LỊCH SỬ GIẢI TÍCH 1

Nội dung bài giảng Tôi chia lịch sử giải tích làm ba giai đoạn: • Tr ớc Newton Leibniz đại diện là Archimedes, Kepler, Descartes, Huygens, Sluse, tính từ 500 BC đến thế kỷ 17 • Thời kỳ

Nội dung bài giảng

 Tôi chia lịch sử giải tích làm ba giai đoạn:

• Tr ớc Newton Leibniz (đại diện là Archimedes, Kepler,

Descartes, Huygens, Sluse, tính từ 500 BC đến thế kỷ 17)

• Thời kỳ Newton, Leibniz (đại diện là hai ng ời này, tính từ giữa thế kỷ 17 đến đầu thế kỷ 18)

• Sau Newton, Leibniz (đại diện là hai anh em Bernoulli,

Euler, L’ Hopital, Cauchy, Gauss, Bolzano, Abel,

Weierstrass, Cantor, Dedekin, Heine, tính từ đầu thế kỷ 18 cho đến hết thế kỷ 19)

 Nh ng tr ớc hết tôi muốn nói rằng lịch sử giải tích là lịch sử thống nhất, có sự kế thừa liên tiếp Mặc dù

Nội dung bài giảng (tiếp)

 không có chiến tranh, hoặc những xung đột gay gắt nh ng trong giải tích cũng có những cuộc tranh luận và những lời chỉ trích khá chua cay Bên cạnh những cây đại thụ lớn còn có một số nhà toán học khác có những đóng góp

đáng kể

 Đối thủ của Newton là Leibniz;

 Đối thủ của Descartes là Fermat;

 Đối thủ của Fourier là Poisson;

 Đối thủ của Jacob Bernoulli là ng ời em Johann Bernoulli (dòng họ này có ba thế hệ làm giải tích xuất sắc)

Giải tích toán học là gì?

 Giải tích toán học (Mathematical Analysis) còn có tên là phép tính các đại l ợng vô cùng bé và vô cùng lớn (calculus of Infinitely Small and Large

Quantities) hoặc phép tính vi tích phân (Calculus

of Differentiation and Integration), hoặc gọi tắt là Calculus), ra đời vào nửa cuối thế kỷ 17 Calculus

là ngành toán học nghiên cứu chuyển động và sự thay đổi của vật chất Nơi nào có chuyển động

hoặc sự tăng tr ởng thì nơi ấy có thể dùng Calculus

Giải tích toán học là gì?

 Phép tính vi phân cho phép ta xác định mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong, tính tốc độ và gia tốc của vật chuyển

động … Phép tính tích phân cho phép ta tính diện tích mặt, tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể theo tốc độ của nó ….

 Có rất nhiều học giả xuất chúng tham gia xây dựng

lĩnh vực toán học này Đầu tiên phải kể tới Sir Issac

Newton (1642-1727), ng ời Anh), Barow Gottfried

Wilhelm Leibniz (1646-1716) Tr ớc Newton và Leibniz cần phải nhắc tới nhà thiên văn Johannes Kepler

(1571-1630), ng ời Đức, đã giành 20 năm để

Giải tích toán học là gì? (tiếp)

để khám phá ra ba định luật chuyển động của các

Giải tích toán học là gì? (tiếp)

một năm và a là nửa trục lớn của ellipse t ơng ứng thì

T^2/a^3 có giá trị không đổi đối với mọi hành tinh trong hệ mặt trời.

 Bằng Calculus ta có thể rút ra ba định luật trên từ các định luật chuyển động của Newton, nh ng đấy là công việc …buổi chiều… Vậy là Kepler nhờ các quan sát thực nghiệm đã mô tả hệ mặt trời hoạt động nh thế nào, sau đó Newton và Leibniz dùng Calculus

giải thích vì sao lại nh thế Theo tôi điều này chứng

tỏ vật lý, cơ học, thiên văn là cội nguồn của giải tích.

Nguån gèc

Cã 4 nguån gèc chÝnh

 TÝnh to¸n víi c¸c ký hiÖu b»ng ch÷ (Viette)

 H×nh häc gi¶i tÝch (Descartes, Fermat)

 Y t ëng vÒ hµm sè lµ kh¸i niÖm trung t©m cña gi¶i tÝch (Euler, Dirichlet)

 Tr êng sè thùc (Dedekind, Cantor)

Về danh từ giải tích (Analysis) và tổng hợp (Synthesis)

 Gọi việc cộng của một số đại l ợng là một tổ là tổng hợp (sythesis)

 Gọi việc chia tách của một tổng cho tr ớc là giải tích

(analysis)

 Giải tích là việc tách của một bài toán cho tr ớc ra nhờ các b ớc đúng đắn và lôgíc cho đến khi ta kết thúc với một điều gì đó mà ta đã biết là đúng hay mâu thuẫn.

 Ngày nay giải tích bài toán của ng ời Hy lạp trở

thành ph ơng pháp giải tích

Về danh từ giải tích (Analysis) và

 Giải tích từ thời x a nói về hình học và do đó chỉ sử

dụng khi có hình học trợ giúp; giải tích hiện đại bao gồm tất cả các đối t ợng đo đ ợc và sử dụng số học

thông dụng bằng cách đặt các mối liên hệ giữa các l ợng vào ph ơng trình.

Khái niệm về số và l ợng của ng ời Hy lạp

Gosta Mittag-Leffler đã nói rằng số là khởi nguồn của suy nghĩ, câu này đã đ ợc khắc đá vào lò s ởi

của Viện toán của ông.

Toán học cổ điển nhất của Hy lạp, (có nghĩa là

giảng dạy, h ớng dẫn) là lý thuyết toán học đơn

giản nhất về số chẵn, số lẻ, và là đối t ợng của cuốn

sách Cơ sở của Euclid và sự phân biệt đơn giản

này đã dẫn đến những kết quả đáng kể

Bµi to¸n cÇu ph ¬ng

 TiÒn sö

 PhÐp ®o vßng trßn cña Archimedes

Tiền sử

Bài toán cổ nhất của giải tích liên quan đến việc tính toán độ dài đ ờng cong, diện tích mặt, và thể tích của khối.

Trong toán học cổ Hy lạp, diện tích của một hình

đ ợc tính nếu tồn tại một phép dựng hình của một hình vuông có diện tích đã cho.

Trong tr ờng hợp không thể hoặc không biết cách xác định một l ợng bằng một phép dựng hình, ng ời

Hy lạp sử dụng …xấp xỉ….

Phép đo vòng tròn của Archimedes

 Archimedes sử dụng một ph ơng

pháp gọi là nén với hình đa giác

nội tiếp và ngoại tiếp 96 cạnh

Theo danh từ hiện đại thì ông

đã thu đ ợc các cận sau của số pi

Phép đo vòng tròn của

Archimedes (tiếp)

 Hiệu số giữa cận trên và cận d ới chỉ là 0,0002!

 Khônng có nhà toán học Hy lạp nào sử dụng ký hiệu pi để ký hiệu tỷ số của chu vi với đ ờng kính; ký hiệu này của William Jones (1706) và đ ợc Leonard Euler phổ cập Ông sử dụng công thức

tính diện tích đ ờng tròn bán kính r để đi đến kết quả của mình.

 Dsfs

 Sdfs

 Sdfsd

Phép đo vòng tròn

của Archimedes (tiếp)

 Archimedes đã không đ a ra ph ơng pháp tổng quát

để vét hết vòng tròn.

 Ông đã tìm ra mối liên hệ giữa S_n và S_2n.

 Theo quan điểm của chúng ta, dễ thấy rằng mối liên hệ này là mối liên hệ biểu diễn sin x và sin

(x/2) Vì vậy ph ơng pháp là sự khởi nguồn của l

ợng giác.

Những đóng góp của Archimede đối với toán học vô cùng bé

Cuộc đời Archimedes

 Vua Hieron của Syracuse đòi

Archimedes kiểm tra thành phần vàng trong vòng nguyệt quế của mình

 Khi đang tắm, Archimedes phát hiện

ra nguyên lý cân bằng giữa cơ thể nổi

và lực đẩy của nớc Ông chạy ra đ ờng

mà không dừng lại mặc quần áo và hô vang từ ``eureka!'', có nghĩa là ``tôi tìm

ra rồi" trên môi khi ch a kịp đ a ra các thí nghiệm cần thiết

Cuộc đời Archimedes (tiếp)

 Một câu nổi tiếng không kém của Archimedes nữa, phát biểu sau khi hạ thấp một chiếc

thuyền xuống n ớc chỉ bằng vật nặng và hệ

thống ròng rọc, rằng …cho tôi một điểm tựa, tôi

sẽ nâng trái đất lên = give me a place to stand and I can move the earth…

Ph ơng pháp cơ học (tiếp)

 Tôi cần phải giải thích để viết ra chi tiết nét đặc sắc của một ph ơng pháp nhờ đó anh có thể bắt đầu nghiên cứu một số vấn đề toán học bằng vật lý Chẳng hạn một vài

sự việc trở nên rõ ràng với tôi nhờ ph ơng pháp cơ học, mặc dù những điều này cần phải chứng minh chi tiết

bằng hình học, vì việc nghiên cứu bằng ph ơng pháp đã nói không cung cấp một chứng minh thật sự Tất nhiên

sẽ dễ dàng hơn nếu chúng ta đã có đ ợc, nhờ ph ơng pháp này, một số kiến thức về câu hỏi

Archimedes không coi ph ơng pháp cơ học tự nó đã

Ph ơng pháp cơ học (tiếp)

mang tính lập luận về mặt toán học; các kết quả

đạt đ ợc nhờ suy diễn cần phải đ ợc chứng minh

chặt chẽ Ph ơng pháp này đã đ ợc dùng nh là một chuẩn mực so sánh chặt chẽ cho tới tận ngày nay.

 Hình trụ ngoại tiếp hình cầu có thể tích bằng 3/2 thể tích hình cầu Archimedes rõ ràng đã coi kết quả này là hết sức quan trọng vì theo ý nguyện của

ông, những từ này đã đ ợc khắc vào bia mộ của

ông.

Có phải Archimedes nghĩ ra khái

niệm tích phân?

 Trừ việc không chuyển tới giới hạn, phép cầu ph

ơng xấp xỉ parabol t ơng ứng với tích phân của

hàm liên tục bằng phép lấy tổng của các hình chữ nhật khi sử dụng tổng trên và tổng d ới nh sách

giáo khoa phổ thông hiện đại Theo quan điểm

hiện đại, d ờng nh ta đã gặp tổng trên tổng d ới

Darboux của tích phân Riemann.

Ph ¬ng ph¸p cña Newton vµ Leibniz

 Giíi thiÖu

 Ph ¬ng ph¸p chuçi vµ Fluxions cña Newton

Giới thiệu

 Từ những năm 1660 đến những năm 1680 , Isaac Newton và Gottfried Wilhem Leibniz đã tạo ra cái

mà ngày nay ta gọi là tính toán vô cùng bé.

 Ba khía cạnh của những việc họ làm cho toán học:

• Thu gọn bài toán

• Tính diện tích theo quá trình ng ợc của tính tiếp

tuyến.

• Xây dựng thuật toán

Giới thiệu(tiếp)

 Xác định trọng tâm, diện tích, thể tích, tiếp tuyến,

độ dài cung, bán kính cong, diện tích mặt, mà đã thu hút sự chú ý của các nhà toán học thế kỷ 17 là các thí dụ của hai bài toán cơ bản Hơn nữa, họ đã nhận thức đầy đủ rằng hai bài toán này là ng ợc

của nhau (đó là định lý cơ bản của calculus)

 Calculus của Newton và Leibniz không đề cập đến hàm số

Giới thiệu (tiếp)

 Continuum mà Newton và Leibniz nói là hình học hay động học Việc Newton và Leibniz phát triển

ph ơng pháp giới hạn của họ th ờng gán cho

continuum động học hoặc hình học trực giác.

Ph ¬ng ph¸p chuçi

vµ Fluxions cña Newton

 Mét nhµ to¸n häc lµm viÖc trong c« lËp

 Chuçi nhÞ thøc

Một nhà toán học

làm việc trong cô lập

 Trong thời kỳ này, Newton đã tiến hành các thí nghiệm với thấu kính, khiến ông tin bản chất phức hợp

Leibniz-một nhà toán học và một nhà ngoại giao

Leipzig năm 1646 trong một gia đình theo

đạo Cơ đốc và có nguồn gốc Slavơ Cha

ông, một giáo s đại học Leipzig, mất năm

1652, để lại một th viên đồ sộ, nơi cậu bé

Gottfried bắt đầu cuộc đời nghiên cứu của

mình Ông theo học triết học và luật tại

các tr ờng đại học Leipzig, Jena, và

Altdorf

Leibniz-một nhà toán học và một nhà ngoại giao (tiếp)

 ngôn ngữ toán học mà từ đó các lập luận theo lối

diễn dịch đ ợc thực hiện Các bản thảo của ông liên

quan đến lập luận có sử dụng biểu t ợng

(symbolical reasoning) cho thấy sự khởi đầu của

đại số lôgíc thế kỷ 19 Leibniz không bao giờ từ bỏ

ch ơng trình sáng tạo "tính phổ quát của ký tự"

Ông quan niệm nghiên cứu toán học nh một phần

trong dự án đầy tham vọng của mình

Leibniz-một nhà toán học và một nhà ngoại giao (tiếp)

Cụ thể hơn, mối quan tâm của ông đến dãy số

đóng vai trò trong việc phát minh ra phép tính vi

phân và tích phân Sau khi nhận bằng tiến sĩ năm

1666 của tr ờng Đại học Altdorf, làm việc ở Mainz

Từ năm 1672 đến 1676, ông là nhà ngoại giao ở

Paris, ở đây ông gặp một số nhà toán học nổi tiếng Chính tại Paris, theo lời khuyên của Huygens,

Leibniz-một nhà toán học và một nhà ngoại giao (tiếp)

Leibniz học toán, vài tháng sau ông đã nghiên cứu

sâu sắc tất cả tài liệu đ ơng thời có liên quan và có

khả năng viết những công trình khởi thảo Ông

phát hiện ra Calculus từ 1675 đến 1677 Ông công

bố các quy tắc của phép tính vi phân năm 1684 ở

tạp chí Acta eruditorum, một tạp chí khoa học mà

ông giúp thành lập năm 1682 Năm 1676, thời kỳ

nghiên cứu của ông ở Paris kết thúc Sau năm

1676, ông làm việc tại tòa án ở Hanover

Leibniz-một nhà toán học và một nhà ngoại giao (tiếp)

Ông bắt tay vào các đề án chính trị, quan trọng nhất là

hợp nhất nhà thờ thiên chúa Leibniz rất hào phóng

trong việc chia sẻ các phát minh toán học thông qua tạp chí khoa học và th từ Trong khi Newton giữ bí mật các

ph ơng pháp thì Leibniz hết sức cố gắng để truyền bá lợi

ích của Calculus ở Basel, Paris và Italia, và trao đổi với

một số nhà toán học nh anh em nhà Bernoulli, l'

Hopital, Varigno

 Johann Bernoully mở rộng phép tính tích phân và áp

dụng nó vào động học

Leibniz-một nhà toán học và một nhà ngoại giao (tiếp)

 Leibniz chết năm 1716 Đ a tiễn ông chỉ có những

ngời họ hàng và th ký của ông Quan tâm tri thức

của Leibniz trải rộng từ kỹ thuật đến toán học, từ

vật lý đến logic, từ chính trị đến tôn giáo Đời sau

ghi nhớ ông nh một trong những nhà toán học sâu

sắc nhất và một trong những nhà toán học sáng

tạo nhất của mọi thời đại