BỔ ĐỀ D.S – BỔ ĐỀ ĐOẠN CHIA

Nguyễn Ngọc Duy 10TO, trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai BỔ ĐỀ D.S – BỔ ĐỀ ĐOẠN CHIA Nguyễn Ngọc Duy – Học sinh lớp 11 Toán.. Khóa 10TO, Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, TP..

Nguyễn Ngọc Duy 10TO, trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai

BỔ ĐỀ D.S – BỔ ĐỀ ĐOẠN CHIA Nguyễn Ngọc Duy – Học sinh lớp 11 Toán Khóa 10TO, Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, TP Biên Hòa, Tỉnh Đồng Nai

Bổ đề D.S (Divided Segment), hay bổ đề đoạn chia, là một bổ đề hình học với một số ứng dụng đẹp trong nhiều bài toán hình học sơ cấp Nếu như biết ứng dụng một cách thông minh, linh động, thì đây quả là một công cụ hữu ích trong việc giải quyết các bài toán hình Hôm nay tôi xin giới thiệu bổ đề này cùng một số ứng dụng thú vị của nó

 Bổ đề D.S: Cho tam giác ABC Điểm M nằm trên cạnh BC Khi đó ta có hệ thức:

sin sin

sin sin

CM  CAM ABM

Chứng minh:

Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM và ACM

Trong tam giác ABM, ta có:

sin sin

BAM  ABM (2R1)

sin sin

BM BAM

AM ABM

Tương tự, ta có được hệ thức trong tam giác ACM: sin

sin

AM ACM

CM  ACM (2)

Từ (1) và (2) suy ra sin sin

BM BAM ACM

CM  CAM ABM 

 Một số ứng dụng: Ta sẽ cùng tìm hiểu một số ứng dụng của bổ đề D.S:

 Bài toán 1: Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đoạn BC,

CA, AB Khi đó, các đường AM, CP, BN đồng quy khi và chỉ khi

sin sin sin

sin sin sin

BAM ACP CBN

CAM BCP ABN  (Định lý Ceva dạng sin)

Bài làm:

Trong tam giác ABC, theo định lý Ceva, ta có các đường

AM, CP, BN đồng quy khi và chỉ khi MB NC PA 1

MC NA PB  Theo Bổ đề D.S, ta có:

sin sin

sin sin

MC  CAM ABM sin sin

sin sin

NC CBN BAN

NA  ABN BCN sin sin

sin sin

PA ACP CBP

Nhân các vế với nhau của ba đẳng thức trên, ta có được điều phải chứng minh:

sin sin sin

sin sin sin

BAM ACP CBN

CAM BCP ABN  

A

M

Nguyễn Ngọc Duy 10TO, trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai

 Bài toán 2: Một đường tròn tâm Q tiếp xúc với đoạn thẳng AB tại điểm C nằm

giữa A và B Tia Ax tiếp xúc với đường tròn (Q) tại D (D khác C) Trên tia Ax lấy điểm M Đường thẳng qua Q và vuông góc với BM cắt CD tại E Tia AE cắt BM tại F Chứng minh điểm F luôn nằm trên một tia cố định khi M (M khác A) di động trên tia Ax

Bài làm:

Gọi EQBM  N

Áp dụng bổ đề D.S cho tam giác ACD và QCD, ta có:

DE DAE ACE

CE CAE ADE DQE QCE CQE QDE





Dễ có ADE  ACE QDE, QDE sin sin

sin sin

DAE DQE CAE CQE

Lại có tứ giác MDQN và BCQN nội tiếp nên suy ra

DQE DMN CQECBN

Như vậy ta có:

sin sin sin sin

DAE DMN CAE  CBN

Áp dụng bổ đề D.S cho tam giác ABM, ta có:

sin sin

sin sin

FM DAE CBN

FB  CAE DMN  , hay F là trung điểm BM

Như vậy, dễ có điểm F luôn nằm trên đường thẳng đi qua trung điểm của AB, và song song với Ax cố định 

 Bài toán 3: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) I là trung điểm BC Trên đoạn IC lấy

điểm M bất kỳ (M C I, ) AM cắt (O) tại điểm thứ hai D Trên đoạn BD lấy điểm E sao cho  BMEMAI Đường thẳng EM và CD cắt nhau tại F Chứng minh: CF BE

CD  BD (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ số 409)

Bài làm:

Xét tam giác BDC có 3 điểm E, M, F thẳng hàng nên theo định lý Menelaus, ta có: 1 (1)

CF BD ME

CD BE MF 

Ta có :

DEF DBCBME

DACMAI CAI

MCFMCAACFBCAABDBDAABD BAD

Lại do

 180o  

MCF  CMFCFM

Nên suy ra CMF CFM BAD

Nguyễn Ngọc Duy 10TO, trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai

Lại có CMFBMEMAI Do đó:

CFM BAI

Sử dụng Bổ đề D.S cho ABC, điểm I  BC:

sin sin

sin sin sin sin

sin i

1

s n

IB BAI ACI

IC CAI ABI CFM MDE DEF MDF







Lại do theo Bổ đề D.S trong  EDF

với điểm M  EF : sin sin

sin sin

CFM MDE ME DEF MDF  MF

Từ đó suy ra ME 1 (2)

MF 

Từ (1) và (2) suy ra CF BE

CD  BD 

 Bài toán 4: Cho tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp, đường tròn này

tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm A1, B1, C1 Các đường thẳng A1O, B1O, C1O tương ứng cắt các đoạn thẳng B1C1, C1A1, A1B1 tại các điểm A2, B2, C2 Chứng minh rằng ba đường thẳng AA2, BB2, CC2 đồng quy

Bài làm:

Kí hiệu    , , là các góc đỉnh A, B, C của tam giác ABC Suy ra các góc

1A B C B A A C C B C C1 1, 1 1 1, 1 1 2, 1 1 2

   

Theo Bổ đề D.S trong A B C1 1 1, ta có: 1 2

1 2

sin sin

2 . 2 sin sin

A C

B C

  

  







Nguyễn Ngọc Duy 10TO, trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai Gọi B, A lần lượt là số đo A CC1 2 và 

1 2

B CC ; C3 là giao điểm của đường thẳng CC2 với cạnh AB Ta có CA1=CB1, sử dụng Bổ đề D.S, ta được:

sin sin

sin sin sin sin sin sin

A

B

  

  



Tương tự: 3

3

sin sin

sin

sin sin sin

BA

A C

  



   





3 3

sin sin

sin

sin sin sin

CB

B A

  



   





Ở đây, A3, B3 định nghĩa tương tự như C3 Từ ba đẳng thức trên ta có

AC BA CB

C B A C B A

Từ đó, theo định lý Ceva, ta suy ra ba đường thẳng AA2, BB2, CC2 đồng quy 

 Kết luận: Sau các bài toán trên, ta thấy rằng việc ứng dụng bổ đề D.S trong hình học sẽ

giúp cho nhiều bài tập hình học phức tạp sẽ trở nên đơn giản, dễ hơn rất nhiều so với

những cách làm khác

 Tham khảo:

 Những định lý chọn lọc trong Hình Học Phẳng qua các kỳ thi Olympic

(ThS Nguyễn Văn Nho)

 Bài tập nâng cao va một số chuyên đề Hình học 10 (Nguyễn Minh Hà)

 Tài liệu giáo khoa chuyên Toán Hình Học 10 (Đoàn Quỳnh)

 MathLinks Contest (http://mathlinks.ro)

 MathScope Forum (http://mathscope.org)

 MathClub Forum (http://math.look.in)

