Cấu trúc cây, cấu trúc dữ liệu

Thứ tự nút  Nếu ta phân biệt thứ tự các nút con của cùng một nút thì cây... Duyệt cây cả các nút của cây mỗi nút đúng một lần  Danh sách liệt kê các nút tên nút/ giá trị theo thứ tự đ

Thuật ngữ cơ bản

 Có một nút được phân biệt gọi là nút gốc (root)

 Quan hệ cha - con (parenthood): xác định hệ thống cấu

trúc phân cấp trên các nút

 Mỗi nút, trừ nút gốc, có duy nhất một nút cha

 Một nút có thể có nhiều nút con hoặc không có nút con

 Mối quan hệ cha con được biểu diễn theo qui ước nút cha

ở dòng trên nút con ở dòng dưới và được nối bởi một

đoạn thẳng

thể xây dựng một cây mới bằng

cách cho nút n là cha của các

nút n1, , nk Cây mới này có nút

Thuật ngữ

 Đường đi: chuỗi các nút n1, , nk,

trong đó ni là nút cha của nút ni+1,

với i=1 k-1

 Độ dài đường đi = số nút – 1

 Đường đi từ một nút đến chính nó

có độ dài bằng không.

 Nếu có đường đi từ nút a đến nút

b thì ta nói a là tiền bối (ancestor)

của b, còn b gọi là hậu duệ

(descendant) của nút a.

 một nút vừa là tiền bối vừa là hậu

duệ của chính nó.

 Tiền bối hoặc hậu duệ của một

nút khác với chính nó gọi là tiền

bối hoặc hậu duệ thực sự

 Nút gốc không có tiền bối thực

 Nút không có hậu duệ thực sự

gọi là nút lá (leaf)

 Nút không phải là lá ta còn gọi

là nút trung gian (interior)

 Cây con của một cây là một

nút cùng với tất cả các hậu duệ

của nó.

 Chiều cao của một nút là độ

dài đường đi lớn nhất từ nút đó

Thứ tự nút

 Nếu ta phân biệt thứ tự các nút

con của cùng một nút thì cây

Duyệt cây

cả các nút của cây mỗi nút đúng một lần

 Danh sách liệt kê các nút (tên nút/ giá trị) theo thứ

tự đi qua gọi là danh sách duyệt cây

 duyệt tiền tự (preorder),

 duyệt trung tự (inorder),

 duyệt hậu tự (posorder)

Cây có nhãn và cây biểu thức

 Ta thường lưu trữ kết hợp một

nhãn (label) hoặc còn gọi là một

giá trị (value) với một nút của

cây Như vậy nhãn của một nút

không phải là tên nút mà là giá trị

được lưu giữ tại nút đó

cây biểu thức

 Khi duyệt một cây biểu diễn

một biểu thức toán học và liệt

kê nhãn của các nút theo thứ tự

duyệt thì ta có:

 Biểu thức dạng tiền tố hay biểu

thức tiền tố (prefix) tương ứng

với phép duyệt tiền tự của cây.

 Biểu thức dạng trung tố hay biểu

thức trung tố (infix) tương ứng

với phép duyệt trung tự của cây

 Biểu thức dạng hậu tố hay biểu

thức hậu tố (posfix) tương ứng

với phép duyệt hậu tự của cây.

*

b -

Biểu thức tiền tố - * a c b Biểu thức trung tố a * c – b Biểu thức hậu tố a c * b -

KIỂU DỮ LIỆU TRỪU TƯỢNG

CÂY

T, nếu n là lá thì hàm cho giá trị NULL.

nếu n không có anh em ruột phải thì hàm cho giá trị NULL.

NULL.

là n được gán nhãn v và có i cây con T1, ,Ti

 Nếu n= 0 thì thủ tục tạo cây mới chỉ gồm có 1 nút đơn độc là n có nhãn

v

false.

Giải thuật duyệt tiền tự

Void PreOrder(Node n, Tree T){

 A[i] = j với j là nút cha của nút i

 Nếu i là nút gốc ta cho a[i] = Null

 Nếu cây T là cây có nhãn:

 Dùng thêm một mảng một chiều

thứ hai L chứa các nhãn: cho L[i]

= x với x là nhãn

 Hoặc khai báo mảng a là mảng

của các struct có hai trường:

 trường Parent giữ chỉ số nút cha;

 trường Data giữ nhãn của nút

 MaxNode giữ số nút hiện tại đang

có trên cây.

 Hàm PARENT(n,T) tốn chỉ một hằng thời gian

 Hàm đòi hỏi thông tin về các con không làm việc tốt

 qui ước việc đặt tên cho các nút (đánh số thứ tự) như sau:

 Đánh số theo thứ tự tăng dần bắt đầu tại nút gốc.

 Nút cha được đánh số trước các nút con.

 Các nút con cùng một nút cha được đánh số lần lượt từ trái sang phải

G

J I

0

Khai báo cấu trúc dữ liệu

#define MAXLENGTH /* chỉ số tối đa của mảng */

/* Lưu trữ cha của các nút trong cây theo nguyên tắc:

Cha của nút i sẽ lưu ở vị trí i trong mảng */

Khởi tạo cây rỗng

void MAKENULL_TREE (Tree& T){

Xác định nút cha của nút trên cây

Node PARENT(Node n,Tree T){

if (EMPTY_TREE(T) || (n>T.MaxNode-1))

return NULL;

else return T.Parent[n];

}

Xác định nhãn của nút trên cây

DataType LABEL_NODE(Node n,Tree T){

if (!EMPTY_TREE(T) && (n<=T.MaxNode-1))

Hàm xác định con trái nhất của một nút

Node LEFTMOST_CHILD(Node n,Tree T){

Hàm xác định anh em ruột phải của một nút

Node RIGHT_SIBLING(Node n,Tree T){

Ví dụ

phím như tổng số nút trên cây; ứng với từng nút thì phải nhập nhãn của nút, cha của một nút Hiển thị

danh sách duyệt cây theo các phương pháp duyệt tiền

tự, trung tự, hậu tự của cây vừa nhập.

chúng ta cần phải thiết kế một số chương trình con

sau:

 Nhập dữ liệu cho cây từ bàn phím READTREE(T)

} while ((T.MaxNode<1) || (T.MaxNode>MAXLENGTH));

printf("Nhap nhan cua nut goc ");

 Nhap du lieu cho cay tong quat

 Cay co bao nhieu nut?10

 Nhap nhan cua nut goc A

 Nhap cha cua nut 1 0

 Nhap nhan cua nut 1 B

 Nhap cha cua nut 2 0

 Nhap nhan cua nut 2 C

 Nhap cha cua nut 3 1

 Nhap nhan cua nut 3 D

 Nhap cha cua nut 4 1

 Nhap nhan cua nut 4 E

 Nhap cha cua nut 5 4

 Nhap nhan cua nut 5 F

 Nhap cha cua nut 6 4

 Nhap nhan cua nut 6 G

 Nhap cha cua nut 7 4

 Nhap nhan cua nut 7 H

 Nhap cha cua nut 8 2

 Nhap nhan cua nut 8 I

 Nhap cha cua nut 9 2

 Nhap nhan cua nut 9 J

 Danh sach duyet tien tu cua cay vua nhap la

A B C D E F G J H I

8

Biểu diễn theo con trái nhất và anh em

ruột phải

 Các cấu trúc đã dùng để mô tả cây ở trên có một số nhược

điểm: không trợ giúp phép tạo một cây lớn từ các cây nhỏ hơn, nghĩa là ta khó có thể cài đặt phép toán CREATEi

 Chẳng hạn CREATE2(v,T1,T2) chúng ta phải chép hai cây

T1, T2 vào mảng thứ ba rồi thêm một nút n có nhãn v và hai nút con là gốc của T1 và T2

 Ta thay thế mảng các Header bằng mảng CELLSPACE chứa các bản ghi (struct) có ba trường Data, Leftmost_Child,

Right_Sibling

 Data giữ nhãn của nút,

 Leftmost_Child là một con nháy chỉ đến con trái nhất của nút,

 Right_Sibling là con nháy chỉ đến nút anh ruột phải

 Hơn nữa mảng này giữ tất cả các nút của tất cả các cây.

Available

Hàm CREATE2 tạo cây mới từ hai cây con

int CREATE2(DataType v, int T1, int T2){

// T1, T2 là hai con nháy trỏ tới hai nút gốc của hai cây con

// Hàm trả ra con nháy trỏ tới nút gốc mới

//lấy ô đầu danh sách available để tạo một nút mới trên cây

int temp=Available ; //available như là một biến toàn cục

Cài đặt cây bằng con trỏ

Các khai báo như sau

typedef Cell* Node;

typedef Node Tree;

data

//if (left!=NULL) left->Parent = n;

//if (right!=NULL) right->Parent=NULL;

return n;

}

CÂY NHỊ PHÂN (BINARY TREES)

 Cây nhị phân là cây rỗng

hoặc là cây mà mỗi nút có tối

đa hai nút con

 Các nút con của cây được

phân biệt thứ tự rõ ràng:

 Con trái

 Con phải

 Ta qui ước vẽ nút con trái

bên trái nút cha và nút con

phải bên phải nút cha, mỗi

nút con được nối với nút cha

của nó bởi một đoạn thẳng

Duyệt cây

 Duyệt tiền tự

(Node-Left-Right): duyệt nút gốc, duyệt

tiền tự con trái rồi duyệt tiền

tự con phải.

 Duyệt trung tự

(Left-Node-Right): duyệt trung tự con

trái rồi đến nút gốc sau đó là

duyệt trung tự con phải.

 Duyệt hậu tự

(Left-Right-Node): duyệt hậu tự con trái

rồi duyệt hậu tự con phải sau

đó là nút gốc.

nút

Các danh sách duyệt cây

Nút cha

Cài đặt cây nhị phân

typedef int DataType;

typedef struct Node{

Xác định con trái của một nút

Tree LEFTCHILD(Tree n){ //n co

kieu Node*, tuc la Tree

if (n!=NULL) return n->left;

else return NULL;

}

Xác định con phải của một nút

Tree RIGHTCHILD(Tree n){

if (n!=NULL) return n->right;

else return NULL;

if(EMPTY_TREE(T)) return 0;

else return 1 +NB_NODES(LEFTCHILD(T)) + NB_NODES(RIGHTCHILD(T)); }

Tạo cây mới từ hai cây có sẵn Tree Create2(DataType v,Tree l,Tree r){

Tree N;

N=(Node*)malloc(sizeof(Node)); N->Data=v;

N->left=l;

N->right=r;

return N;

}

int NB_LEAVES(Tree T){

if(EMPTY_TREE(T)) return 0;

else if ((T->left==NULL) && (T->right==NULL)) return 1;else return NB_LEAVES(T->left)+ NB_LEAVES(T->right);}

56

Bài tập

hướng dẫn

 Tạo cây như hình vẽ trên bảng

 Thực hiện duyệt: tiền tự, trung

6 2 1 3 5 4Duyet LRN

6 1 2 5 4 3

so nut cua cay : 6

tong cua tat ca cac nut cua cay : 21

so nut la cua cay : 3

chieu cao cua cay : 2

So nut cua cay la 6 Duyet NLR

3 2 6 1 4 5 Duyet LNR

6 2 1 3 5 4 Duyet LRN

6 1 2 5 4 3

Process exited with return value 0 Press any key to continue

int Height (Tree T){

61

Tạo cây mới từ hai cây có sẵn

Tree Create2(DataType v,Tree l,Tree r){

Thủ tục duyệt trung tự

void InOrder(Tree T){

if (T!=NULL) {

InOrder(LEFTCHILD(T)); printf("%c ",T->Data);

}

}

Tree T1 = Create2('D', NULL, NULL);

Tree T2 = Create2('E', NULL, NULL);

Tree T3 = Create2('F', NULL, NULL);

Cây tìm kiếm nhị phân

binary search tree

 Cây tìm kiếm nhị phân (TKNP) là

cây nhị phân mà khoá tại mỗi nút

lớn hơn khoá của tất cả các nút

thuộc cây con bên trái và nhỏ hơn

khoá của tất cả các nút thuộc cây

con bên phải

typedef <kiểu dữ liệu của khoá> KeyType;

typedef struct Node{

15

35

37

35

37

Tree Search (KeyType x,Tree Root){

if (Root==NULL) return NULL;

else if(Root->Key==x)

return Root;

else if (Root->Key<x)

return Search(x,Root->Right); else

return Search(x,Root->Left); }

Th i gian tìm ki m 1 nút : O(h), h là chi u cao câyờ ế ề

Thêm một khoá vào cây TKNP

void InsertNode(KeyType x,Tree& Root ){

/* thêm nút mới chứa khoá x */

15

35

37

15

else if (x > Root->Key) DeleteNode(x,Root->Right);

else if ((Root->Left==NULL) && (Root->Right==NULL)) Root=NULL;

else

if (Root->Left == NULL) Root = Root->Right;

else if (Root->Right==NULL) Root = Root->Left;

else Root->Key = DeleteMin(Root->Right);

}

TỔNG KẾT CHƯƠNG

 Một số khái niệm cơ bản về cây tổng quát,

 Cây nhị phân,

 Cách biểu diễn biểu thức toán học,

 Các biểu thức duyệt cây

 Cài đặt cây bằng mảng, con trỏ, danh sách các con, con trái nhất, anh

em ruột phải

 Cây tìm kiếm nhị phân như một ứng dụng cây nhị phân trong tổ chức

dữ liệu phục vụ cho tìm kiếm nhanh

 Bài tập chương

 Thực hành: 2 buổi