kt cuoi hk 2

Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên có phải là một số chính phương không?. Xe thứ nhất đến B lúc 2h chiều3. Xe thứ hai đến xớm hơn xe thứ nhất nửa giờ.. Hỏi xe thứ hai đuổi kịp xe thứ nhấ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6

Năm học 2012 - 2013 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề này gồm có 04 câu, 01 trang)

Câu I: (6,0 điểm).

Tìm x biết:

a) 1 2 x 1

3 + 3 = 4

b) 3x 1 17+ − =−12

c) x =

11 13 13 15 19 21

Câu II: (8,0 điểm).

1 Cho S = 21 + 22 + 23 + + 2100

a) Chứng minh rằng S M 15

b) Tìm chữ số tận cùng của S

c) Tính tổng S

2 Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên có phải là một số chính phương không? Tại sao?

3 Chứng minh rằng:

b) 51 52. .100 1 3 5 99

Câu III: (3,0 điểm).

Một ô tô đi từ A lúc 8h Đến 9h một ô tô khác cùng đi từ A Xe thứ nhất đến B lúc 2h chiều Xe thứ hai đến xớm hơn xe thứ nhất nửa giờ Hỏi xe thứ hai đuổi kịp xe thứ nhất ở cách

A bao nhiêu km nếu vận tốc của nó lớn hơn vận tốc của xe thứ nhất là 20km/h

Câu IV: (3,0 điểm).

1 Cho A = 1 3 5. . 9999

So sánh A với 0,01

2 Chứng minh rằng:  + + +(1 2 3 n+ ) − 7 M10 , với ∀ n ∈ N

- Hết

-Câu Đáp án Điểm

Câu I:

(6,0 điểm)

a) 1,5 điểm

x

x

3 = −4 3

x

−

=

x = 1 2:

12 3

−

x = 1 3

12 2

−

x = 1 8

−

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ

b) (1,5 điểm)

3x 1 17+ − = −12 3x 1+ = -12 + 17

3x 1+ = 5

3x + 1 = 5 hoặc 3x + 1 = - 5 3x = 4 3x = - 6

x = 4

3 x = - 2 Vậy x = 4

3 ; x = - 2

0,25đ 0,5đ

0,5đ 0,25đ

c) (1,5 điểm)

x

=

=

.2 11 13

22 13 2

.2.11.13

13 11 2

= 88 5265+66 143−429

465 155

0,5đ

0,5đ

0,5đ

d) (1,5 điểm)

11 13 + 13 15 + +19 21

= 1 1 1 1 1 1

11 13− +13 −15 + +19 − 21

11− 21= 231 Nên ta có 10 462 2,04 : x 1,05 : 0,12 19( )

20 - [ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 19

[ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 20 - 19 [2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 1

2,04 : (x + 1,05) = 1 0,12

x + 1,05 = 2,04 : 0,12

x + 1,05 = 17

x = 17 - 1,05

x = 15,95

0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ

Câu II:

(8 điểm)

1 (3,0 điểm)

a) (1,25 điểm)

S = 21 + 22 + 23 + + 2100

Tổng trên gồm 100 số hạng được chia thành 4 nhóm, mỗi nhóm có 4 số

hạng ta có:

S = (21 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + + (297 + 298 + 299 + 2100)

= 2 (1 + 2 + 22 + 23) + 25 (1 + 2 + 22 + 23) + + 297 (1 + 2 + 22 + 23)

= 2 15 + 25 15 + + 297 15

= 15 (2 + 25 + + 297) M 15 (ĐPCM)

0,25đ

0,5đ 0,25đ 0,25đ

b) (0,75 điểm)

Vì S M 15 ⇒ S M 5 (1)

Lại có tất cả các số hạng của S đều chia hết cho 2 nên S M 2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ S M 10 hay S có chữ số tận cùng là 0

0,25đ 0,25đ 0,25đ

c) (1,0 điểm)

2S - S = 2 (21 + 22 + 23 + + 2100) - (21 + 22 + 23 + + 2100)

S = (22 + 23 + 24 + + 2101) - (21 + 22 + 23 + + 2100)

hay S = 2101 - 2

0,5đ 0,25đ 0,25đ

2 (2,0 điểm)

Gọi số tự nhiên lẻ thứ n kể từ số đầu tiên là x

Ta có: (x - 1) : 2 + 1 = n

⇒ (x - 1) : 2 = n - 1

⇒ x - 1 = (n - 1) 2

⇒ x - 1 = 2n - 2

⇒ x = 2n - 2 + 1

⇒ x = 2n - 1

Nên n số tự nhiên lẻ đầu tiên là 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ; 2n - 1

Ta có tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên là:

1 + 3 + 5 + + (2n - 1) = (2n - 1 + 1) n : 2 = 2n n : 2 = n2 là một số chính phương

Vậy tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên là một số chính phương

0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ

0,75đ 0,25đ

3 (3,0 điểm)

a) (1,5 điểm)

Ta có 1 - 1 1 1 1 1

2 3 4+ − + + 199 − 200

= 1 + 1 1 1 1 1 1 1

101 +102 103+ + + 200 (ĐPCM)

0,5đ 0,5đ

0,5đ

b) (1,5 điểm)

Ta có: 1 3 5 99 = (1 3 5 99) (2 4 6 100)

(2 4 6 100)

( ) ( ) ( ) (1.2 2.2 2.3 2.501 2.3.4.5.6 99.100 )

50

1 2 3 99 100

1 2.3 50 2.2.2 214 2 43

thõa sè 2

=

50

51 52 53 99 100 2.2.2 2

14 2 43

thõa sè 2

= 51 52 53. . .100

0,5đ 0,25đ

0,25đ

0,25đ 0,25đ

Câu III:

(3 điểm)

Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường AB là :14h - 8h = 6h

Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường AB là : (14h - 0,5h) - 9h = 4,5h

= 9h

2 Một giờ xe thứ nhất đi được : 1

6 (quãng đường AB).

Một giờ xe thứ hai đi được : 2

9 (quãng đường AB).

Phân số chỉ 20km là : 2

9 -

1

6 =

1

18 (quãng đường AB) Vậy quãng đường AB dài : 20 : 1

18 = 360 (km) Vận tốc xe thứ nhất là : 360 1

6 = 60 (km/h) Khi hai xe cùng bắt đầu đi chúng cách nhau 60km (vì xe thứ nhất đi

trước xe thứ hai 1 giờ) Do đó, chúng gặp nhau (kể từ khi xe thứ hai đi)

sau: 60 : 20 = 3 (h)

0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,5đ

0,5đ 0,25đ 0,5đ

Nơi gặp nhau cách A là: 60 + 60 2 = 240 km 0,25đ

Câu IV:

(3 điểm)

1 (1,5 điểm)

A = 1 3 5. . 9999

Đặt B = 2 4 6. . 10000

Vì 1 2 ; 3 4; 5 6 ; ; 9999 10000

2 < 3 4 < 5 6 < 7 10000 < 10001 Nên A < B mà A > 0 ; B > 0

⇒ A2 < A B = 1 . 3 5 . 9999 . 2 4 6. . 10000

= 1 2 3 4 5 6. . . . 9999 . 10000



÷

0,01

10001 10000 100

⇒ A2 < (0,01)2

Hay A < 0,01

0,5đ

0,25đ

0,5đ 0,25đ

2 (1,5 điểm)

Ta có: 1 + 2 + 3 + + n = n n 1( )

2

+

Vì n ∈ N ⇒ n (n + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có

thể có các tận cùng là: 0; 2 ; 6

⇒ n n 1( )

2

+

không bao giờ có tận cùng là 7

⇒  + + + + − (1 2 3 n) 7 không bao giờ có tận cùng là 0.

⇒  + + + + − (1 2 3 n) 7 M 10, với ∀ n ∈ N (ĐPCM)

0,5đ 0,5đ

0,25đ 0,25đ

* Lưu ý: - Mọi cách làm khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Tùy theo bài làm của học sinh, giám khảo có thể chia nhỏ biểu điểm.

Hết

-Người ra hướng dẫn chấm Tổ trưởng chuyên môn Hiệu trưởng