BÀI GIẢNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Một nhà máy muốn sản xuất ra n loại sản phẩm từ m loại nguyên liệu. Biết: là lượng nguyên liệu loại i cần để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm loại j; là lượng nguyên liệu loại i hiện có của nhà máy; là tiền lãi từ việc bán một đơn vị sản phẩm loại j;

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP TUY HÒA

KHOA GIÁO DỤC ĐẠI CƯƠNG



-BÀI GIẢNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH(DÀNH CHO HỆ TÍN CHỈ)

CHƯƠNG I: BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

1.1 Bài toán quy hoạch tổng quát

x x x  f g h    i m j m là những hàm n biến

Tìm vectơ xx1, ,x ntsao cho

f x  (hoặc max) (1)với các điều kiện:

Bài toán (1)-(4) được kí hiệu là (P)

ràng buộc (constraint function ), tập các vectơ x X n thỏa mãn các ràng buộc (2),(3)

tối ưu.

bài toán quy hoạch tuyến tính (QHTT).

1.2 Một số ví dụ dẫn đến bài toán QHTT

1.2.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất

Một nhà máy muốn sản xuất ra n loại sản phẩm từ m loại nguyên liệu Biết:

(1 i m,1 j n)

Hãy xây dựng kế hoạch sản xuất cho nhà máy đem lại tổng lợi nhuận lớn nhất

Khi đó mô hình toán học của bài toán trên là:

1.2.2 Bài toán lập thực đơn

Lập bài toán:

1

n i b x ij

j x c

f x c x



và thỏa mãn điều kiện

1.2.3 Bài toán vận tải

1, , n

thu thì tổng số lượng các điểm phát ít nhất phải bằng hay lớn hơn tổng yếu cầu các điểm

chuyển sao cho các điểm thu đều nhận đủ hàng và chi phí vận chuyển là ít nhất

Xây dựng bài toán:

 

 

n ij j=1 m ij i=1 ij

1,1,

1.3 Bài toán QHTT tổng quát

1.3.1 Các dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài toán QHTT có ba dạng là dạng tổng quát, dạng chuẩn tắc và dạng chính tắc

1

2 1

( 1, , )( 1, , )( 1, , )

n

ij j i j

n

ij j i j

n

ij j i j

) , 1 (

1

n j

x

m i

b x

a

j j

i j

1.3.2 Biến đổi bài toán QHTT về dạng chuẩn hoặc dạng chính tắc

Mọi bài toán QHTT tổng quát có thể biến đổi một cách tương đương về bài toán dạngchuẩn tắc hoặc dạng chính tắc Do vậy, không mất tính tổng quát ta chỉ cần xem xét bàitoán dạng chuẩn tắc hoặc dạng chính tắc

Cách chuyển bài toán tổng quát về bài toán chính tắc:

a Đưa bài toán cực đại về bài toán cực tiểu

Vì max f x x D :    min f x x D :   nên bài toán max f x x D :   có thể thay

b Chuyển ràng buộc bất đẳng thức về ràng buộc đẳng thức

c Chuyển ràng buộc về dấu

 xj 0 xj x xj; j 0

đương với bài toán dạng chính tắc tìm xx x x x x x2, , , , ,3 4 5 6 7 sao cho

1.4 Một số khái niệm trong giải tích lồi

Định nghĩa Đoạn thẳng với 2 đầu mút a b  , n được kí hiệu và xác định như sau:

a b, : a1 b 0  1

Định nghĩa Tập hợp C   n được gọi là tập hợp lồi nếu lấy 2 điểm bất kì a b C,  thì

a b,  C

Định nghĩa Cho tập lồi C   n Điểm x C được gọi là điểm cực biên (đỉnh) của tập lồi

Định nghĩa Một tập hợp P   n được gọi là một tập lồi đa diện nếu nó là giao của một

số hữu hạn các nửa không gian Nói cách khác một tập lồi đa diện là tập nghiệm của một

Tập lồi đa diện bị chặn thì gọi là đa diện lồi.

1.5 Các tính chất của bài toán QHTT

Quy hoạch tuyến tính là một trong những lớp bài toán tối ưu quan trọng và được ứngdụng rộng rãi nhất trong thực tiễn Quy hoạch tuyến tính bắt nguồn từ những nghiên cứucủa nhà toán học người Nga Kantorovich L.V trong các công trình về bài toán kế hoạchhóa sản xuất

Công bố năm 1939 Năm 1947 nhà toán học người mỹ G Dantzig đã đưa ra phương phápđơn hình đã được chạy trên máy tính điện tử ở Mỹ Ngày nay có nhiều phần mềm dùng đểgiải quyết các bài toán quy hoạch tuyến tính như Maple, Matlab,…

Trong phần này chúng tôi chỉ trình bày một số tính chất cơ bản của bài toán QHTT để từ

đó chuẩn bị cơ sở cho việc trình bày phương pháp đơn hình ở bài sau

1.5.1 Bài toán QHTT dạng tổng quát

Ta có các tính chất sau:

a Tập các phương án của bài toán là một tập lồi đóng

b Tập các phương án tối ưu của bài toán là một tập lồi (có thể bằng rỗng)

c Nếu tập các phương án là bị chặn khác rỗng (tức nó là đa diện) thì bài toán có phương

Bài toán được viết lại như sau:

Tìm vectơ xx1, ,x ntsao cho

Định nghĩa Phương án cực biên là phương án mà là điểm cực biên.

Định lý Giả sử xx1, ,x n là phương án của bài toán (CP)

Đặt J J x  j1, 2, ,n x j 0 Khi đó x là một phương án cực biên khi và chỉ khi các

Ví dụ Cho bài toán QHTT dạng chính tắc với các điều kiện

1 2 3

1 2

40

Hướng dẫn Kiểm tra trực tiếp, ta thấy các vecto trên thỏa mãn điều kiện của bài toán nên

là các phương án của bài toán

Chú ý Nếu ma trận A có chứa ma trận đơn vị cấp k thì ta có ngay phương án cực biên x0

của bài toán

Từ định lý trên ta có các hệ quả sau:

Hệ quả Số các thành phần dương của một phương án cực biên tối đa là bằng m, trong

trường hợp số thành phần dương của phương án cực biên là m thì phương án cực biên đó

gọi là không suy biến, ngược lại là phương án cực biên suy biến.

Hệ quả Tập các phương án cực biên là hữu hạn (có thể bằng rỗng).

Ví dụ Tìm phương án cực biên không suy biến của bài toán QHTT với các ràng buộc sau

x  x 

95,2

x  x 

Kiểm tra như ví dụ trước, ta có cả hai phương án 0, ,5 ; 5, ,09 9

biên không suy biến

Định lý Nếu bài toán QHTT có phương án thì nó có phương án cực biên.

Định lý Bài toán QHTT (dạng tổng quát) dạng min có phương án tối ưu khi và chỉ khi

tập các phương án D khác rỗng và hàm mục tiêu bị chặn dưới trên D

Tóm lại: Đối với bài toán QHTT thì có các khả năng sau có thể xảy ra

TH1 Bài toán không có phương án

TH2 Bài toán có phương án nhưng hàm mục tiêu không bị chặn dưới (không có phương

Bài 2 Giả sử yêu cầu tối thiểu mỗi ngày về các chất dinh dưỡng đạm, đường, khoáng chomột loại gia súc tương ứng 90g, 130g, 10g Một người chăn nuôi cần mua 3 loại thức ăn

A, B, C biết rằng hàm lượng các chất dinh dưỡng trên có trong 1 g thức ăn A, B, C và giámua mỗi kg thức ăn mỗi loại được cho trong bảng sau:

Hãy lập mô hình toán học cho bài toán trên

110 tấn, 90 tấn Cho biết chi phí vận chuyển gạo (ngàn/ tấn) từ các kho đến các đại líđược cho trong bảng sau:

Hãy lập mô hình toán học cho bài toán trên

Bài 4 Tìm các phương án cực biên không suy biến của bài toán QHTT với các ràng buộcsau

Đại lí Chi phí

Kho

Phương pháp: Dantzig đề xuất một thuật toán như sau

nếu nó chưa phải là lời giải tối ưu thì tìm cách cải tiến nó để được một phương án cực

lần Vì số phương án cực biên là hữu hạn nên sau hữu hạn bước lặp ta được phương áncực biên tối ưu hoặc kết luận là bài toán không có lời giải

2.1 Cơ sở của phương pháp

Định nghĩa Ta gọi cơ sở của ma trận A là một bộ gồm m vectơ cột độc lập tuyến tính

x k J : các biến phi cơ sở.

Định lý (Điều kiện tối ưu)

Nếu    k 0, k 1,n thì x0 là phương án tối ưu

Định lý (Điều kiện để hàm mục tiêu không bị chặn dưới)

dưới trên tập các phương án Do đó, bài toán không có phương án tối ưu

Viết lại bằng kí hiệu:

Nếu: k J 0, k 0 mà z jk   0, j J0 thì f x    

Định lý (Cách chuyển sang phương án cực biên tốt hơn)

rk rk

2.2 Thuật toán đơn hình cơ sở

Bước 1 Kiểm tra điều kiện tối ưu

Bước 2 Kiểm tra hàm mục tiêu không bị chặn dưới

Nếu  k 0 :z jk   0, j J0 thì f x     Dừng thuật toán Kết luận bài toán vônghiệm

Khi điều kiện của bước 1 và bước 2 không thỏa mãn thì chuyển sang bước 3

Bước 3 Chuyển sang phương án cực biên tốt hơn

0 0

0min j , , 0

r

js

x x

 

 

0 0

0 1

0 0

,

r js j

Vì số phương án cực biên là hữu hạn nên thuật toán đơn hình sẽ dừng lại sau hữu hạnbước

Sơ đồ khối của thuật toán đơn hình

cóNghiệm

Vô NghiệmXét các cột với và

Xét các

không

Tìm

Tìm

2.3 Công thức chuyển cơ sở

1, 2 , , n

Đặt J1 J0\ r  s Khi đó

 

0 0

1 1

1 0

,

r js j

rs

j

r rs

rk rs jk

z

z

z z j J s z

2.4 Cách lập bảng đơn hình và chuyển bảng đơn hình

Thuật toán đơn hình thường được biểu diễn dưới dạng bảng Mỗi bước ứng với mộtphương án cực biên là một bảng đơn hình

A

0

r

x

1

r

z

rs

z

 0

f x 1 2 s n

tính các ước lượng ta tiến hành kiểm tra tính tối ưu, tính không bị chặn của hàm mục tiêu Nếu thỏa một trong hai tính trên thì thuật toán kết thúc, còn không ta xây dựng một

phương án cực biên mới ứng với bảng đơn hình mới Để xây dựng bảng đơn hình tiếp theo ta lần lượt làm các việc sau:

r

Từ bảng đơn hình này ta lập bảng đơn hình tiếp theo như sau:

phần tử xoay

(tương ứng vị trí của phần tử cần tìm trên hình chữ nhật)

với các điều kiện

12-1

-11

3

100

010

001

2/37/3-1/3

001

100

010

1/3-1/31/3

Vậy f đạt min tại x * 0,5 / 3,14 / 3,7 / 3,0 và f x * 1/ 3.

2.5 Tìm phương án cực biên xuất phát – Giải bài toán QHTT tổng quát

Thuật toán đơn hình cơ sở chỉ áp dụng giải bài toán QHTT dạng chính tắc khi đã có sẵn

cơ sở đơn vị và phương án cực biên xuất phát của nó Tuy nhiên không phải lúc nào tacũng gặp may như vậy Trong trường hợp đó, ta phải tìm cách đưa bài toán đã cho vềdạng có thể áp dụng thuật toán đơn hình cơ sở mà tìm ra phương án cực biên xuất phát.Một trong những cách đó là dùng biến giả sẽ được trình bày dưới đây thông qua thuậttoán đánh thuế

2.5.1 Thiết lập bài toán (M – lớn)

2.5.2 Mối liên hệ giữa bài toán gốc và bài toán M -lớn

Định lý (quan hệ giữa bài toán gốc và bài toán M -lớn)

 Bài toán (CP) có phương án tối ưu x khi và chỉ khi bài toán M -lớn có phương ántối ưu x,0.

Nhận xét.

1 Định lý trên cho phép ta đưa việc giải bài toán gốc (chưa biết phương ná cực biên xuất

thiết rằng M đủ lớn, lớn hơn mọi giá trị mà trong thuật toán cần phải so sánh với nó

2.5.3 Thuật toán đánh thuế

(ii) Áp dụng phương pháp đơn hình giải Khi giải so sánh các ước lượng

Ví dụ Giải bài toán QHTT sau:

2(z41)1(z81)4(z61)

2(z42)

4(z82)4(z62)

310

100

001

00-1

010

3/21/43

010

5/2

1/4-1

100

001

00-1

-1/21/4-1

3/51/1018/5

010

100

2/5-1/102/5

001

00-1

-1/53/10-6/5

Do đó fmin 68 / 5 tại x 0,7 / 5,12 / 5,0,12 / 5.

Bài tập chương II

động được tối đa tương ứng là 600kg ,800kg Định mức tiêu hao mỗi loại nguyên liệu đối với mỗi loại mặt hàng cũng như lãi 1 đơn vị hàng mặt hàng được cho trong bảng :

Bài 2 Bài toán pha trộn:

Một xí nghiệp luyện kim muốn sản xuất một loại hợp kim với 20% bạc , 30% đồng và 50% nhôm Học sử dụng các nguyên liệu: bạc, đồng nhôm Hợp kim A, hợp kim B, hợp kim C, hàm lượng bạc, đồng, nhôm trong các nguyên liệu trên cũng như giá một đơn vị khối lượng mỗi loại

( USD/kg ) được cho trong bảng dưới đây:

Hãy lập phương án pha trộn như thế nào để giá thành là nhỏ nhất ( xi là khối lượng của các chất và tỉ lệ các chất có trong các hợp kim).

Bài 3 Giải các bài toán QHTT sau

a Tìm vecto xx x x x1, , ,2 3 4 sao cho

x x x x

x x x x

x x x x x

CHƯƠNG III: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU

3.1 Bài toán đối ngẫu

Cho các bài toán QHTT:

Người ta gọi bài toán (P) là bài toán gốc và (D) là bài toán đối ngẫu của bài toán (P).

Qui tắc lập bài toán đối ngẫu:

i y b y

Ví dụ Viết bài toán đối ngẫu cho bài toán sau:

Tìm vectơ xx1, ,x5 sao cho

Bài toán đối ngẫu của bài toán (P) là:

Tìm vectơ y1, ,y3 sao cho

3.2.1 Định lý đối ngẫu yếu

Định lý Xét bài toán QHTT (P) và bài toán đối ngẫu (D) của nó

3.2.2 Định lý đối ngẫu mạnh

Định lý Cho bài toán gốc (P) và bài toán đối ngẫu (D) của nó Khi đó, nếu bài toán này

có phương án tối ưu thì bài toán kia cũng có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của chúngbằng nhau

Nhận xét Từ hai định lý đối ngẫu, ta có một trong các trường hợp sau xảy ra liên quan

đến cặp bài toán đối ngẫu:

a Cả hai bài toán đều không có phương án

b Cả hai cùng có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của chúng bằng nhau

c Một bài toán không có phương án, còn bài toán kia có hàm mục tiêu không bị chặndưới

Ý nghĩa của định lý Nếu biết được phương án tối ưu của bài toán này thì ta có thể xác

định phương án tối ưu của bai toán còn lại bằng cách giải hệ phương trình (3.1)

bài toán đối ngẫu

Bài giải:

Theo định lý độ lệch bù ta có

Vậy y   5,1,1 là phương án tối ưu của bài đối ngẫu.

Bài tập chương III

Bài 1 Viết bài toán đối ngẫu của bài toán sau:

Sau đó lập bài toán đối ngẫu và suy ra nghiệm tối ưu của nó

Bài 3 Giải bài toán QHTT sau:

CHƯƠNG IV: BÀI TOÁN VẬN TẢI ( Transportation problem )

Trong toán học, Bài toán vận tải (tiếng Anh: transportation problem) là một dạng của bài

Biểu diễn đồ thị của bài toán vận tải

4.1 Thiết lập bài toán vận tải

nhất và đảm bảo các kho phát hết hàng, các cửa hàng đều nhận đủ hàng

Xây dựng bài toán:

Để một phương án là chấp nhận cho bài toán vận tải, các giá trị x ijphải thoả mãn các điềukiện ràng buộc đối với các điểm phát là:

 

n ij j=1

1,1,

vận tải trên luôn có phương án tối ưu)

* Chú ý: Trong chương này ta chỉ xét bài toán vận tải cân bằng thu phát.

Như vậy bài toán vận tải là một bài toán QHTT nên cũng có thể giải bằng phương pháp

phương trình, vì vậy người ta đưa ra thuật toán giải bài toán vận tải hiệu quả hơn Nó xuấtphát từ việc chọn phương án đầu tiên rồi cải tiến dần cho đến khi đạt tối ưu.

4.2 Lập bảng vận tải

Bảng vận tải cho bài toán trên gồm có m 1dòng và n 1 cột Cột đầu tiên có ghi tên m

4.3 Các tính chất của bài toán vận tải

Định nghĩa Ô  ,i j có x  ij 0 được gọi là ô chọn, nghĩa là ô mà tương ứng nơi phát i

i

Ô chọn đặc trưng cho tuyến đường có vận tải qua

Chú ý 4.2: Trên bảng các ô chọn có ghi giá trị chọn x ij ở góc dưới bên phải, nếu là ô loạithì ở vị trí này không ghi gì cả

Ví dụ: ta có bảng sau (kí hiệu x là ô chọn)

xVới hình trên ta giả sử ô có chữ x là các ô chọn, thì ta có 5 ô chọn, các ô đó là ô ( 1,2) , ô(1,4), ô (2,4), ô (2,5) , ô ( 3,5 ), những ô còn lại là ô loại

Định nghĩa Một tập hợp sắp thứ tự các ô chọn của bảng tạo thành một vòng nếu nó thoả

các điều kiện sau:

Ví dụ.

B j i

Dãy các ô: (1,2), (1,4), (2,4), (2,1), (3,1), (3,2) tạo thành một vòng.

Có 3 dạng vòng:

xx

Định nghĩa Một phương án mà các ô chọn không tạo thành 1 vòng gọi là phương án cực

biên Định nghĩa Một phương án cơ bản có đủ m n  1ô chọn gọi là không suy biến, nếu

xx

x

x

(Khái niệm phương án cực biên đã có ở bài toán qui hoạch tuyến tính, mà bài toán vận tải cũng là một bài toán qui hoạch tuyến tính nên cũng có phương án cực biên của nó, trong bài toán quy họach tuyến tính như đã biết trước khi giải ta phải có ở dạng chính tắc và ma trận A phải có ma trận đơn vị chỉ để bảo đảm có m cột độc lập tuyến tính, thực chất chỉ cần ma trận A có m cột độc lập tuyến tính là đủ không cần phải là ma trận đơn vị, nhưng điều này khó nhận ra, cũng vì vậy với bài toán vận tải người ta chứng minh rằng chỉ cần

n

j j i n

j i n

j

a

b a a

b a

1

và

j i

m

i i j m

j i m

i

a

a b a

b a

1

1 1 0

dưới, do đó có phương án tối ưu

4.4 Lập phương án cực biên ban đầu

Ta có nhiều cách lập phương án cực biên ban đầu: Phương pháp góc tây bắc, phươngpháp cực tiểu cước phí theo hàng cụ thể như sau:

vào ô ở dòng 1 cột này là số ‘0’ coi như trạm phát này hết khả năng phát Ghi thêm 1

dòng phía bên trên bảng, ghi vào ô đầu tiên của dòng này là ‘0’ coi như nơi nhận này hếtnhu cầu Ghi thêm 1 cột ở phía bên trái bảng, tại ô đầu tiên của cột này ta ghi khả năng

Mỗi lần phân phối như vậy ta lại xoá đi được một dòng ( hoặc một cột) của bảng nên sau

Ví dụ Xây dựng phương án vận tải cho bài toán vận tải theo phương pháp góc tây bắc với

số liệu cho theo bảng sau:

05

Ta thực hiện theo phương pháp góc tây bắc như sau:

(vẽ thêm cột bên trái, dòng phía trên ghi lượng hàng còn lại để dễ theo dõi)

- Tiếp theo phân vào ô (3,2) 5 , xoá cột 2, A3 còn 30

- Sau cùng phân vào ô (3,3) 30 kết thúc

4.4.2 Phương pháp cực tiểu cước phí

Theo phương pháp này ta ưu tiên phân phối lượng hàng tối đa vào ô có cước phí nhỏ nhất

lại ít hơn Cứ thế tiếp tục cho tới khi phân phối hết lượng hàng Các ô chọn tìm được sẽ

Ví dụ Tìm cách phân phối cho bảng sau: