Cơ sở lí thuyết mẫu XSTK

Ví dụ 1: Tổng thể Dấu hiệu chung cần nghiên cứu Phần tử của tập được nghiên cứu Dấu hiệu nghiên cứu trên từng phần tử Kho chứa gạo Trọng lượng hàng Sản phẩm có đạt tiêu chuẩn khôn

nào đó được gọi là một tổng thể (kí hiệu χ - chi)

Ví dụ 1:

Tổng thể

Dấu hiệu chung cần nghiên cứu

Phần tử của tập được nghiên cứu

Dấu hiệu nghiên cứu trên từng phần tử

Kho chứa gạo Trọng lượng

hàng

Sản phẩm có đạt tiêu chuẩn không Tất cả các gia

đình sống

trên địa bàn

Hà Nội

Số nhân khẩu trong một hộ gia đình

Mỗi gia đình

cư trú tại Hà

Nội

Số nhân khẩu trong một gia

đình

Nhận xét: Việc nghiên cứu tổng thể thực chất là nghiên cứu biến ngẫu nhiên 𝑋 (tìm luật phân phối xác suất hay các tham số đặc trưng của 𝑋)

2 Các phương pháp mô tả tổng thể

a) Giả sử trong tổng thể dấu hiệu nghiên cứu định lượng χ nhận các giá trị 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 với các tần số tương ứng

𝑁1, 𝑁2, … , 𝑁𝑘 (𝑁𝑖 là số phần tử trong tổng thể có chung giá trị 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑘)

Khi đó tổng thể có thể được mô tả bằng bảng phân phối tần số như sau:

b) Tổng thể còn có thể mô tả bằng bảng phân phối tần suất như sau:

= 1

3 Các tham số đặc trưng của tổng thể

, ( 𝑁𝑖 là tần số của 𝑥𝑖)

𝒙𝒊𝟐 − 𝒎𝟐

c) Tần suất của tổng thể

Giả sử trong tổng thể kích thước 𝑁 có 𝑀 phần tử

mang dấu hiệu nghiên cứu Khi đó, tần suất của

𝒑 = 𝑴

𝑵

Ví dụ 2: Tổng thể nghiên cứu là một xí nghiệp có 𝑁 = 40 công nhân với dấu hiệu nghiên cứu là năng suất lao động (sản phẩm/đơn vị thời gian) Số liệu của tổng thể theo dấu hiệu nghiên cứu được cho trong bảng sau:

Tính m, 𝜎2, và tỉ lệ công nhân có năng suất lao động trên

60 sản phẩm/đơn vị thời gian

− 𝑚2 = 160500

40 − 632 = 43,5

• Tỉ lệ công nhân có năng suất lao động trên 60 sản

phẩm/đơn vị thời gian:

𝑝 = 22

40 = 0,55

§2 Mẫu ngẫu nhiên

Thực tế do nhiều nguyên nhân, chẳng hạn số phần tử của tổng thể rất lớn nhưng khi chi phí và thời gian điều tra các phần tử của tổng thể có hạn, không thể biết hết các phần tử của tổng thể do

đó việc điều tra toàn bộ các phần tử của tổng thể

để tìm luật phân phối xác suất của nó là không thể

Trong các tình huống như vậy thay vì nghiên cứu toàn bộ tổng thể người ta sử dụng phương pháp mẫu

1 Phương pháp mẫu

Là phương pháp chọn ra n phần tử đại diện cho tổng

thể (hay còn gọi là chọn ra một mẫu kích thước n) Sử dụng các công cụ của thống kê nghiên cứu mẫu này và dựa vào đó cho kết luận về tổng thể

2 Các phương pháp chọn mẫu

Tùy thuộc và đặc điểm của từng tổng thể nghiên cứu mà mẫu có thể được chọn theo nhiều phương pháp khác nhau để đảm bảo yêu cầu về tính đại diện của mẫu

a) Chọn mẫu ngẫu nhiên đơn giản

Là phương pháp chọn mẫu thỏa mãn điều kiện: mỗi lần chỉ được chọn một phần tử vào mẫu, mỗi phần tử của tổng thể đều có thể được chọn vào mẫu với cùng khả năng như nhau

Việc chọn mẫu kiểu này có thể tiến hành theo cách bốc thăm hay dùng bảng số

b) Chọn mẫu hệ thống

Là phương pháp chọn mẫu trong đó chỉ có phần tử đầu tiên được chọn ngẫu nhiên, sau đó dựa trên danh sách đã được đánh số của tổng thể để chọn ra các phần tử tiếp theo vào mẫu theo một thủ tục nào đó

3 Định nghĩa mẫu ngẫu nhiên

Định nghĩa: Mẫu ngẫu nhiên kích thước 𝑛 là tập hợp của 𝑛 biến ngẫu nhiên độc lập 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 được thành lập từ biến ngẫu nhiên 𝑋 trong tổng thể nghiên cứu và có cùng quy luật phân phối xác suất với X

Kí hiệu là:

𝑾 = (𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏)

Giả sử 𝑋1 nhận giá trị 𝑥1, 𝑋2 nhận giá trị 𝑥2, ,

𝑋𝑛 nhận giá trị 𝑥𝑛

Tập hợp các giá trị 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 tạo thành một giá trị của mẫu ngẫu nhiên, hay còn gọi là một mẫu cụ thể, kí hiệu:

𝒘 = (𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏)

Ví dụ 1: Gọi X là số chấm xuất hiện khi tung một con xúc xắc, X là biến ngẫu nhiên với bảng phân phối xác

suất như sau:

Tung con xúc xắc 3 lần và gọi 𝑋𝑖, (𝑖 = 1,2,3) là số chấm xuất hiện ở lần tung thứ 𝑖 thì ta có 3 biến ngẫu nhiên độc lập tạo nên một mẫu ngẫu nhiên kích thước 𝑛 = 3

1 6

1 6

1 6

1 6

4 Các phương pháp mô tả số liệu mẫu

Giả sử tử có mẫu cụ thể 𝒘 = (𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏) Các bảng mô tả số liệu sau đây được gọi là bảng phân phối thực nghiệm

Bảng phân phối tần số thực nghiệm

Ví dụ 2: Để điều tra thời gian đợi phục vụ của khách hàng tại một ngân hàng (đơn vị: phút) người

ta chọn ngẫu nhiên 10 người, kết quả thu được như sau: 9, 8, 10, 12, 6, 8, 11, 10, 12, 8

Lập các bảng phân phối thực nghiệm thời gian đợi của khách hàng

Khi kích thước mẫu lớn, các giá trị của mẫu khá gần nhau người ta chia các giá trị mẫu thành các lớp và lập bảng phân phối thực nghiệm ghép lớp

Ví dụ 3: Phân phối thực nghiệm tỉ lệ (%) lãi của 49 cửa hàng

Qui ước: Hai lớp liền nhau 𝑥𝑖;1 − 𝑥𝑖, 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖:1 thì 𝑥𝑖thuộc lớp 𝑥𝑖;1 − 𝑥𝑖

Chú ý: Người ta có thể lấy số lớp là k sao cho nó là số

nhỏ nhất để 2𝑘 > 𝑛

Ở ví dụ trên: 25 = 32 < 𝑛 = 49 < 26, lấy k = 6

§3 Các đặc trưng mẫu

1 Thống kê

Mỗi hàm của mẫu ngẫu nhiên 𝑮 = 𝒇 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏

được gọi là một thống kê

Chú ý:

- Mỗi thống kê 𝑮 cũng là một biến ngẫu nhiên, do đó cũng có phân phối xác suất và các tham số đặc trưng của nó

- Khi mẫu nhận giá trị cụ thể 𝑤 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) thì

thống kê 𝐺 nhận giá trị cụ thể là 𝐠 = 𝒇(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏)

2 Một số thống kê đặc trưng mẫu

a) Các đặc trưng tương ứng của mẫu

 Trung bình mẫu là một thống kê, kí hiệu 𝑿, được xác định như sau:

𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝑛

𝑛Khi mẫu nhận giá trị cụ thể 𝑤 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) thì trung bình mẫu nhận giá trị cụ thể là:

𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛

𝑛hoặc:

𝒙 = 𝟏

𝒏 𝒏𝒊𝒙𝒊

𝒌 𝒊<𝟏

(𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑘 = 𝑛)

 Phương sai mẫu (phương sai mẫu hiệu chỉnh) là thống

kê, kí hiệu 𝑺𝟐, xác định như sau:

𝒏

𝒊<𝟏

Khi mẫu nhận giá trị cụ thể 𝑤 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) thì

phương sai mẫu hiệu chỉnh nhận giá trị cụ thể là:

− 𝒙 𝟐

− 𝒙 𝟐

 Phương sai mẫu 𝑺∗𝟐 là thống kê được xác định như sau:

b) Các số đặc trưng của các đặc trưng mẫu

Giả sử biễn ngẫu nhiên gốc trong tổng thể 𝑋 có

3 Cách tính các đặc trưng mẫu cụ thể

bảng phân phối thực nghiệm hay phân phối ghép lớp, tính 𝑥 , 𝑠2

Tính trung bình, phương sai, độ lệch tiêu chuẩn mẫu?

Ví dụ 2: Lượng xăng hao phí của một ôtô đi từ A đến B sau

30 lần chạy, kết quả cho trong bảng:

Sử dụng máy tính để tính 𝑥 , 𝑠 (minh họa bằng ví dụ 1)

Máy fx 500 – 570 MS

• Xóa bộ nhớ: SHIFT MODE 𝟑 =

• Chọn chế độ thống kê:

MODE 𝟐 (đối với fx 500MS)

MODE MODE 𝟏 (đối với fx 570MS)