Bất đẳng thức 10
**********************************
Biến đổi tơng đơng,đánh giá
Bài 1: CMR a2 +a+1+ a2 −a+1≥2 ∀a
Bài 2: CMR x2 +xy+ y2 + y2 + yz+z2 + z2 +zx+x2 ≥ 3(x+ y+z) ∀ x,y,z Bài 3: CMR (x-2)(x-4)( x-6)(x-8) + 16 ≥ 0 ∀x
Bài 4: Cho a,b,c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 1 CMR
abc + 2( 1 + a + b + c + ab + bc + ca) ≥ 0 Bài 5: Cho a,b,c > 0 CMR
1) Nếu ab ≥ 1 thì
ab b
2 1
1 1
1
2
2) Nếu a,b,c ≥ 1 thì
abc c
b
3 1
1 1
1 1
1
3 3
Bài 6: Cho a,b,c thoả mãn
b c a
2 1 1
=
2
−
+ +
−
+
b c
b c b a
b a
Bài 7: Cho a+b ≥ 0 CMR
3 3
3
2
+
≥ +b a b a
Bài 8: Cho a,b,c > 0 CMR
3
2 2
3 2
2
3 2
2
a ca c
c c
bc b
b b
ab a
+ +
+ + +
+ +
Bài 9: CMR 1+t + 1−t ≥1+ 1−t2 ≥2−t2 ∀t∈[ ]0,1 .
Bài 10: CMR a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a( b + c + d + e ) ∀a,b,c,d,e
a2 + b2 + c2 + d2 ≥ a( b + c + d) ∀a,b,c,d
Bất đẳng thức Côsi
Bài 1: Cho a,b,c > 0 CMR
1) a4 + b4 + c4 ≥ ab3 + bc3 +ca3 ; 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2
a
b b
a
+
≥ +
3)
3 3 3 3 5
2 5
2 5
2 5
d c b a a
d d
c c
b b
4)
a
c c
b b
a a
c c
b b
a
+ +
≥ +
+ 33 33
3 3
B i 2: Cho x , y,z > 0 thỏa mãn xyz = 1 CMR à
2
1 2
1 2
1
N n z
y
+ +
+ +
+
Trang 2Bài 3: Cho x,y,z > 0 thoả mãn x + y + z = 1.
+
x
1 1
+
y
1
+
b) Tìm GTNN của : A =
+
x
3 2
+
y
3
+
z
3
Bài 4: Cho a,b,c,m,n,p > 0 CMR:
a) (1+a) (1+b) ( ) ( 3 )3
1
1+c ≥ + abc b)3 (a+m)(b+n)(c+ p) ≥3 abc +3 mnp
Bài 5: Cho a,b,c > 0 CMR:
a)
2
3
≥ +
+ +
+
c a c
b
c
b
3
2 2
+
+ +
+
ab a
c b
ca c
b a
bc
Bất đẳng thức BunhiacốpSki
Bài 1: Cho a,b,c > 0 CMR:
c b a c b a c
b
+ + +
+ b) 3(a3 +b3 +c3)≥(a+b+c) (a2 +b2 +c2)
c) 9(a3 +b3 +c3)≥(a+b+c)3
Bài 2 : Cho a,b,c ≥
4
1
− thoả mãn a+b+c = 1 CMR:
7 < 4a+1+ 4b+1+ 4c+1≤ 21
Bài 3 : CMR :
a) xy≤ x y−1+ y x−1 với x,y ≥ 1
b) ab ≥ c(a−c) + c(b−c) với 0 < c≤a,b
Bài 4 : Cho a,b,c > 0 CMR:
a) ( a + b )4 ≤8(a4 + b4) ; a2 +b2 + c2 +d2 ≥ (a+c) (2 + b+d)2
b)
17
98
2 2
ca
c a bc
b c ab
a
Bài 5: Cho x,y > 0 Tìm GTNN:
a) A =
y
1
4+ với x + y = 1 b) B = x + y với 2+ 3 =6
y
c) C = x+ 4 x− 2 d) D = 2 +11
+
x x
Bất đẳng thức về trị tuyệt đối:
Bài 1: Cho x + y + z =10 CMR: x−1+ y−2 + z−3 ≥4
Bài 2: CMR :2(1+a2)(1+b2)≥(a+b + a−b)(1+ab +1−ab)
Bài tập thêm :
Bài 1: Cho a,b,c > 0 thoả mãn a + b = c CMR
Trang 3a43 +b43 >c43
Bµi 2: CMR 3 a+3 a2 ≤1+a∀a≥−1
Bµi 3: T×m GTNN cña biÓu thøc:
a) A = 2 12
x
x+ víi x > 0 ; B = 3 12
x
x+ víi x > 0 ; C =
( 2)2
2
1
1
x
x
+
2
2 2
z
z y
y x
x + + + + + biÕt r»ng x,y,z > 0 vµ x + y + z ≤ 1
Bµi 4: Cho x,y > 0 tho¶ m·n x2 + y3 ≥ x3 + y4 CMR x3 + y3 ≤ x2 +y2 ≤ x+ y≤2 Bµi 5:Cho x,y,z > 0 tho¶ m·n xyz( x + y + z) = 1.T×m GTNN P = (x+y)(x+z)
Bµi 6: Cho a,b,c > 0.CMR:
a)
b a
c a
c
b c
b
a a
c
c c b
b
b
a
a
+
+ +
+ +
<
<
+
+ +
+
b) (a + 1) (b + 1) (a + c) (b + c) ≥ 16abc
b
a c a
c b c
b a ab
c ca
b
bc
2 2
2
2 2 2 2 2 2 3 3
3
Bµi 7: Cho a,b,c ∈[-1,1] tho¶ m·n a + b + c = 0.T×m GTLN,GTNN cña P = a2 + b4 + c6
Bµi 8: Cho a,b,c > 0 tho¶ m·n a+b+c = 1.T×m GTNN P =
b a
c a c
b c b
a
+
+ +
+ +
2 2
2
Bµi 9: CMR:
a) 1+x+x2 + 1+y+ y2 ≥ x2 +xy+ y2
+
≥ + + + +
+
2 3 1
y y x
x
c) 2(1+a2)(1+b2)≥(a+b + a−b)(1+ab +1−ab)
Bµi 10: CMR: 3a2 − 4 +34a+ 8 ≥2∀a
Bµi tËp cñng cè :
1) CMR : víi a,b,c > 0 bÊt k× ta cã :
a)
2
c b a a c
ca c b
bc b
a
+
+ +
+
+
b
ca a
bc
c
c) 32 2 23 2 32 2 12 12 12
z y x x z
z z
y
y y
x
+
+ + + +