cau kien dt

1 Ước lượng điểm trung bình môn toán của toàn thể thí sinh với độ tin cậy là 95%.. Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn xí nghiệp A sản xuất với độ tin cậy 95% 2 Với độ chính x

CHƯƠNG 6:

LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG

2

 Tổng thể được đặc trưng bởi dấu hiệu nghiên cứu X, là

đại lượng ngẫu nhiên Tổng thể có ba đặc trưng số quan trọng là:

 E(X)=: trung bình tổng thể

 var(X)=2: phương sai tổng thể

 p: tỷ lệ tổng thể (tỷ lệ số phần tử có tính chất A quan tâm trong tổng thể, p= P(A)= M/N, trong đó M là số phần tử có tính chất A, N là số phần tử của

tổng thể)

 Ta gọi chung các đặc trưng số của tổng thể là   là

một giá trị số cố định nhưng chưa biết của tổng thể, ta

phải dự đoán (ước lượng) nó Có hai dạng ước lượng cơ bản là ước lượng điểm và ước lượng khoảng

3

1) Ước lượng điểm

Từ kết quả khảo sát của mẫu, ta có thể đưa ra một đại lượng ˆ để ước lượng cho  ˆ khi đó được gọi là ước lượng điểm (có thể có các tính chất: không chệch, hiệu quả, vững, hợp lý tối đa …) của  Lưu ý

rằng ˆ là một biến ngẫu nhiên ứng với mẫu ngẫu nhiên, và là một giá trị cụ thể ứng với mẫu cụ thể.

Thí dụ: người ta hay dùng trung bình mẫu x để ước lượng trung bình tổng thể , dùng phương sai mẫu s2

để ước lượng phương sai đám đông 2, dùng tỷ lệ

Ước lượng điểm:

ˆ f(W X ) f(X1, ,X n) gọi là một thống kê

Nếu dùngˆ để ước lượng  thìˆ gọi là hàm ước lượng của .ˆ là ĐLNN

Ước lượng không chệch (không lệch):

 E() ˆ gọi là UL không chệch của 

 E() ˆ gọi là UL chệch của 

Ước lượng hiệu quả:

ˆ và 'ˆ là 2 ULKC của 

Nếu var(ˆ)<var( 'ˆ ) thì ta nói ˆ là UL cho  tốt hơn 'ˆ

Nếu var(ˆ ) là nhỏ nhất trong tất cả ULKC của  thì ta nóiˆ là UL hiệu quả của 

Ước lượng điểm:

 VD1:

 Xét mẫu WX=(X1,X2)

 E(X)= µ, var(X)= 2

 Xét  ˆ= ( 1 2 )

2

X   , 'ˆ  =

2 3

2 1 3

1 X  X

 E(  ˆ)=µ , E( 'ˆ  )=µ

 Var(  ˆ)= ½ 2< var( 'ˆ  )= 5/9 2

 VD2:

    (  ) 2

1

1

i

X n

 S ˆ 2  1 n  ( X i  X ) 2 , E( 2 ˆS )= n n 1  2

6

2) Ước lượng khoảng

Từ kết quả khảo sát mẫu, ta đưa ra khoảng (

1

ˆ

 , 2

ˆ

 ), với

mong muốn là tham số tổng thể  sẽ thuộc vào khoảng

này với một xác suất nhất định nào đó, nghĩa là:

P(  ˆ 1 <<  ˆ 2 )= P[(  ˆ 1 ,  ˆ 2 )]= 1

thì (  ˆ 1 ,  ˆ 2 ) gọi là khoảng tin cậy, khoảng ước lượng hay ước lượng khoảng của .

(1) được gọi là độ tin cậy của khoảng ước lượng.

7

Lưu ý rằng ˆ1, ˆ2 là những biến ngẫu nhiên ứng với mẫu ngẫu nhiên, và có giá trị cụ thể ứng với mẫu cụ thể

Khi đưa ra ước lượng khoảng (ˆ1,ˆ2) từ mẫu thì có hai trường hợp xảy ra:

 Khoảng ước lượng này thực sự chứa , tức là ta ước lượng đúng

 Khoảng ước lượng này không chứa , tức là ta ước lượng sai

Xác suất ước lượng sai là = P[(ˆ1,ˆ2)], gọi là xác

Ta có các dạng ước lượng cơ bản sau:

-Ước lượng giá trị trung bình -ước lượng tỷ lệ

-ước lượng phương sai

 Trong thực hành, người ta căn cứ vào cỡ mẫu n và phương sai varX=2 để đưa ra phương pháp ước lượng tương ứng

I) Ước lượng kỳ vọng toán: X~N(µ,2)

G f(W X) f(X1, ,X n)

Ta tìm 1, 2 sao cho: 1+2= 

Ta tìm g1, g2 : P(G<g1)= 1, P(G>g2)= 2 Lúc đó ta có P(g1 <G< g2)= 1-

10

11

1) biết :

Chọn G=

n

X T

/ )

(

  

Ta tìm được 2 giá trị 1, 2 sao cho: 1+2=  Và ta tìm t1, t2 : P(T<t1)= 1, P(T>t2)= 2 Lúc đó ta có P(t1 <T< t2)= 1-

nếu 1=2=/2 thì ta chọn: t2= - t1(ký hiệu = t)

ta có khoảng tin cậy đối xứng:

P(-t<T< t)= 1-  P(-t<

n

X

(

  < t  )= 1-

 P( X -<µ< X +)= 1-

Với   t   n gọi là độ chính xác (sai số) của UL 12

Ước lượng giá trị trung bình:

2) chưa biết : làm tương tự như trên.

Chọn

n

S X

T

/ )

(  

 T N(0,1) nếu cỡ mẫu lớn (n>=30).

T~T(n-1) nếu cỡ mẫu nhỏ (n<30).

A ƯỚC LƯỢNG GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 

1 n  30 , biết 2

n t



n t x n t









tra bảng G hoặc F Nếu không biết  : thay  bằng s

n s t

x 

 

2 n < 30, biết 2(X có phân phối chuẩn)

n t



 

3 n < 30, không biết 2(X có phân phối chuẩn)

n s n t

x ( 1)



n s n t

x( 1)  ( 1)

Bài 2: Điểm trung bình môn toán của 100 thí

sinh dự thi vào ĐHKT là 5 với độ lệch chuẩn mẫu (đã hiệu chỉnh) s = 2,5.

1) Ước lượng điểm trung bình môn toán của toàn thể thí sinh với độ tin cậy là 95%.

2) Với sai số 0,25 điểm Hãy xác định độ tin cậy.

15

Giải

Áp dụng trường hợp n  30 ,  chưa biết :

= 95%  t= 1,96

= x tn s =

100 5 , 2 96 , 1

Vậy với độ tin cậy 95% khoảng ước lượng điểm trung bình môn toán của toàn thể thí sinh dự thi vào ĐHKT là (4,5 ; 5,5) điểm

2)  = 0,25  t= s n= 0,25*10/2,5 = 1

(t)= (1,00)= 0,3413 (tra bảng F)

Bài 3: Tuổi thọ của một loại bóng đèn được biết

theo quy luật chuẩn với độ lệch chuẩn 100 giờ.

1) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm, thấy mỗi bóng tuổi thọ trung bình là 1000 giờ Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn xí nghiệp A sản xuất với độ tin cậy 95%

2) Với độ chính xác là 15 giờ Hãy xác định độ tin cậy.

3) Với độ chính xác là 25 giờ và độ tin cậy là 95%

thì cần thử nghiệm bao nhiêu bóng.

Áp dụng trường hợp n  30,  đã biết 1) n = 100 ; x 1000 ;  = 95% ;  = 100

= 95%  t= 1,96

=  100019,6

n t

 Vậy với độ tin cậy 95% tuổi thọ trung bình của bóng đèn thuộc xí nghiệp A vào khoảng (980,4 ; 1019,6) giờ 2) = 15 , n = 100

5 , 1



 

t  (1,50) = 0,4332 (tra bảng F)

= 2(t)   = 0,8662 = 86,62%

3) = 25 ,  = 95% ,  = 100

= 95%  t= 1,96

62 466 , 61 2

25

2 100 2 96 , 1 2

2 2















t

Nhận xét:

Dạng toán:

Có 3 tham số : n,  ,  =1– (biết   biết t) Các tham số mẫu: x , s

1) Biết n,    = ? 2) Biết n,    = ? 3) Biết  ,   n = ? Dùng công thức   t   n hay   t s n

19

Bài 4 :Trọng lượng các bao bột mì tại một cửa hàng

lương thực theo quy luật chuẩn Kiểm tra 20 bao, thấy trọng lượng trung bình của mỗi bao bột mì là 48kg, và phương sai mẫu hiệu chỉnh là s2= (0,5kg)2 1) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng trọng lượng trung bình của một bao bột mì thuộc cửa hàng.

2) Với độ chính xác 0,26 kg, xác định độ tin cậy.

3) Với độ chính xác 160 g ; độ tin cậy 95%, tính cở

1) n = 20 ; x 48 ; s = 0,5 ;  = 95%

Áp dụng trường hợp X có phân phối chuẩn, n < 30

= 95%  t(n – 1) = 2,0930 (tra bảng H)

234 , 0 48 ).

19 ( 05 ,





n

s t

x

 Vậy với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình của một bao bột mì thuộc cửa hàng vào khoảng (47,766 ; 48,234) kg 2) t(n–1) = t(19) = 2 , 325

5 ,

0) 20 26 , 0

(2,3457 là giá trị gần 2,325 nhất trong bảng tra)

 = 0,97 = 97% (tra bảng H)

3)  = 0,16 kg ,  = 95%  t=1,96

125 , 6 16 ,

00,5 ) 96 , 1 (

ts

Lưu ý: Do n chưa biết, ta xấp xĩ : t(n ) 1 t

B ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ p : với n  30

n f

f t f

p  (1 )

 hay f t f(1n f)p f t f(1nf)





Điều kiện áp dụng :











 10 ) 1 (

10

f n

f n

Dạng toán:

Cũng có 3 dạng toán giống ước lượng trung bình Tham số mẫu: f

Dùng công thức t f(1n f)



Bài 5 :Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của một

kho đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu.

1) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp.

2) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp với độ tin cậy 94%.

3) Với sai số cho phép  = 3%, hãy xác định độ tin cậy.

23

Giải

1) n = 100 , 0,11

10011 



f

Vậy tỷ lệ hộp xấu của kho là 11%

2)  = 94% = 0,94  t=1,8808 (tra bảng G)

n

f f t f



100

) 11 , 0 1 ( 11 , 0 8808 , 1 11 ,

Vậy với độ tin cậy 94%, tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp vào khoảng (0,051 ; 0,169)  5,1% < p < 16,9%

3)  = 3% = 0,03

96 , 0 ) 1





f f

n



(0,96) = 0,3315  = 2(0,96)= 0,663 = 66,3%

24

Bài 6: Lô trái cây của một chủ hàng được đóng thành sọt

mỗi sọt 100 trái Kiểm tra 50 sọt thấy có 450 trái không đạt tiêu chuẩn

1) Ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn của lô hàng với độ tin cậy 95%

2) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ chính xác 0,5% thì độ tin cậy đạt được là bao nhiêu?

3) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% và độ chính xác 1% thì cần kiểm tra bao nhiêu sọt?

4) Muốn ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99,70% thì độ chính xác đạt được là bao

nhiêu?

1) Gọi p là tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn, ta cần ước lượng p với độ tin cậy 95%

Ta có = 95%  t=1,96

09 , 0

5000 450 



f

008 , 0

5000(1 0,09) 09

, 0 96 ,



 khoảng ước lượng của p là: 0,082 < p < 0,098 2) Từ công thức

n f

f

 



) 09 , 0 1 ( 09 ,

0 5000 005

, 0 ) 1









f f

n

= 2 (t) = 2  0,3925 = 0,785 (tra bảng F)

3) Ta cần xác định kích thước mẫu n thỏa mãn độ chính xác 1% và độ tin cậy 99% khi ước lượng p

Ta có = 99%  t= 2,58 (tra bảng G)

Áp dụng công thức 2 (12 )



 f f

t

2 ) 01 , 0 (

) 09 , 0 1 ( 09 , 0 2 58 ,



Vì mỗi sọt có 100 trái nên ta cần kiểm tra 55 sọt

4) Ta cần xác định độ chính xác  với độ tin cậy 99,70% (ứng t= 2,9677) với kích thước mẫu n = 5000

5000

) 09 , 0 1 ( 09 , 0 9677 , 2 ) 1

t f n f

 Vậy độ chính xác đạt được 1,2%

27

Câu hỏi:

 Qua 2 thí dụ trên bạn rút ra được các điều cần lưu ý chưa?

 “Chuyện nhỏ nhưng nếu không biết lại là chuyện lớn” (nhạc Rap VN)!

28

Bài 7 :Một lô hàng có 5000 sản phẩm Chọn

ngẫu nhiên 400 sản phẩm từ lô hàng để kiểm tra thì thấy có 360 sản phẩm loại A.

1)Hãy ước lượng số sản phẩm loại A có trong lô hàng với độ tin cậy 96%?

2)Nếu muốn ước lượng số sản phẩm loại A của lô hàng đạt được độ chính xác 150 sản phẩm và độ tin cậy 99% thì phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm?

1) n = 400, f = 360 / 400 = 0,9, = 96%  t= 2,0537

p = f  t f(1nf) = 0,9  2,0537

400

1 , 0 9 , 0

400

1 , 0 9 , 0 0537 , 2 9 , 0 400

1 , 0 9 , 0 0537 , 2 9 ,

0,8692 < p < 0,9308 Gọi M là số sản phẩm loại A có trong lô hàng:

0,8692* 5000 < M < 0,9308 * 5000 2) Với  = 150 / 5000 = 0,03

= 99% t= 2,5758























n f





666 665,640 2

03 , 0

1 , 0 9 , 0 2 58 ,



(Chứng minh: gọi  là độ chính xác của ước lượng

khoảng ứng với 400 sản phẩm, và ' là độ chính xác của ước lượng khoảng ứng với 5000 sản phẩm.

Ta có p f   ứng với ước lượng tỷ lệ của 400 sản phẩm Np  Nf  N  là ước lượng ứng với N=

5000 sản phẩm, và độ chính xác là '= N= 150.

Vậy  = '/N= 150/5000 = 0,03 )

31

Câu hỏi:

 Bạn đã rút ra được điều cần lưu ý từ thí dụ này chưa?

 Hãy để chuyện nhỏ mãi mãi là chuyện nhỏ!

32

Bài 8 : Điều tra năng suất lúa trên diện tích 100

hecta trồng lúa của một vùng, ta thu được bảng số liệu sau:

Năng suất (tạ/ha) 41 44 45 46 48 52 54 Số ha có năng suất

1) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng đó với độ tin cậy 95%?

2) Những thửa ruộng có năng suất từ 48tạ/ha trở lên là những thửa có năng suất cao Hãy ước lượng tỷ lệ diện tích có năng suất cao trong vùng với độ tin cậy 97%

1) Ta lập bảng như sau

xi ni nixi ni 2

i x

41 44 45 46 48 52 54

10 20 30 15 10 10 5

410 880 1350 690 480 520 270

16.810 38.720 60.750 31.740 23.040 27.040 14.580

Từ kết quả tính ở bảng trên ta có Năng suất trung bình x  4600 100 46 tạ/ha Phương sai của năng suất

910 , 10 2 46

* 100 212680 1

100 1













s

 s= 3,303

 = 95%  t= 1,96

647 , 0 46





 x  t n s

 Vậy với độ tin cậy 95%, năng suất lúa trung bình của vùng đó vào khoảng (45,353 ; 46,647) đơn vị tính tạ.

35

100 25 



f

 = 0,97  t  = 2,1701 (tra bảng G)

094 , 0 25 , 0 )

1





n

f f

t f

Vậy với độ tin cậy 97%, tỷ lệ diện tích lúa có năng suất cao trong vùng vào khoảng (0,156 ; 0, 344).

36

X CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN

1.Biết kỳ vọng toán EX =  Chọn thống kê

2

2 ) (

1 2





















Ta có thể tìm 1+2 =  Và tìm   2 ( 1 n ) và  1 2 (  n ) 2

 sao cho:

P(2 <   2 ( 1 n ) ) = 1 , P(2 >  1 2  ) = 2 (  n ) 2

P(   2 ( 1 n ) < 2 <  1 2  ) = 1- (  n ) 2

37 38

Lấy 1 = 2 = /2 P( 2 ( )

2 / n



 < 2 < 2 ( )

2 /

1  n

  ) = 1- 

 P( 2 ( )

2 / n



 <

2

2 ) ( 1





















  X i n

n

< 2 ( )

2 /

1  n

  ) = 1- 

 P(

) (

2 2 /

2 ) ( 2 ) (

2 2 1

2 ) (

n i

X n

i X



















Trong thực hành:

) (

2 2 /

2 ) ( 2 ) (

2 2 1

2 ) (

n i

x i

n n

i

x i n



















  tra bảng I , bậc tự do n

39

Làm tương tự trên, ta có:

2.Không biết kỳ vọng toán EX = 

) 1 (

2 2 /

2 ) 1 ( 2 ) 1 (

2 2 1

2 ) 1

(















n

s n n

s n











tra bảng I, bậc tự do (n–1)

40

Bài 12: Mức hao phí nguyên liệu cho một đơn vị sản

phẩm là đại lượng ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật chuẩn Quan sát 28 sản phẩm ta thu được kết quả sau : Lượng nguyên liệu hao phí (gr) 19 19,5 20,0 20,5

Với độ tin cậy 90% hãy ước lượng phương sai của X trong

2 trường hợp 1) Biết E(X) = 20 gr 2) Chưa biết E(X)

1) Ta ước lượng D(X) = 2trong trường hợp đã biết E(X).

Để tính ni(xi– )2ta lập bảng tính sau :

xi ni (xi– 20) ni(xi– 20)2

19,0 19,5 20,0 20,5

5 6 14 3

–1 –0,5 0 0,5

5 1,5 0 0,75

42

Tra bảng I với bậc tự do n = 28 và/2 = 0,05)

ta được 2/2  02,05  16 , 9279 ,

3372 , 41 2

95 , 0

2 2 /

1   



Với độ tin cậy 90%, khoảng tin cậy của  2 là

) ( 2 2 / 1

2 ) 20 (

n i x i n



 

  <  2 <

) ( 2 2 /

2 ) 20 (

n i x i n





9 ,

16,25 7 2 3 ,

41,25

7    2) Trường hợp này khoảng tin cậy của  2 sẽ là

) 1 ( 2 2 /

2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 / 1

2 ) 1 (















n s n n

s n











2 2 /

1 

  ; 2

2 /



 là các phân vị  2 với n – 1 = 27 bậc tự do 2

2 /

1 

   02,95  40 , 1 2

2 /



  02,05  16 , 2

43

Để tính s2ta lập bảng tính sau

x i n i n i x i 2

i x i n

19,0 19,5 20,0 20,5

5 6 14 3

95,0 117,0 280,0 61,5

1805,00 2281,50 5600,00 1260,75

Tổng n = 28 553,5 10947,25

2126 , 0

2

28,5

553

28,25

10947

2728





































s

KTC của 2là:

2 ,

160,2126 27

2 1

,

400,2126) (

NHẮC LẠI: KHOẢNG TIN CẬY 2 PHÍA

n t X n

t

X          : ULTB, biết 

n S n

t X n

S n

t

X   (  1 )      (  1 ) : ULTB, chưa biết  (n<30)

n f f t f n

f f t

f  (1 )    (1 )





UL tỷ lệ (n>=30)

) ( 2 2 /

2 ) (

2 )

( 2

2 / 1

2 ) (

n i x i n n

i x i n



















UL phương sai, biết µ

) 1 ( 2 2 /

2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2

2 / 1

2 ) 1 (















n s n n

s n









UL phương sai, chưa biết µ

V) CÁC ƯỚC LƯỢNG 1 PHÍA 1) KTC bên phải







 t  n  

X









n

S n t

X ( 1 )

2 : ULTB, chưa biết  (n<30)









n

f f t









) ( 2 1

2 ) (









n i x i

n

: UL phương sai, biết µ











) 1 ( 2 1

2 ) 1



s

46

2) KTC bên trái

n t



   2





n

S n t

X  2 (  1 )







n f

f t









) ( 2

2 ) ( 2

0

n i

x i n







) 1 ( 2

2 ) 1 ( 2 0









n

s n





 : UL phương sai, chưa biết µ

47

Mời ghé thăm trang web:

http://kinhteluong.ungdung.googlepages.com

http://xacsuatthongke.googlepages.com

http://phamtricao.googlepages.com

www37.websamba.com/phamtricao

www.phamtricao.web1000.com