Đề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn ToánĐề thi thử đại học môn Toán
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN 3 - NĂM 2014
Môn: TOÁN; Khối: B và D; Thời gian làm bài: 180 phút
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 1 4 2
4
y x m x m có đồ thị (C m), với m là tham số thực
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m 1
b) Cho 0; 5
2
I
Tìm m để ( C m)có điểm cực đại là A, hai điểm cực tiểu là B và C sao cho tứ giác ABIC là hình thoi
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình sin 4x2sin3xsinx 3 cos cos2 x x
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
( , )
x y
Câu 4 (1,0 điểm) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đường
1
x
và x xung quanh trục hoành 1
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp đều S.ABC có SA6 ,a AB3 a Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho
1
2
MS MC Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a và cosin của góc giữa hai đường thẳng SB và AM Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x2y2(3x2)(y1)0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Px2y2 x y8 4 x y
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc phần b)
a Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn , ( ) : (C x2)2(y1)2 và đường 5 thẳng d x: 3y 9 0. Từ điểm M thuộc d kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với (C) lần lượt tại A và B Tìm tọa độ điểm M sao cho độ dài AB nhỏ nhất
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng , : 1
và
x y z
Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc d, cắt tại hai điểm A, B sao cho IAB là tam giác vuông và AB 2 11
Câu 9.a (1,0 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho trong mỗi số đều
có mặt các chữ số 8 và 9?
b Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy viết phương trình chính tắc của elip (E) có tâm sai , bằng 3,
5 biết diện tích của tứ giác tạo bởi các tiêu điểm và các đỉnh trên trục bé của (E) bằng 24
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm (2; 0; 2),, A B(3; 1; 4), C( 2; 2; 0).
Tìm điểm D trong mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1
Câu 9.b (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn z2i 2 3 và 3i z có một acgumen bằng
3
- Hết -
Ghi chú: 1 BTC sẽ trả bài vào các ngày 17, 18/5/2014 Để nhận được bài thi, thí sinh phải nộp lại phiếu dự thi cho BTC
2 Kỳ khảo sát chất lượng lần cuối năm 2014 sẽ được tổ chức cho khối A và khối B vào chiều ngày 14
và ngày 15/6/2014 Đăng ký dự thi tại Văn phòng Trường THPT Chuyên từ ngày 17/5/2014
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN 3 - NĂM 2014
Môn: TOÁN – Khối B, D; Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1
(2,0
điểm)
a) (1,0 điểm)
Khi m hàm số trở thành 1 1 4 2 2 3
4
y x x a) Tập xác định: D ;y là hàm số chẵn
b) Sự biến thiên:
* Giới hạn tại vô cực: Ta có lim
x y
x y
* Chiều biến thiên: Ta có y'x34 ;x
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2; 0 , 2; nghịch biến trên mỗi khoảng ;
; 2 , 0; 2
* Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x0,y CĐ 3, hàm số đạt cực tiểu tại x 2,y CT 1
0,5
* Bảng biến thiên:
c) Đồ thị: Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng
0,5
b) (1,0 điểm)
Ta có 3
y x m x với mọi x (C m) có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu y'0 có 3 nghiệm phân biệt
2(m1)0m 1 (1) Khi đó 3 nghiệm phân biệt của y ' 0 là x0,x 2(m1) và x 2(m1)
Điểm cực đại của (C m) là A(0; 2m 1), hai điểm cực tiểu là
2( 1);
0,5
Nhận thấy rằng AI vuông góc với BC tại H0;m2 và H là trung điểm của BC Do đó tứ giác
ABIC là hình thoi khi và chỉ khi H là trung điểm của AI Hay là
2
H A I
H A I
hoặc 3
2
m
Đối chiếu điều kiện (1) ta được giá trị của m là 1
2
m
0,5
Câu 2
(1,0
điểm)
Phương trình đã cho tương đương với
2sin 2 cos 2x xsin (2sinx 2x1) 3 cos cos 2x x 0 cos 2 (2sin 2x x sinx 3 cos )x 0
x x k k
0,5
x
'
y
y
2
3
1
–
0
+
1
x
O
y
2
1
3
2
Trang 3*) 2sin 2 sin 3 cos 0 sin 2 1sin 3cos sin 2 sin
Vậy nghiệm của phương trình là ,
x k
0,5
Câu 3
(1,0
điểm)
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với (x1)3 x 1 (2 )y 32 y (1)
Xét hàm số 3
( )
f t t với t t
Ta có f t'( )3t21; f t'( ) với mọi 0 t Do đó hàm ( ) f t đồng biến trên Khi đó
phương trình (1) f x( 1) f(2 )y x 1 2yx2y1
0,5
Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được
y42y33y22y 3 0
2
2
1
3
2
Suy ra nghiệm (x; y) của hệ là 5;1 5
2
và 5; 1 5
2
0,5
Câu 4
(1,0
điểm)
Thể tích khối tròn xoay là
1
2 0
d
x V
x
Đặt t 4 3 , x ta có khi x thì 0 t 2, khi x thì 1 t và 1
2 4 3
t
x nên d 2 d
3
t
x t
0,5
Khi đó ta có
t
2
1
0,5
Câu 5
(1,0
điểm)
Gọi O là tâm tam giác đều ABC; P là trung điểm AB
Từ giả thiết suy ra ( ), 2
3
SO ABC CO CP (O thuộc đoạn CP)
2
ABC
.
S ABC ABC
0,5
Kẻ MN // SB (N thuộc đoạn BC, 1 )
2
NB NC Suy ra cos(SB AM, )cos(MN AM, ) cosAMN . (1)
3
MN SB a Áp dụng định lý cosin cho các tam giác ANC, SAC, SAM ta có
8
AN a ASC AM a
AMN
MA MN
Từ (1) và (2) ta suy ra cos( , ) 7 19
38
SB AM
0,5
S
B
M
N
P
O
Trang 4Câu 6
(1,0
điểm)
Ta có giả thiết x y (3x2)(y1)0(xy) 3(xy)2 xyy
Vì x, y không âm nên xyy0 Suy ra 2
(xy) 3(xy)20 1 xy2
Đặt txy, khi đó t [1; 2]
Px y x y x y xy xy xy
2
8 4
0,5
Xét hàm số f t( )t2 t 8 4 với t t [1; 2]
Ta có '( ) 2 1 4
4
f t t
t
, với mọi t [1; 2] Chú ý rằng
4
2
f t với mọi t (1; 2)
Suy ra f t đồng biến trên [1; 2] Do đó ( )
[1; 2]
max ( )f t f(2) 6 8 2 Suy ra P 6 8 2, dấu
đẳng thức xảy ra khi 0 2, 0
2
xy
t
Vậy giá trị lớn nhất của P là 6 8 2, đạt khi
2, 0
x y
0,5
Câu
7.a
(1,0
điểm)
(C) có tâm (2; 1), I bán kính R 5, ( , )d I d 10R nên d không cắt (C)
(3 9; )
MdM m m
Từ tính chất tiếp tuyến ta có MI AB tại H là trung điểm AB
Trong tam giác vuông AIM ta có 1 2 12 1 2
AH AI AM
0,5
Ta có AB nhỏ nhất AH nhỏ nhất IM nhỏ nhất (R 5 không đổi)
Mà IM2 (3m7)2(m1)2 10(m2)210 10 nên suy ra IMmin 10 khi m 2
Suy ra M(3;2)
0,5
Câu
8.a
(1,0
điểm)
IAB
có IAIB nên vuông tại I Suy ra 1 11
2
IH AB (H
là hình chiếu của I lên AB)
Suy ra d I ( , ) 11 (1) Khi đó bán kính mặt cầu RIH 2 22
0,5
(2 ; ; 2 1); (1; 1; 2)
IdI t t t u
và M(0; 1; 2) MI(2 ;t t 1; 2t1)
6
d I
u
Từ (1) và (2) 2
(2; 1; 1) 1
; ;
29 29 29 29
I t
I t
Suy ra pt mặt cầu (x2)2(y1)2(z1)222 và
22
0,5
Câu
9.a
(1,0
điểm)
Giả sử số cần lập là abcd d , {0, 2, 4, 6, 8} Xét các trường hợp sau
* d 0. Số cách lập abc trong đó có các chữ số 8 và 9 là C17.3!42 0,5
* d 8. Số cách lập abc trong đó có chữ số 9 là 2 1
8.3! 7.2! 154
* d {2, 4, 6} Số cách lập abc trong đó có các chữ số 8 và 9 là 1
7
3 C 3! 2 120
Vậy số các số lập được là 42 154 120 316
0,5
d
M
A
I
B
H
R
d
B
H
R
A
I
Trang 5Câu
7.b
(1,0
điểm)
Phương trình chính tắc (E) có dạng x2 y2 1 (a b 0)
a b
Gọi F1(c; 0),F c2( ; 0) là các tiêu điểm với c a2b2,
và B1(0;b B), 2(0; )b là các đỉnh trên trục bé
1 1 2 2
F B F B
là hình thoi
Suy ra
1 1 2 2 1 2 1 2
F B F B
S F F B B c b bc bc12b c2 2 144b a2( 2b2)144 (1)
0,5
5
c
a
4
a b (2)
Từ (1) và (2) suy ra 5
4
a b
Suy ra
25 16
0,5
Câu
8.b
(1,0
điểm)
0 0
D Oyz D y z , điều kiện z 0 0
Phương trình (Oxy) :z0d D Oxy , ( ) z0 z01 Suy ra z0 1 D(0; y0; 1). 0,5
Ta có AB(1; 1; 2), AC ( 4; 2; 2),AD ( 2; y0; 1)
Suy ra AB AC, (2; 6; 2) AB AC AD, 6y06
0 0
0
3 1
1
6
ABCD
y
y
Suy ra D(0; 3; 1) hoặc D(0; 1; 1).
0,5
Câu
9.b
(1,0
điểm)
Đặt zrcosisin,r0
Suy ra z rcos()isin() Khi đó 3 2 cos sin
r r
0,5
Suy ra z2i 2 3 3 2 2 3
i
2 2
2 3
Vậy z 3 i
0,5
x
y
c
b
1
2
B
1
B
O