x B2 =14

Bài 4:

Hai xe ơ tơ cùng đi từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh, xe thứ hai đến sớm hơn xe thứ nhất là 1 giờ Lúc trở về xe thứ nhất tăng vận tốc thêm 5 km mỗi giờ, xe thứ hai vẫn giữ nguyên vận tốc nhưng dừng lại nghỉ ở một điểm trên đường hết 40 phút, sau đĩ về đến cảng Dung Quất cùng lúc với xe thứ nhất Tìm vận tốc ban đầu của mỗi xe, biết chiều dài quãng đường từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh là 120 km và khi đi hay về hai xe đều xuất phát cùng một lúc

Bài 5:

Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R và C là một điểm nằm trên đường trịn sao cho CA > CB Gọi I là trung điểm của OA Vẽ đường thẳng d vuơng gĩc với AB tại I, cắt tia

BC tại M và cắt đoạn AC tại P; AM cắt đường trịn (O) tại điểm thứ hai K

1/ Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp được trong một đường trịn

2/ Chứng minh ba điểm B, P, K thẳng hàng

3/ Các tiếp tuyến tại A và C của đường trịn (O) cắt nhau tại Q Tính diện tích của tứ giác QAIM theo R khi BC = R

Bài 6:

Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C) Vẽ đường trịn tâm O thay đổi nhưng luơn đi qua B và C (O khơng nằm trên đường thẳng d) Kẻ AM

và AN là các tiếp tuyến với đường trịn tâm O tại M và N Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường trịn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường trịn

b) Chứng minh điểm K cố định khi đường trịn tâm O thay đổi

c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuơng gĩc với MD cắt đường thẳng MP tại E Chứng minh P là trung điểm ME

HẾT

-Bài 6: (0,5 điểm)

Cho x>0,y>0 thỏa mãn x2 + y2 =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 12xy

xy

−

= + .

HẾT

-HƯỚNG DẪN GIẢI:

Bài 1:

1/ ( )( ) ( )2 2

2 1− 2 1+ = 2 − = − =1 2 1 1

2/ 2x y x− =3y1 7 32x x−33y y=37 5x y x=101 x y=21

3/ Phương trình 9x2 +8x− =1 0 có a b c− + = − − = 9 8 1 0 nên có hai nghiệm là:

1

1;

9

x = − x = .

Bài 2:

1/ Đường thẳng ( )d : y=2x m+ 2 +1 song song với đường thẳng ( )d' :y=2m x m2 + 2 +m

khi

1

1 1

1 1

1

m

m m

m

m

 =

 2/ Phương trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( )P là

x = x m+ + ⇔x − x m− − = là phương trình bậc hai có ac= −m2 − <1 0với mọi m

nên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Do đó ( )d luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt

A và B với mọi m.

3/ Cách 1: Ký hiệu x x A; B là hoành độ của điểm A và điểm B thì x x A; B là nghiệm của

phương trình x2 −2x m− 2 − =1 0

Giải phương trình x2 −2x m− 2 − =1 0

Phương trình có hai nghiệm là x A = +1 m2 +2; x B = −1 m2 +2

Do đó

Cách 2: Ký hiệu x x A; B là hoành độ của điểm A và điểm B thì x x A; B là nghiệm của

phương trình x2 −2x m− 2 − =1 0 Áp dụng hệ thức Viet ta có: 22

A B

S x x



Bài 3:

Gọi vận tốc ban đầu của xe thứ nhất là x (km/h), xe thứ hai là y (km/h) ĐK: x > 0; y >

0.

Thời gian xe thứ nhất đi từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh là 120( )h

Thời gian xe thứ hai đi từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh là 120( )h

Vì xe thứ hai đến sớm hơn xe thứ nhất là 1 giờ nên ta có phương trình: 120 120 1 1( )

x − y = Vận tốc lúc về của xe thứ nhất là x+ 5 (km/h)

Thời gian xe thứ nhất về từ khu du lịch Sa Huỳnh đến cảng Dung Quất 1205( )h

x+ . Thời gian xe thứ hai về từ khu du lịch Sa Huỳnh đến cảng Dung Quất 120( )h

Vì xe thứ hai dừng lại nghỉ hết 40 2

3

ph= h, sau đó về đến cảng Dung Quất cùng lúc với

xe thứ nhất nên ta có phương trình: 120 120 2 ( )2

x − y =

Từ (1) và (2) ta có hpt:

120 120

1

120 120 2





 +



120 120

1

120 120 1

x x

 +



25 4.1800 7225 0 85

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1

5 85

40 2

x = − + =

(thỏa mãn ĐK) 2

5 85

45 2

x = − − = −

(không thỏa mãn ĐK) Thay x= 40 vào pt (1) ta được: 120 120 1 120 2 60

40 − y = ⇒ y = ⇒ =y (thỏa mãn ĐK).

Vậy vận tốc ban đầu của xe thứ nhất là 40 km/h, xe thứ hai là 60 km/h

Q

K P M

C

Bài 4:(Bài giải vắn tắt)

a) Tứ giác BCPI nội tiếp (hs tự cm).

b) Dễ thấy MI và AC là hai đường cao của ∆MAB⇒P là trực tâm

của ∆MAB⇒ BP là đường cao thứ ba ⇒BP⊥MA( )1 .

Mặt khác ·AKB=900 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) ⇒ BK ⊥MA( )2 .

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm B, P, Q thẳng hàng

c) AC= AB2 −BC2 = 4R2 −R2 =R 3

Khi BC = R dễ thấy tam giác OBC là tam giác đều suy ra CBA· =600

Mà QAC CBA· =· (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn »AC) do đó

· 600

QAC=

Dễ thấy tam giác QAC cân tại Q (QA = QC) có QAC· =600 nên là tam giác đều

3

AQ AC R

Dễ thấy ; 3

AI = IB= Trong tam giác vuông IBM I($ =900) ta có 0 3 3 3

Ta chứng minh được tứ giác QAIM là hình thang vuông (AQ/ /IM I;$ =900)

QAIM

d K

E

D

C M

N

I

Ta có ·AMO=900 ( do AM là hai tiếp tuyến (O) )

·ANO=900 ( do AN là hai tiếp tuyến (O) )

Suy ra 4 điểm O, M, N, I cùng thuộc đường tròn đường kính OA

AM, AN là hai tiếp tuyến (O) cắt nhau tại A nên OA là tia phân giác ·MON mà ∆OMN cân tại O

2

AB AN

Suy ra AB.AC = AH.AO

AH AK

AI.AK=AB.AC

⇒

AB.AC

AK=

AI

⇒

Ta có A,B,C cố định nên I cố định suy ra AK cố định mà A cố định, K là giao điểm của dây BC

và dây MN nên K thuộc tia AB suy ra K cố định

∆PMH đồng dạng với ∆MQH

2 1

2

Bài 5:

Cách 1: Ta có 2 2 1 1 1 1

Vì x 0,y 0 A 0 A 0 1 0

A

> > ⇒ < ⇒ − > ⇒ >

− do đó min ax

1 min

m

A

2

xy

− ≥ ⇔ + ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≥ (vì 2xy>0)

Do đó 1 1 1 3

2 2

A≥ + =

− Dấu “ = ” xảy ra khi x= y.

Từ

2 2

0, 0

2 2 1

x y

 > >



 + =



Lúc đó

1

2

1 2

A − ×

2 min

3

A= − khi 2

2

x= =y

Cách 2: Với x>0, y>0 ta có

1

x y

xy A

−

Dấu “=” xảy ra khi x= y

Từ

2 2

0, 0

2 2 1

x y

 > >



 + =



Vậy min 2

3

A= − khi 2

2

x= =y

Cách 3:

Vớix>0, y>0 và x2 + y2 =1

Ta có

0

Dấu “=” xảy ra khi 2

2

x= =y Vậy min 2

3

A= − khi 2

2

x= =y

2 2

2

1

0

3 2

a

a

−

+

≥



=