HÃY CHO ĐI MỘT NỮA

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm tạo thành một hình bình hành là : .Bài 5: Cho hình hộp có và lần lượt là trung điểm các cạnh và.. Chứng minh rằng các vectơ đồng phẳng.CHỦ

HÃY CHO ĐI MỘT NỮA BẠN SẼ NHẬN LẠI GẤP ĐÔI

CHỦ ĐỀ: VECTƠ TRONG KHÔNG GIANA) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:

1) Chứng minh đẳng thức vectơ:

a) Sử dụng qui tắc ba điểm, qui tắc hình bình hành, qui tắc hình hộp để biến đổi vế này thành

vế kia và ngược lại

b) Sử dụng các tính chất của phép toán về vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho.2) Chứng minh ba vectơ đồng phẳng

a) Dựa vào định nghĩa: Chứng tỏ các vectơ có giá song song với một mặt phẳng

b) Ba vectơ đồng phẳng có cặp số duy nhất sao cho trong đó

và là hai vectơ không cùng phương

B) Bài tập:

1) Chứng minh đẳng thức vectơ:

Bài 1: Cho hình hộp Chứng minh rằng

Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật Chứng minh rằng:

.Bài 3: Cho hình lập phương cạnh Gọi và theo thứ tự là tâm của hai hình

a) Hãy biểu diễn các vectơ theo các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương đã cho

Bài 4: Trong không gian cho điểm và bốn điểm phân biệt và không thẳng hàng

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm tạo thành một hình bình hành là :

.Bài 5: Cho hình hộp có và lần lượt là trung điểm các cạnh và Gọi

lần lượt là tâm đối xứng của các hình bình hành

Bài 2: Cho hình hộp Gọi là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành

và là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành Chứng minh rằng ba vectơ

đồng phẳng

Bài 3: Cho tứ diện Gọi và lần lượt là trung điểm của các cạnh và Trên các cạnh và ta lần lượt lấy các điểm sao cho: Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng

1

Bài 4: Trong không gian cho hai hình bình hành và chỉ có chung nhau một điểm Chứng minh rằng các vectơ đồng phẳng.

CHỦ ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG

GIAN VÀ ỨNG DỤNGA) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:

1) Ứng dụng của tích vô hướng:

a) Muốn tính độ dài của đoạn thẳng hoặc tính khoảng cách giữa hai điểm và ta dựa

b) Tính góc giữa hai vectơ và ta dựa vào công thức: c) Chứng minh hai đường thẳng và vuông góc với nhau ta cần chứng minh

.2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau:

- Cần khai thác các tính chất về quan hệ vuông góc đã biết trong hình học phẳng

- Sử dụng trực tiếp định nghĩa góc của hai đường thẳng trong không gian

- Muốn chứng minh hai đường thẳng và vuông góc với nhau ta có thể chứng minh

.3) Dùng tích vô hướng để tính góc của hai đường thẳng trong không gian:

Muốn tính góc ta có thể sử dụng công thức : , và từ đó suy ra

Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức vec tơ:

Phương pháp chung: Sử dụng các quy tắc đã biết:

1 Quy tắc trung điểm: Với điểm M tùy ý và điểm I là trung điểm của AB ta luôn có:

2 Quy tắc ba điểm:

2.1 AB AC CBuuur uuur uuur= + ( xen điểm C )

2.2 AC AB BCuuur uuur uuur− = ( hiệu hai vec tơ cùng gốc )

3 Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD luôn có: uuur uuur uuurAC=AB AD+

4 Quy tắc trọng tâm tam giác: Với điểm M tùy ý và điểm G là trọng tâm của ABC∆ ta luôn có:

0

GA GB GCuuur uuur uuur r+ + = và MA MB MCuuur uuur uuuur+ + =3.MGuuuur

5 Quy tắc đường chéo hình hộp: Cho hình hộp ABCD A B C D Ta luôn có: ' ' ' ' uuuur uuuur uuur uuurAC'=AA'+AB AD+

Dạng 2: Chứng minh 3 vec tơ đồng phẳng:

Bài 1: Cho hình lập phương cạnh Gọi là tâm của hình vuông và là

giữa hai điểm và theo

Bài 2: Trong không gian cho hai vectơ và tạo với nhau một góc Hãy tìm và

Bài 3: Cho tứ diện có hai mặt và là hai tam giác đều

a) Chứng minh rằng và vuông góc với nhau

b) Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh Chứng minh rằng tứ giác là hình chữ nhật

Bài 4: Cho tứ diện Gọi là trọng tâm của tam giác Chứng minh rằng

2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau:

Bài 1: Cho hai vectơ và đều khác vectơ Chứng minh rằng và là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi

Bài 2: Cho tứ diện đều cạnh Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng

Bài 3: Cho hình lập phương có cạnh bằng Trên cách cạnh và ta lần lượt lấy các điểm và sao cho với Chứng minh rằng hai đường thẳng và vuông góc với nhau

Bài 4: Cho tứ giác Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và

có Chứng minh rằng

Bài 5: Cho tứ diện Trong đó Gọi và lần lượt là trung điểm của

và Chứng minh rằng và vuông góc với nhau

3) Dùng tích vô hướng tính góc của hai đường thẳng trong không gian:

Bài 1: Cho hình lập phương

a) Tính góc giữa hai đường thẳng và b) Chứng minh

Bài 2: Cho tứ diện đều cạnh Tính góc giữa hai đường thẳng và

góc giữa hai vectơ và

hai đường thẳng và

Bài 5: Cho hình hộp có tất cả các cạnh đều bằng nhau (hình hộp như vậy được gọi

là hình hộp thoi) Chứng minh

Bài 6: Cho hình hộp thoi có tất cả các cạnh bằng và

Chứng minh tứ giác là hình vuông

Bài tập:

3

Bài 1: Cho hình hộp ABCD A B C D Chứng minh rằng: ' ' ' '

a) uuuur uuuur uuur uuurAC' =CC'−CB CD−

b) Đường chéo AC cắt các ' ∆CB D' ' và ∆A BD' lần lượt tại trọng tâm G của 1 ∆CAC' ', trọng tâm

a) 2.MN AD BC AC BDuuuur uuur uuur uuur uuur= + = +

b) GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r+ + + =0

c) Với mọi I: 4.IG IA IB IC IDuur uur uur uur uur= + + +

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD

a) Nếu đáy ABCD là hình bình hành, chứng minh: SB SD SA SCuur uuur uur uuur+ = +

b) Nếu đáy ABCD là hình chữ nhật, chứng minh: SB2+SD2 =SA2+SC2

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại I Chứng minh ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi SA SB SC SDuur uur uuur uuur+ + + =4.SIuur

Bài 5: Cho tứ diện ABCD Chứng minh điều kiện cần và đủ để điểm G là trọng tâm ABC∆ là:

GD GA GD GB GD GCuuur uuur uuur uuur uuur uuur+ + =

Bài 6: Cho tứ diện ABCD

a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD Chứng minh: BC IJ ADuuur uur uuur, , đồng phẳng.b) Lấy hai điểm M, N thỏa uuuurAM =3.MDuuuur và uuurBN =3.uuurNC Chứng minh uuur uuuur uuurAB MN DC, , đồng phẳng

Bài 7: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD Lấy điểm M∈AD

và điểm N BC∈ sao cho MA k MDuuur= .uuuur và NB k NC kuuur= uuur( ≠1) Chúng minh bốn điểm I, J, M, N đồng phẳng

Bài 8: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD Trên cạnh AC và BD lấy hai điểm M và N sao cho: AM BN k

AC = BD = Chứng minh: uuur uur uurIM IN IJ, , đồng phẳng

Bài 9: Cho hình hộp ABCD A B C D Gọi ' ' ' ' P Q Q R lần lượt là tâm các hình bình hành ', , ,' '

a) PP QQuuur uuuur uuur r'+ '+RR'=0

b) Hai tam giác ' ' '

a) Chứng minh ba vec tơ FK EH BCuuur uuur uuur, , đồng phẳng

b) Gọi I, J, L lần lượt là trung điểm của FK, EH, BC chứng minh AIJL là hình bình hành

c) Chứng minh CH LJ BEuuur uur uuur, , đồng phẳng

Bài 11: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' '

a) Chứng minh BD⊥ AC'

b) Tính góc hợp bởi AC và '

DA Bài 12: Trong không gian cho hai đoạn thẳng AC và BD chéo nhau sao cho: AB⊥AC và BA BD⊥ Gọi O là trung điểm của AB và I là trung điểm của CD Chứng minh:

a) uuur uur uuurAC OI BD, , đồng phẳng.

d

2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng bằng trục đường tròn:

Cơ sở của phương pháp là vận dụng định nghĩa trục đường tròn: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của nó bằng hai bước cơ bản sau đây:

• B1: Tìm một điểm ở đỉnh cách đều các đỉnh đa

điểm ở cách đều các đỉnh đa giác

• B2: Nối hai điểm đó thành trục của đường tròn Nó là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa được đường tròn

Bài 5: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật và Gọi là đường cao của các tam giác và tam giác Chứng minh

Bài 6: Cho tứ diện có là trực tâm các tam giác và Giả sử rằng

Chứng minh và đồng qui

5

Bài 7: Cho tứ diện có Gọi và lần lượt là trực tâm các tam giác và Chứng minh:

a) đồng qui

2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng bằng trục đường tròn.

Bài 1: Cho hình vuông cạnh Vẽ cùng về một phía các đoạn vuông góc

Gọi là trung điểm Chứng minh rằng:

a) Tam giác vuông

b)Bài 3: Cho hình chóp đáy là hình thoi có và Chứng minh rằng Với là trọng tâm tam giác

Bài 4: Cho hình chóp có và Gọi là trung điểm Chứng

• B2: Chứng minh

α

a d

2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau bằng định lý ba đường vuông góc

Cơ sở của phương pháp là vận dụng định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng nằm trong mặt phẳng

và là đường thẳng không thuộc đồng thời không vuông góc với Gọi là hình chiếu vuông góc của trên Khi đó vuông góc với khi và chỉ khi vuông góc với Do đó phương pháp gồm 2 bước thực hành:

• B1: Xác định đường vuông góc với mặt phẳng

từ đó tìm đường xiên d và hình chiếu d’

• B2: Đường thẳng a là đường thẳng thuộc mặt

α

d d' a

phẳng

 Nếu

 Nếu

Vấn đề 1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

• Cách chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp(α ):

Cách 1: Ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (α )

Cách 2: Ta chứng minh d song song với một đường thẳng d’ vuông góc với (α ).

• Cách chứng minh đường thẳng a và b vuông góc:

Cách 4: Ta chứng minh a vuông góc với một mp(α) chứa đường thẳng b.

• Kết quả: + Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mp thì song song + Nếu hai mp phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song

Phương pháp: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

Phương pháp chung: Dùng một trong các phương pháp sau:

1) Chứng minh a⊥b và a⊥c với b, c là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong ( )α , suy ra

OA OA

αβ

Bài 1: Cho tứ diện có và Chứng minh

Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình thoi và Chứng minh

Bài 3: Chứng minh rằng hai cạnh đối bất kì của tứ diện đều thì vuông góc với nhau

Bài 4: Cho tứ diện có và Gọi là đường cao tam giác Chứng minh tam giác vuông

Bài 5: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng và

Gọi là đường cao của tam giác

a) Chứng minh tam giác vuông

b) Tính diện tích tam giác Bài 6: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và Gọi là trực tâm của tam giác

7

a) Chứng minh b) Tớnh diện tớch tam giỏc Bài 7: Cho tứ diện cú ba cạnh đụi một vuụng gúc với nhau Kẻ

vuụng gúc với mặt phẳng tại Chứng minh:

2) Chứng minh hai đường thẳng vuụng gúc bằng định lý ba đường vuụng gúc.

Bài 1: Cho hỡnh chúp cú và là hỡnh chữ nhật Chứng minh bốn mặt bờn đều là những tam giỏc vuụng

Bài 2: Tứ diện cú và Gọi là hỡnh chiếu của xuống Chứng minh rằng là trực tõm tam giỏc và

Bài 3: Cho là hai đường thẳng vuụng gúc với mặt phẳng chữ nhật Một mặt phẳng qua cắt tại và Chứng minh rằng là hỡnh chữ nhật

Bài 4: Trong hỡnh chúp đỏy là hỡnh chữ nhật Gọi là đường cao hỡnh chúp và thứ tự là đường cao cỏc tam giỏc và Chứng minh thẳng hàng

Bài 5: Cho tứ diện cú là tam giỏc đều cạnh , cỏc mặt và hợp với cỏc gúc bằng nhau và bằng

a) Chứng minh rằng : Hỡnh chiếu của lờn là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc

b) Tớnh tổng diện tớch 4 mặt bờn của tứ diện

Vấn đề 1: Chứng minh đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng , với mặt phẳng

1 Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông ở B.

a Chứng minh BC ⊥ (SAB)

b Gọi AH là đờng cao của ∆SAB Chứng minh: AH ⊥ (SBC)

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, BC

a Chứng minh rằng: CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC)

b Chứng minh: SC ⊥ (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK)

c Chứng minh: HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥ AI

4 Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều, gọi I là trung điểm BC

a Chứng minh: BC ⊥ (AID)

b Vẽ đờng cao AH của tam giác AID Chứng minh: AH ⊥ (BCD)

5 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là điểm thuộc

mp(ABC) sao cho OH ⊥ (ABC) Chứng minh rằng:

a BC ⊥ (OAH)

b H là trực tâm của ∆ABC

c 1 2 12 12 12

OC OB

OA

6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a 2 Gọi H, K lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AD.

a Chứng minh: SH ⊥ (ABCD) b Chứng minh: AC ⊥ SK và CK ⊥ SD

7 Cho tứ diện ABCD cú hai mặt ABC và BDC là hai tam giỏc cõn cú chung đỏy BC.Gọi I là trung điểm BC.

a) Chứng minh rằng BC⊥AD

b) Gọi AH là đường cao của tam giỏc ADI.Chứng minh rằng AH⊥(BCD)

8.Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thoi,tõm O và cú SB = SD.

d) Từ cỏc kết quả trờn suy ra OH⊥(ABC)

10.Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật và SA=SB=SC=SD.Gọi E,F lần lượt trung

điểm AB,CD ; O là giao điểm của hai đường chộo AC,BD.

a) Chứng minh rằng SO⊥(ABCD)

b) Chứng minh rằng CD⊥(SEF)

c) Xỏc định giao tuyến d của hai mặt phẳng (SAB) ,(SCD)

d) Chứng minh rằng BC⊥(d,O)

11 Cho hỡnh chúp S.ABCD,đỏy là hỡnh vuụng cạnh a,mặt bờn SAB là tam giỏc đều,SCD là tam giỏc vuụng

cõn đỉnh S Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Chứng minh rằng SI⊥(SCD) ; SJ⊥(SAB)

b) Gọi H là hỡnh chiếu cựa S lờn IJ.Chứng minh rằng SH⊥AC và tớnh độ dài SH.

c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM⊥SA.Tớnh AM theo a.

12.cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD với đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật cú SA = 12 cm,SB = 13cm,SD = 15cm

,AB= 5 cm,AD= 9 cm.

a) Chứng minh rằng SA⊥(ABCD).Tớnh độ dài SC.

b) Chứng minh rằng CD⊥(SAD).

c) Chứng minh rằng cỏc mặt bờn của hỡnh chúp là những tam giỏc vuụng.

Bài 1. Cho hỡnh chúp SABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a; SA vuụng gúc với đỏy Gọi M, N là hỡnh chiếu của A trờn SB, SD

Chứng minh MN//BD và SC vuụng gúc với mp(AMN)

Gọi K là giao điểm của SC với mp(AMN) Chứng minh AMKN cú hai đường chộo vuụng gúc

Bài 2 Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA vuụng gúc với đỏy Gọi H, K là trực tõm của tam giỏc ABC và

SBC Chứng minh rằng:

SC vuụng gúc với mp(BHK) b) HK vuụng gúc với mp(SBC)

Bài 3 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thoi tõm O, biết SB = SD

Chứng minh (SAC) là mp trung trực của đoạn thẳng BD

Gọi H, K là hỡnh chiếu của A trờn SB, SD Chứng minh SH = SK, OH = OK và HK//BD

Chứng minh (SAC) là mp trung trực của HK

9

Bài 4 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng A’H ⊥(ABC) Chứng minh rằng:

AA’⊥BC và AA’⊥B’C’

Gọi MM’ là giao tuyến xủa hai mp(AHA’) và (BCC’B’) trong đó M ∈BC và M’ ∈B’C’ Chứng minh tứ giác BCC’B’ là hình chữ nhật và MM’ là đường cao của hình chữ nhật đó

Bài 5 HAi tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mp khác nhau tạo nên tứ diện ABCD Gọi I là

trung điểm của BC

a) Chứng minh BC⊥AD

b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI Chứng minh AH⊥(BCD)

Bài 6 Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mp khác nhau sao cho AC⊥BF Gọi CH

và FK là hai đường cao của tam giác BCE và ADF Chứng minh:

a) ACH và BFK là các tam giác vuông b) BF⊥AH và AC⊥BK

Bài 7 Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác cân tại A với AB = a, BC = 6

.Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM

c) Gọi G1, G2 là trọng tâm của tam giác ABC và DBC Chứng minh G1G2⊥(ABC)

Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O Biết SA = SC và SB = SD.

a) Chứng minh SO ⊥(ABCD) và AC⊥SD

b) Gọi I, J là trung điểm của BA, BC Chứng minh IJ ⊥(SBD)

Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SAB là tam giác đều, SCD là tam

giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J là trung điểm của AB và CD

a) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh SI ⊥(SCD), SJ ⊥(SAB)

b) Gọi SH là đường cao của tam giác SIJ Chứng minh SH ⊥ AC và tính độ dài SH

c) Gọi M là điểm thuộc BD sao cho BM ⊥ SA Tính AM theo aAM theo a

Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SAB là tam giác đều và SC = a 2 Gọi H, K là trung điểm của AB, AD

a) Chứng minh SH ⊥(ABCD) b) Chứng minh AC ⊥ SK và CK ⊥ SD

Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ đáy và SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông đường cao AB = a, BC = 2a Ngoài ra SC ⊥ BD

a) Chứng minh tam giác SBC vuông

b) Tính theo a độ dài đoạn AD

c) Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM = x, với 0 x a ≤ ≤ Tính độ dài đường cao DE của tam giác BDM theo a và x Xác định x để DE lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ đáy và SA = 2a, tam giác ABC vuông tại C với AB = 2a, ∠BAC = 300 Gọi M là một điểm di đọng trên cạnh AC, H là hình chiếu của S trên BM

a) Chứng minh AH ⊥ BM

b) Đặt AM = x, với 0 ≤ ≤ x 3 Tính khoảng cách từ S tới BM theo a và x Tìm x để khoảng cách này là lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 13 Cho tam giác ABC có BC = 2a và đường cao AD = a Trên đường thẳng vuông góc với

mp(ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = a 2 Gọi E, F là trung điểm SB, SC

a) Chứng minh BC ⊥ (SAD)

b) Tính diện tích của tam giác AEF

Bài 14 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a cạnh bên AA’ = a và vuông

góc với đáy

a) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh AI ⊥ BC’

b) Gọi M là trung điểm của BB’ Chứng minh AM ⊥ BC’

c) Gọi K là một điểm trên đoạn A’B’ sao cho KB’ =

4

a

và J là trung điểm của B’C’ Chứng minh

AM ⊥(MKJ)

Bài 15 Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (DBC) và tam giác ABC vuông tại A Kẻ DI ⊥BC.

a) Chứng minh BC ⊥(AID)

b) Kẻ DH ⊥ AI Chứng minh DH ⊥(ABC)

c) Đặt ∠ AID = α ,∠ ABD = β,∠ ACD = γ Chứng minh sin2α = sin2β + sin2γ

Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, SA ⊥(ABCD)

a) Gọi H, K là hình chiếu của A trên SB, SD Chứng minh SC ⊥(AHK)

b) Kẻ AJ ⊥ (SBD) Chứng minh J là trực tâm của tam giác SBD

Bài 19 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥đáy, tam giác ABC cân tại B Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và N là điểm thuộc cạnh SB sao cho SN = 2NB Chứng minh

b) K là trực tâm của tam giác DBC

Bài 22 Cho tam giác ABC vuông tại C Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A, lấy điểm

S di động Gọi D, F là hình chiếu của A trên SB, SC Chứng minh: AF ⊥ SB

Bài 23 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ∠ ASB = 1200, ∠ BSC = 900, ∠ CSA = 600.a) Chứng minh tam giác ABC vuông

b) Xác định hình chiếu H của S trên mp(ABC) Tính SH theo a

Bài 24 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có ABD là tam giác đều, BCD là tam giác cân

tại C có ∠ BCD = 1200 SA ⊥đáy

a) Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD Chứng minh SC ⊥(AHK)

b) Gọi C’ là giao điểm của SC với mp(AHK) Tính diện tích tứ giác AHC’K khi AB = SA = a

Bài 25 Cho tam giác ABC đều cạnh a, d là đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A Gọi H, K là

trực tâm của tam giác ABC và SBC Chứng minh HK ⊥(SBC)

Bài 26 Cho hình vuông ABCD Gọi H, K là trung điểm AB, AD Trên đường thẳng vuông góc với

mp(ABCD) tại H, lấy điểm S (khác H) Chứng minh:

a) AC ⊥(SHK)

b) CK ⊥ SD

Bài 27 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA ⊥đáy Hạ AH ⊥ SB, AK ⊥ SC.a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

b) Chứng minh SHK là tam giác vuông

c) Gọi D là giao điểm của HK và BC Chứng minh AC ⊥ AD

Bài 28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh tâm O, AB = SA = a, SA ⊥đáy Gọi (P)

là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, (P) cắt SB, SC, SD tại H, I, K

a) Chứng minh HK//BD

b) Chứng minh AH ⊥ SB, AK ⊥ SD

c) Chứng minh tứ giác AHIK có hai đường chéo vuông góc Tính diện tích AHIK theo a

11

Bài 29 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3, mặt bên SBC vuông tại B, SCD vuông tại D có SD = a 5.

a) Chứng minh SA ⊥(ABCD) và tính SA

b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt CB, CD tại I, J Gọi H là hình chiếu của A trên

SC, K và L là giao điểm của SB, SD với mp(HIJ) Chứng minh AK ⊥(SBC) và AL ⊥(SCD)

c) Tính diện tích tứ giác AKHL

Bài 30 Cho tam giác MAB vuông tại M nằm trong mp(P) Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A

lấy hai điểm C, D nằm hai phía đối với (P) Gọi C’ là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của

AM và CC’

a) Chứng minh CC’ ⊥(MBD)

b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB Chứng minh K là trực tâm của tam giác BCD

CHỦ ĐỀ: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓCA) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp:

1) Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

Cơ sở của phương pháp này là sử dụng điều kiện cần và đủ: Chứng minh mặt phẳng thứ nhất chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thứ hai qua hai bước cơ bản:

• B1: Quản lý các giả thiết để tìm ra đường thẳng (có tính ưu việt cho bài toán) và

• B2: Chứng minh

α

β

d a M

2) Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng

Cơ sở của phương pháp này là sử dụng định nghĩa chứng minh hai mặt phẳng vuông góc như sau: Chứng minh góc của hai mặt phẳng đó bằng

α

β ϕ

a

b M d

= 90 0

• Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau:

Cách 1: Ta chứng minh mp này chứa một đường thẳng vuông góc với mp kia.

Cách 2: Ta chứng minh góc giữa chúng là 900

• Cách chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp(α ):

Cách 3: Nếu hai mp cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến (nếu có) của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng này

Cách 4: Nếu hai mp vuông góc với nhau, một đường thẳng nằm trong mp này mà vuông góc

với giao tuyến thì vuông góc với mp kia

+ Hỡnh chúp đều cú cỏc cạnh bờn bằng nhau.

+ Hỡnh chúp đều cú gúc giữa cỏc cạnh bờn và mặt đỏy bằng nhau

Bài tập:

Bài 1: Cho hỡnh chúp cú và tam giỏc vuụng tại Chứng minh

.Bài 2: Cho hỡnh chúp cú và là hỡnh vuụng Chứng minh rằng:

Vấn đề : Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc

1 Cho tứ diện ABCD có 2 mặt phẳng ABC, ABD cùng vuông góc với đáy DBC Vẽ các đờng cao BE, DF của tam giác

BCD; đờng cao DK của tam giác ACD

a Chứng minh: AB ⊥ (BCD)

b Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC)

c Gọi O và H lần lợt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ACD CM: OH ⊥ (ADC)

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; góc BAC = 600 , SA⊥ (ABCD) và SA = a 6 Chứng minh:

a (SAC) ⊥ (ABCD) và (SAC) ⊥ (SBD) b (SBC) ⊥ (SDC)

3 Cho hỡnh chúp S.ABCD ,đỏy ABCD là hỡnh thoi , SA⊥(ABCD) Chứng minh (SAC)⊥(ABCD) và (SAC)⊥(SBD)

4Cho hỡnh tứ diện ABCD cú hai mặt (ABC),(ABD) cựng vuụng gúc với (DBC).Vẽ cỏc đường cao BE,DF của tam giỏc

BCD và đường cao DK của tam giỏc ACD.

5.Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a và SA=SB=SC=SD=a 2.Gọi I,J lần lượt là trung điểm

AD và BC.

a) Gọi H là hỡnh chiếu của S lờn mp(ABCD),hóy tớnh SH.

6Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thoi cạnh a,SA=SC.Chứng minh rằng (SBD)⊥(ABCD) ; (SBD)⊥(SAC)

7 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng ABCD và tam giỏc đều SAB cạnh a nằm trong mặt phẳng vuụng gúc

với nhau.Gọi I là trung điểm của AB.

b) Tớnh gúc giữa SD và (ABCD)

Bài 1 Cho tứ diện ABCD cú AB ⊥(BCD) Trong tam giỏc BCD vẽ cỏc đường cao BE và DF cắt nhau tại O Trong mp(ACD) vẽ DK ⊥ AC Gọi H là trực tõm của tam giỏc ACD

a) Chứng minh (ACD) ⊥ (ABE) và (ACD) ⊥ (DFK)

b) Chứng minh OH ⊥ (ACD)

13

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, có cạnh bằng a và đường chéo BD

= a SC = 6

2

a và vuông góc với (ABCD) Chứng minh (SAB) ⊥ (SAD)

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có các mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với (ABCD) Biết

ABCD là hình vuông và SA = AB Gọi M là trung điểm của SC Chứng minh:

a) (SAC) ⊥ (SBD) b) (SAD) ⊥ (SCD) c) (SCD) ⊥ (ABM)

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có BC = 2AB Tam giác SAB đều và vuông

góc với đáy Gọi H là trung điểm của AB Chứng minh (SAD) ⊥ (SAB)

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a.

a) Chứng minh (SBD) ⊥ (ABCD) b) Chứng minh tam giác SBD vuông

Bài 6 Cho tam giác ACD và BCD năm trong hai mp vuông góc với nhau AC = AC = BC = BD = a

và CD = 2x Gọi I, J là trung điểm của AB, CD

Bài 8 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAC là tam giác đều và nằm

trong mp vuông góc với (ABC) Gọi I là trung điểm của SC

a) Chứng minh (SBC)⊥(SAC) b) Chứng minh (ABI)⊥(SBC)

Bài 9 Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ BB’ và CC’ cùng vuông góc với mp(ABC).

a) Chứng minh (ABB’)⊥(ACC’)

b) Gọi AH, AK là đường cao của các tam giác ABC và AB’C’ Chứng minh hai mp(BCC’B’) và (AB’C’) cùng vuông góc với mp(AHK)

Bài 10 Cho tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y Tìm hệ thức lien hệ giữa

a, b, x, y để:

a) (ABC)⊥(BCD) b) (ABC)⊥(ACD)

Bài 11 Cho tam giác đều ABC cạnh a Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng

vuông góc với (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = 6

2

a Chứng minh:

a) (SAB) ⊥(SAC) b) (SBC)⊥(SAD)

Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA⊥đáy Gọi M, N là hai điểm thuộc các cạnh BC, CD sao cho BM = x, DN = y Tìm hệ thức lien hệ giữa a, x và y để (SAM) ⊥(SMN)

Bài 13 Cho tam giác ABC vuông tại B Đoạn thẳng AD⊥(ABC) Chứng minh (ABD)⊥(BCD)

Vẽ đường cao AH của tam giác ABD, chứng minh AH⊥(BCD)

Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a Chứng minh:

(ABCD)⊥(SBD) b) Tam giác SBD vuông tại S

Bài 15 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh AC’ ⊥(A’BD) và (ACC’A’)⊥(A’BD)

Bài 16 Cho tứ diện S.ABC có SA⊥đáy Gọi H, K là trực tâm của tam giác ABC và SBC Chứng minh:

a) (SAC)⊥(BHK) b) (SBC)⊥(BHK)

Bài 17 Cho tứ diện SABC có ba đỉnh A, B, C tạo thành tam giác vuông cân đỉnh B và AC = 2a, có

cạnh SA⊥mp(ABC) và SA = a

a) Chứng minh (SAB)⊥(SBC)

b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB Chứng minh AH⊥(SBC)

c) Tính độ dài đoạn AH

d) Từ trung điểm O của đoạn AC vẽ OK⊥(SBC) Tính độ dài đoạn OK

Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và có cạnh SA⊥đáy Giả sử (α) là

mp qua A và vuông góc với cạnh SC, (α) cắt SC tại I

a) Xác định giao điểm K của SO với mp(α)

b) Chứng minh (SBD)⊥(SAC) và BD//(α )