slike bài giảng đồ họa máy tính đồ họa 2d đường cong

Trang 2Phân loại Quan điểm toán học - Đường cong được biểu diễn bằng hàm số - Đường cong được biểu diễn bằng phương trình tham số Quan điểm thiết kế - Đường cong CAD Computer Aided Desig

ĐỒ HỌA 2D

ĐƯỜNG CONG

Giảng viên : Bùi Tiến Lên

Trang 2

Phân loại

Quan điểm toán học

- Đường cong được biểu diễn bằng hàm số

- Đường cong được biểu diễn bằng phương trình tham số

Quan điểm thiết kế

- Đường cong CAD (Computer Aided Design)

Đường cong được biểu diễn bằng

hàm số

Thuật toán

Bước 1 : Chia miền đối số ra N

đoạn bằng nhau

x0 x1 x2 xN-1xN

Trang 10

Vấn đề phân đoạn

Số phân đoạn N là bao nhiêu ?

độ phân giải cột

Đồ thị đa thức bậc ba

Cho

y = ax3 + bx2 + cx + d

x  [xmin, xmax]

 4 , 4  x

3 x 2 0 x 2 0 x 1 0

Trang 12

Vấn đề tính giá trị đa thức

Cách tính thông thường

a*x*x*x + b*x*x + c*x + d;

Cần 6 phép nhân và 3 phép cộng

Cách tính Horner

((a*x + b)*x + c)*x + d

Cần 3 phép nhân và 3 phép cộng

Cách tính cải tiến

?

Vấn đề tính giá trị đa thức

Đa thức bậc nhất y = ax + b

Cách tính thông thường Cách tính cải tiến

Trang 14

Vấn đề tính giá trị đa thức

Đa thức bậc hai y = ax2 + bx + c

Cách tính thông thường Cách tính cải tiến

yi + yi

 yi + 2ax 2

Vấn đề tính giá trị đa thức

6ax2 x0 + 6ax3 + 2b x2

yi + yi

 yi + yi

 yi + 6a x3

Đường cong được biểu diễn bằng

Phương trình tham số

Bài toán

Input:

Phương trình tham số

x(t) y(t) Miền tham số

5 cos t

y

t cos t

5 cos t

x

Trang 18

Thuật toán

Bước 1 : Chia miền tham số ra

N đoạn bằng nhau

Miền tham số

(xN, yN)

Cài đặt

// Hàm vẽ đường cong tham số

void DrawCurve2D(CDC *pDC, TPara2D f, double tmin, double tmax )

Vấn đề phân đoạn

t

y

tcost

y

tcost

x

ĐƯỜNG CONG CAD

ĐƯỜNG CONG BEZIER

Công thức xác định đường cong

p.tBt

y

p.tBt

xhoặc

t)t1

(

!kn

!k

!

nt

B

với1

,0t

p.tBt

p

khiểnđiều

điểm 1

nbởitạo

đượcn

bậcBezier

congđường

Ptts

n k 0

n k

n k 0

n k

k k n

n k

n k 0

n k

Trang 28

Tính chất 1

Bảo toàn qua phép biến đổi affine

Tính chất 2

Các điểm điểu khiển tạo thành bao lồi của đường cong

Đường cong Bezier bậc hai

Trang 34

Một số đường cong Bezier bậc ba

Độ thẳng của đường cong Bezier

3 0

3 2

2 1

1

0

pp

pp

pp

p

pf

Thuật toán vẽ đệ qui

Trang 38

Thuật toán vẽ đệ qui

3 3

3

2 2

3 2

1 1

3 2

1

0 0

3 2

1

0 3

2 1

0 2

1

0 1

0 0

pr

2

p

pr

4

pp

2

pr

8

pp

3p

3

pr

8

pp

3p

3

pl

4

pp

2

pl

2

p

pl

pl

ĐƯỜNG CONG HERMITE

Công thức xác định đường cong

Trang 42

Một số đường cong Hermite

Đường cong Bezier bậc ba & Hermite

2

B 3

H

1

B 0

B 1

H

0

B 3

H

1

B 0

H

0

pp

3v

pp

3v

pp

pp

2

p

B 3

1p

H 0

v

Trang 44

Dẫn nhập

Bao nhiêu đường cong?

Bao nhiêu đường cong?

ĐƯỜNG CONG PHỨC

Trang 46

Định nghĩa đường cong phức

Đường cong phức là sự kết hợp của những đường cong

Yêu cầu thiết kế đường cong phức

Đối với người thiết kế

1 Dễ vẽ

2 Liên tục

3 Cục bộ

Đối với người lập trình

1 Biểu diễn dễ dàng và hiệu quả

2 Tính toán hiệu quả

Trang 48

Tính liên tục

Liên tục bậc 0

Liên tục bậc 1

Liên tục bậc 2

Phân loại

1 Đường cong Splines

2 Đường cong B-Splines

3 Đường cong Nurbs (NonUniform Rational B-Splines)

CÁC ĐƯỜNG CONG SPLINES

Định nghĩa đường cong Splines

Input

n +1 điểm {P 0 , P 1 , , P n } và một số thông tin khác

k 0

1 k 1

k 0

P

P2

t

1v

P

P2

t

1v

Pp

Pp

Ảnh hưởng của tham số tension t

t<0 t>0

P

Pv

Pp

Pp

1

3 1

0

2 0

2 1

1 0

Kochanek-Bartels Splines

Là trường hợp tổng quát của Cardinal Splines

- Tham số tension t

- Tham số bias b

- Tham số continuity c

k 1

k 1

k k

0

1 k 1

k 0

PP

c1b1P

Pc1b1t1

1v

PP

c1b1P

Pc1b1t

12

1v

Pp

Pp

Trang 56

Ảnh hưởng của tham số bias b

b<0 b>0

1 3

0 2

0

n

1 n

2 1 0

v

PP

3

PP

3

PP

3v

vv

vvv

1

14

1

14

1

14

11

2 n n

1 3

0 2

0 1

n

1 n

2 1 0

PP

3

PP

3

PP

3

PP

3

PP

3

vv

vvv

21

14

1

14

1

14

1

12

Free Splines

Là đường cong liên tục C0

ĐƯỜNG CONG B-SPLINES

tt

Ntt

t

tt

N

khác0

t,t

t nếu

1t

N

Với

1,0t

PtNt

p

1

k 1

i 1 i k

i

k i 1

k i i 1

k i

i

k

i

1 i i

1

i

n i 0

k i

Công thức B-Splines bậc ba đều

4

Pp

3

P2

Pp

3

PP

2p

6

PP

4

Pp

3 2

1 3

2

1 2

2

1 1

2 1

0 0

2

P

Pp

1

2 2

1 1

0

1 0

ĐƯỜNG CONG HỮU TỈ

Trang 68

Định nghĩa

Là đường cong trong đó các hàm x(t) và y(t) là các

hàm đa thức hữu tỉ

Đường Conic

Dạng chuẩn

0a

ax4y

Parabola

0b

a,

1b

ya

xHyperbola

0b

a,

1b

ya

xEllipse

2

2

2 2

2

2

2 2

t

1

t

2bt

y

t1

t

1at

xHyperbola

,t

t

1

t

2bt

y

t1

t

1at

xEllipse

2

2 2

2 2 2

Đường Bezier hữu tỉ bậc hai

Input

p0(x0, y0) và trọng số w0

p1(x1, y1) và trọng số w1

p2(x2, y2) và trọng số w2

Output

p0,w0

p1,w1

2 1 0

2 0

2

2 2 1

2 1 0

2 0

2

2 2 1

2 1 0

2 0

2 2

2 2

2 1

1

1 2

1 0

0

0 2

0

wtBw

tBw

tB

ytBy

tBy

tB

xtBx

tBx

tB

wy

xt

Bw

y

xt

Bw

y

xt

Bt

w

ty

tx

2 2 1

2 1 0

2 0

2

2

2 2 1

1

2 1 0

0

2 0

2

2 2 1

2 1 0

2 0

2

2 2 1

2 1 0

2 0

2

2 2 1

2 1 0

2 0

2

2 2 1

2 1 0

2 0

y

xw

t

By

xwt

By

xw

tB

wtBw

tBw

tB

y

xt

By

xt

By

xtB

wtBw

tBw

tB

ytBy

tBy

tB

wtBw

tBw

tB

xtBx

tBx

tBt

y

tx

0.2.t

Bb

a.1.t

B0

a.1.tB

2tBt

Bt

B

b2tBb

tB0

tB

0tBa

tBa

tB

t1

t2b

t1at

y

tx

2 2

2 1

2 0

2 1

2 1

2 0

2 2

2 1

2 0

2 2

2 1

2 0

2 2

2 1

2 0 2 2

ĐƯỜNG CONG NURBS

Trang 76

Định nghĩa

Là đường cong phức C = {C 1 , C 2 , …, C n-2 } với C i là các

đường cong Bezier hữu tỉ