CMR các hàm số sau nhận điểm đã cho làm tâm đối xứng : a.
Trang 1I PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ :
1 Phép dời trục tọa độ từ O(0;0) sang I(x ; y )0 0 :
Cơng dời trục tọa độ : 0
0
x X x
y Y y
khi đĩ hệ trục tọa độ mới là IXY
2 Pt đối với hệ tọa độ mới :
Nếu y =f(x) thì pt đối với hệ tọa độ IXY là Y = F(X+x0) + y0
II TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG CONG :
1 Định nghĩa : Đồ thị (C) của đồ thị hàm số y = f(x) xác định trên miền D nhận điểm I x y( ;0 0) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi f(x) thỏa mãn tính chất sau :
f x x f x x y với x x D
2 chú ý : hàm số lẻ nhận O(0;0) làm tâm đối xứng vì
0
( ) ( ) ( ) ( ) 0
2
f x x f x x
f x f x
f x f x y
3 Phương pháp giải tĩan :
a) C/m I x y ( ; )0 0 là tâm đối xứng của (C) :
Chuyển hệ trục tọa độ từ oxy sang IXY
Tìm phương trình của (C ) theo IXY
C/m Y= F( X ) là hàm số lẻ
Sử dụng chú ý thì ( C ) nhận I làm tâm đối xứng
b) Tìm tâm đối xứng I
Gọi I x y ( ; )0 0 là tâm đối xứng
Chuyển hệ trục tọa độ từ oxy sang IXY
Tìm phương trình của (C ) theo IXY
Xác định x y0, 0 sao cho Y= F( X ) là hàm số lẻ ( cho các hệ số bậc chẳn bằng 0 )
III TRỤC ĐỐI XỨNG :
Trang 21 Định nghĩa : Đồ thị (C) của đồ thị hàm số y = f(x) xác định trên miền D nhận đường thẳng
0
x x làm trục đối xứng khi và chỉ khi f(x) thỏa mãn tính chất sau :
f x x f x x với x x D
2 Chú ý : hàm số chẳn đối xứng qua oy vì
0
0
( )
f x x
f x
f x
f x x
3 Phương pháp giải tĩan :
a C/m x x0 là trục đối xứng của (C) :
Chuyển hệ trục tọa độ từ oxy sang IXY với I x ( ; 0)0
Tìm phương trình của (C ) theo IXY
C/m Y= F( X ) là hàm số chẳn
Sử dụng chú ý thì ( C ) nhận IY làm trục đối xứng
b Tìm trục đối xứng biết cĩ phương song song oy :
Gọi x x0 là trục đối xứng cần tìm
Chuyển hệ trục tọa độ từ oxy sang IXY với I x ( ; 0)0
Tìm phương trình của (C ) theo IXY
Cho Y= F( X ) là hàm số chẳn ( cho các hệ số bậc lẻ bằng 0 )
giải hệ tìm x0
c C/m (d) y ax là trục đối xứng của (C) : b
Dùng đường thẳng (d’) : 1
a
vuơng gĩc với ( d) và m thay đổi
Tìm ĐK của m để ( d’) cắt ( C) tại 2 điểm phân biệt E, F
C/m rằng m là trung điểm EF thì M thuộc ( d)
vậy ( d) là trục đối xứng của ( C )
IV VÍ DỤ :
1 CMR các hàm số sau nhận điểm đã cho làm tâm đối xứng :
a y x 3 3 x2 2 x 4 I (1; 4)
Trang 3 0
0
1 4
(1; 4)
x X x X
y Y y Y
Giải
Phép tịnh tiến theo OI biến oxy thành IXY theo công thức đổi hệ trục
Gọi (x,y) và ( X,Y) là tọa độ của M thuộc ( C ) đối với oxy và IXY
3
3 3
1; 4
F
MXĐ của Y F X là D R
F X
Y F X là hàm số lẻ
Vậy I là tâm đối xứng
1
x
0
1 2
( 1;2)
x X x X
y Y y Y
Giải
Phép tịnh tiến theo OI biến oxy thành IXY theo công thức đổi hệtrục
Gọi (x,y) và ( X,Y) là tọa độ của M thuộc ( C ) đối với oxy và IXY
2
2
1 1
2 2
X X
Trang 4
2
2
\ 0
( ) 2
2
1;2
F
MXĐ của Y F X là D R
X
F X
X X
X
F X
Y F X là hàm số lẻ
Vậy I là tâm đối xứng của đồ thị
2 Tìm tâm đối xứng của hàm số :
1
x y
x
0 0
0
2
2
2
Giải
Gọi I x y là tâm đối xứng của đồ thị C ta có
0 1 , 0 2
1;2
Vậy I là tâm đối xứng của đồ thị
3.CMR các đường cong ( C ) sau đây nhận đường thẳng đã cho làm tâm đối xứng :
a
4
2
x
2; 0
2
Giải
Phép tịnh tiến theo OI biến hệ trục oxy thành IXY theo công thức đổi trục
Trang 5Gọi (x,y) và (X, Y) là tọa độ của M đối với oxy và IXY
2
2
4
2 2 4
\ 0
F
X
X Miền xác dịnh của F X là D R
2
2
4
4
2
F X
X
X
F X
F X là hàm số chẳn
Vậy x là trục đối xứng của C
2
x
C y với d y x
x
2
'
' :
' : 2
2 2
Giải
Gọi d là đường thẳng vuông góc với d
ptđt d y x m
Phương trình hòanh độ giao điểm của C và d là
x
x m x
x
x m x m
0
1 4.1 2 2 0
Đểpt có nghiệm phân biệt thì
m hoặc m
1 1
1
F E
M
M M
M
M M
Do d cắt C tại điểm phân biệt E F nên tọa độ trung điểm M của E F là
x x
y x m
m x
y x
M d với m hoặc m
Vậy d là trục đối xứng của C
V Bài Tập :
Trang 63 3
2
2
4
1 1 2
1
Tìm tâm đối xứng của các hàm số sau
x
x
x
2
1 2
1
CMR các đường cong sau nhận điểm đã chỉ làm tâm đối xứng
x
x
x
x
2 2
4
Tìm trục đối xứng của các hàm số sau biết trục đối xứng song song oy
x
b y
x
2
2
4 5
4 4
2 2
2 4
1
CMR các đường cong sau nhận đường thẳng đả chỉ ra làm trục đối xứng
a y x x x x với x
x x
x x
c y x x x x với x
x
x
x
x